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1、第二章第二章 地图的数学基础地图的数学基础 1 1 地球的形状和大小地球的形状和大小 2 2 地面点位置的表示地面点位置的表示 3 3 地图投影概述地图投影概述 4 4 地图投影变形地图投影变形 5 5 地图投影分类地图投影分类 6 6 方位投影方位投影 7 7 圆柱投影圆柱投影 8 8 圆锥投影圆锥投影 9 9 变形复杂的投影变形复杂的投影 10 10 地图投影的应用地图投影的应用 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1 1 地球的形状和大小地球的形状和大小 一、地球的自然表面一、地球的自然表面 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教
2、程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地球不是一个正球体，而是一个极 半径略短、赤道半径略长，北极略突 出、南极略扁平，近于梨形的椭球体 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 二、地球的物理表面二、地球的物理表面 铅垂线 水准面 水平面 大地水准面 重力（离心力和地球引力的合力） 的方向线，是测量工作的基准线 静止的海水面向陆地延伸，形成的 封闭曲面，处处与重力方向垂直 与水准面相切的平面 通过平均海水面的水准面 ，是 测绘工作的基准面 大地体 大地水准面所包围的地球实体，代 表了地球的形状和大小 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 水 平 面 新编地图学教
3、程 第2章 地图的数学基础 大地水准面的意义 大地水准面是地球形体的一级逼近，与地球形状很 近似，其面上高出与面下缺少的质量相当 大地水准面的起伏波动对大地测量和地球物理学有 研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体 大地水准面实际上是重力等位面，因此可使用仪器 测得相对于大地水准面的海拔高程 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 三、地球的数学表面三、地球的数学表面 参考椭球 用大小与大地体很接近的旋转椭球作 为地球的参考形状和大小，是对地球 形体的二级逼近。它的表面称为参考 椭球面，是测量计算的基准面 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 E
4、quatorial Axis Polar Axis North Pole South Pole Equator a b 椭球体 三要素 长轴 a（赤道半径） 短轴 b（极半径） 椭球的扁率 f 世界大地测量坐标系WGS84 a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m ab 6378137 6356752.3 f = = = a 6378137 1 298.257 在普通测量中，可视椭球为圆球，其半径为6371km 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 参考椭 球定位 将参考椭球定位到与局部地区大地水准面最 贴近的位置上，是对地球形体
5、的三级逼近 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 中国1952年前采用海福特椭球体 19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏 联普尔科沃天文台），称为“北京54坐标系” 自1980年开始采用GRS1975（国际大地测量与地球物理学 联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳 县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点 大地原点 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 一、地理坐标一、地理坐标 地理坐标 球面 大地坐标天文坐标地心坐标 经纬度 2 2 地理坐标系地理坐标系 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 二、天文坐标二、天文坐标 建立在天球
6、上，以铅垂线为基本方向建立在天球上，以铅垂线为基本方向 地球自转轴延长线与天球相交的 两个点，分别称为南、北天极 天球 天极 天顶 过观测点作铅垂线的反相 延长线与天球相交的点 天文子午面 过天顶、南、北天极的平 面与天球相交所成的大圆 以地心（或观测者等）为球心， 以任意长为半径的假想的球面 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 天文经度 过观测点的天顶子午面与过格林尼 治天文台的天顶子午面间的二面角 天文纬度某点天顶方向（铅垂线）和天球赤道平 面的夹角 在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标 天赤道 经过地心并同地球自转轴垂直的平 面为赤道面，这个赤道面延伸与天 球相交的大圆就是天赤
7、道 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 三、大地坐标三、大地坐标 建立在参考椭球上，以法线为基本方向建立在参考椭球上，以法线为基本方向 法线 大地子午面 在参考椭球面上过某一个点作一个与椭球体 相切的平面，再通过这个点所作的垂直于这 个平面的直线 地面某点的法线同参考椭球体旋转轴构成的 平面 赤道面 通过椭球中心且垂直于旋转轴的平面 大地经度 参考椭球面上过某点的子午面与起始子午 面间的二面角 大地纬度参考椭球面上某点的法线与赤道平面的夹角 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 四、地心坐标四、地心坐标 以地球椭球体质量中心为基点以地球椭球体质量中心为基点 地心经度 参考椭球面上过某点的
8、子午 面与起始子午面间的二面角 地心纬度 参考椭球面上某点和椭球中 心连线与赤道面之间的夹角 在地理学研究及地图学的 小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采 用地心经纬度 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 3 3 地图投影概述地图投影概述 一、一、地球仪地球仪 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 经线都是等长的大圆线，收敛于两极点，纬差相 等的经线长度相等 地球仪上经纬网的特性 纬线都是垂直于经线的圆，周长以赤道最大，向 高纬逐渐缩小，至两极缩为一点。纬圈相互平行 ，同一纬圈上，经差相等的纬线长度相等。 经纬线相互正交。每两条纬线间等经
9、差的球面梯 形，形状相同，面积相等。每两条经线间等纬差 的球面梯形，由低纬向高纬缩小。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 二、二、地图投影地图投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地图 投影 按照一定的数学法则，将参考椭球面上的经 纬网转换到平面上，使地面点位的地理坐标 与地图上相对应点位的平面直角坐标或平面 极坐标间，建立起一一对应的函数关系 x = f1(j , l ) y = f2(j , l ) 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地图投影过程中出现的问题 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 三、地图的比例尺三、地图的比例尺
10、 1. 地图比例尺的含义 地图比 例尺 地图上一直线段长度与地面 相应直线垂直投影长度之比 主比例 尺 在投影面上没有变形的点或线 上的比例尺 局部比 例尺 在投影面上有变形处的比例尺 按地图投影 变形情况分 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 2. 地图比例尺的表示 数字式比例尺 文字式比例尺 图解式比例尺 特殊比例尺 如 1:10000 如 百万分之一 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 变比例尺无级别比例尺 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 一、投影变形的概念一、投影变形的概念 4 4 地图投影变形地图投影变形 新编地图学教程 第2章 地
