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1、沪科版八年级(下) 18.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计 (韦达定理和它的逆定理) （1课时） 李 春 楠教学目标 (一)知识与技能（1）通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据.（2）使学生会运用根与系数关系解决有关问题.(二)过程与方法本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用.(三)情感、态度与价值观（1）渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.（2）培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.教学重点根与系数的关系及其推导.教学难点正确理解根与
2、系数的关系.教学准备多媒体课件、小黑板、彩笔等.教学方法 数形结合法、问题教学法、观察法、范例教学法、精讲点拨、合作探究式教学法等.教学过程.课堂导入在前面18.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到.进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和（ x1 + x2 ）、两根之积（ x1x2 ）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：方 程x1x2x1+x2x1x2X2+2x15=03-5-2-153x24x+1=012x25x+1=0根据你的观察，猜想：方程 ax2+bx+c=0(a0)的根若是 x1 、x2 ，那么 x1+x2 =,x
3、1x2 =.你能证明上面的猜想吗？【设计意图】提出问题，激发学生的学习、探究欲望.讲授新课知识点：设x1 ,x2是方程 ax2+bx+c=0(a 0)的两个根 （b24ac0），则【设计意图】培养学生的自主学习能力、勇于探索的精神。一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：结论1. 如果方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、x2 ，那么，.这个关系通常称为韦达定理（Vietas theorem）. 我们把方程ax2+bx+c=0 (a0)变形为：我们可以把方程写成 ： 的形式， 结论2. 如果方程x2+px+q=0的两根为x1、x2 ,那么x1+x2 =p , x1x2 = q .对
4、于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.(韦达定理)对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积.(韦达定理的逆定理)结论3.以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-(x1+x2)x+x1x2=0【说明】结论1具有一般形式，结论2、3有时给研究问题带来方便.【注意】1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式；2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac0时，才能应用根与系数的关系；3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与
5、系数的正、负号.例题讲解例1：已知关于x的方程 2x2+kx4=0 的一个根是4,求它的另一根及k的值.解：法1：设方程的另一个根为 x2, 则4+x2 = , （4）x2 = 解得x2 = , k=7答：方程的另一根为 ，k的值为7.法2: 方程 2x2+kx4=0的一个根为-4，则 2 (-4)2+ (-4) k -4 = 0 2 16 4 k4 = 0 k=7 解此方程: 2x2+7x4=0，即x1 =4 ,x2 = 法3: 方程2x2+kx4 = 0的一个根为-4 2 (4)2+ (4) k 4 = 0 2 16 4 k4 = 0 k=7 即方程为2x2+7x4=0 又x(-4)= x
6、 = 【说明】方法2、3可在教师的引导下放给学生完成.【设计意图】培养学生的自主学习和发散思维能力.例2 已知两数的和为3，积为4，求：这两个数.分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为3，所以另一个数为3x .再根据“两数之积为4”,可列出方程 x(3x)=4 . 即 x23x4 = 0 , 即（x4)（x+1）= 0 ， 即 x = 4或x =1 这两个数为4或1.解法2：设两个数是x ,y ,可列出方程组的解法.解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接得出一个简化的一元二次方程,即: x23x4 = 0 , 这就是方法1得到的方程.下同解
7、法1.例3 方程2x23x+1=0的两个根记作x1 , x2 ，不解方程，求:(1)倒数和;(2)平方和;(3) x1x2 的值.分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积.解：由韦达定理，得 x1 + x2 = , x1x2 = .（1） =3（2） (x1+x2)2=x12+2x1x2+x22 x12+x22= (x1+x2)22x1x2 =（3） （x1x2）2=(x1+x2)24x1x2 = x1x2 = 答:原方程的两个根的倒数和是3，平方和是 ，x1-x2 = .可否利用(x1+x2) 和x1x2的表达式表示下列各式?(x1+1)(x2+
8、1) = x1x2+(x1+x2)+1x1x2 =x13+x23 =(x1+x2)(x12x1x2+x22)= (x1+x2)(x1+x2)23x1x2x13x23 =(x1x2)(x12+x1x2+x22)= (x1x2)(x1+x2)2x1x2利用例3中的(x1+x2) 和x1x2的值，根据上述式子，求 x1x2 ， x13+x23， x13x23的值.课堂练习1.（口答）下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？(1) x2-3x+1=0 ; (2) 3x2-2x=2； (3) 2x2-9x+5=0； (4) 4x2-7x +1=0； (5) 2x2+3x=0； (6) 3x2=1 .解
9、：(1) 两根之和为：3，两根之积为：1(2) 两根之和为：，两根之积为：(3) 两根之和为：，两根之积为：(4) 两根之和为：，两根之积为：(5) 两根之和为：，两根之积为：0(6) 两根之和为：0 ，两根之积为：【设计意图】此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系.2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根.（1）x2+5x+4=0 , (1 , 4) 不是（2）x26x7=0 , ( 1 , 7) 是（3）2x23x1=0 , ( , 1) 是（4）3x25x2=0 , ( , 2) 不是（5）x28x11=0 , 是（提示 : 应用韦达定理可得 .）【设计意图】进一步巩固、
10、熟练根与系数的关系.3.已知方程 3x219xm=0 的一个根是1 ,求它的另一个根及 m的值.（答案：另一个根是 ，m的值为16）4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是-1，7.分析：对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积.解：x1+x2=(-1)+7=6 , x1x2=(-1)7=-7x2-6x-7=0 ,即 x2-6x-7=0是所求的方程.5.设 x1 ,x2是方程2x24x3=0 的两个根 , 利用根与系数的关系，求下列各式的值.；（2）x12+x22 ；（3）（x1+1）（x2+1） ；6.已知关于x的方程x2mx 2mn = 0的根为2 ,
11、且根的判别式为0 ，求m 、n的值.(m的值为-4 ，n的值为-12 .).课堂总结1. 一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为: x1 、x2 ,那么x1+x2 = , x1x2 = . 这个关系通常称为韦达定理.2.如果方程x2+px+q=0的两根为x1 、x2 , 这时韦达定理应是： x1 + x2 = - p , x1x2 = q .3.一元二次方程的根与系数的关系的灵活运用.布置作业1.教材 P36 习题18.4 第1、2、3、4、5题.2.推导一元二次方程根与系数的关系.板书设计：18.4 一元二次方程的根与系数的关系（1课时）一、 引言
12、二、新知探究三、应用例题四、课堂总结五、布置作业教学反思： 一元二次方程的根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根x1 、x2 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1 、x2为根的一元二次方程的求方程模型。 本节课从头到尾都强调“一元二次方程根与系数的关系”的核心思想“二次项系数a0，且=b24ac0”.从学生的作业，可看出学生对此知识点的掌握还是到位，不是机械的思维操作。本节课练习的设计层层小步调提升，让学生有种“爬爬，休息一下，又爬爬”的感觉。不觉得