11、图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地图投影变形 长度变形 面积变形 角度变形 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 二、二、 变形椭圆变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当 作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这 个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这样的椭圆称为个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这样的椭圆称为 变形椭圆。变形椭圆。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 X2Y21 证
12、明: 球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆 设地面上微分圆r1 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 三、投影变形的性质和大小三、投影变形的性质和大小 1.长度比和长度变形 长度比 投影面上一微小线段（变形椭圆 的半径）和球面上相应微小线段 （球面上微小圆的半径）之比。 长度变形长度比与1的差值。 无变形 变长 变短 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 经线长度比m 纬线长度比n 最大长度比a 最小长度比b 经线方向 纬线方向 长轴方向 短轴方向 主方向 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 解析几何中的阿波隆尼定理： 椭圆共轭半径的平方和为一常数，并等于长、短半轴的 平方和。 以椭圆
13、两共轭半径为边所构成的三角形面积为常数，并 等于以椭圆长、短半轴为边构成的三角形的面积。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 将 将带入阿波隆尼的公式中得： 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 2.面积比和面积变形 面积比 投影平面上微小面积（变形椭圆 面积）与球面上相应的微小面积 （微分圆面积）之比。 面积变形面积比与1的差值。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 无变形 变大 变小 3.角度变形 投影面上任意两方向线所夹之角 与球面上相应的两方向线夹角之 差，称为角度变形。 角度变形 以表示 角度最大 变形。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 上式两边各用tan加和减，得
14、： 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 根据三角函数公式： 上面两式相除得： 当 + =90时，sin( + )=1， 的差值最大，则 ： 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 B B 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 5 5 地图投影分类地图投影分类 一、一、按地图投影的变形性质分类按地图投影的变形性质分类 投影面上某点的任意两方向线夹角 与椭球面上相应两线段夹角相等 等角投影等角投影 无角度变形，=0 90 mn 由ab 或者 根据公式面积变形大 适用于对方向精度要求高的交通图、洋流图、风向图等 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 投
15、影面与椭球面上相应区域的面积相等等积投影等积投影 无面积变形，Vp0P1 适用于对面积精度要求高的自然地图和社会经济地图 投影图上，长度、面积和角度都 有变形，它既不等角又不等积 任意投影任意投影 等距投影在主方向之一上没有长度变形的任意投影 a1或b1 角度变形小于等积投影， 面积变形小于等角投影 用于要求面积和角度变形都不大的地图，如教学用图 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 面积不变 特定方向 距离不变 形状不变 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 在任何投影
16、图上，均存在着长度变形，长度 变形是影响面积变形和角度变形的因素。 在等积投影上不能保持等角特性，在等角投 影上不能保持等积特性，在任意投影上不能 保持等积和等角的特性。 等积投影的形状变化比其它投影大，等角投 影的面积变形比其它投影大。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 二、按地图投影的构成方法分类二、按地图投影的构成方法分类 1、几何投影 将椭球面上的经纬线网投影到几何 面上，然后将几何面展为平面。 以平面作投影面的投影方位投影方位投影 以圆柱面作投影面的投影 圆柱投影圆柱投影 （1）、按辅助投影面的类型分 以圆锥面作投影面的投影 圆锥投影圆锥投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学
17、基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 辅助投影平面与地轴垂直，或者圆 柱、圆锥面的轴与地轴重合的投影 正轴投影正轴投影 辅助投影平面与地轴平行，或者圆 柱、圆锥面的轴与地轴垂直的投影 横轴投影横轴投影 （2）、按辅助投影面和地球体的位置关系分 辅助投影平面的中心法线或圆柱、 圆锥面的轴与地轴斜交的投影 斜轴投影斜轴投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 辅助投影面与地球面相切的投影切投影 切投影 辅助投影面与地球面相割的投影 割投影割投影 （3）、按辅助投影面和地球面的相切或相割位置关系分 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 2、非几何
18、投影 根据某些条件，用数学解析法确定 球面与平面之间点与点的函数关系 在正轴方位投影的基础上 ，根据某些条件改变经线 形状而成，纬线为同心圆 ，中央经线为直线，其余 的经线均为对称于中央经 线的曲线，且相交于纬线 的共同圆心。 伪方位投影伪方位投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，纬线为平行直线，中央经线为直 线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线 伪圆柱投影伪圆柱投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，纬线为同心圆弧，中央经线为直 线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线 伪圆锥投
19、影伪圆锥投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 设想有很多圆锥 面与球面相切， 投影后沿一母线 剪开展平。纬线 投影为同轴圆弧 ，其圆心都在中 央经线的延长线 上。中央经线为 直线，其余经线 投影为对称于中 央经线的曲线 多圆锥投影多圆锥投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 6 6 方位投影方位投影 一、方位投影的构成原理一、方位投影的构成原理 以平面作投影面，使平面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到平面上而成 方位投影方位投影 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 正轴方位投影的经线为从一点向 外放射的直线束，夹角相等，而 且等于相应的经度差。纬线是以 经线的交点为圆心的同心圆。 正轴方位投影的公式 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础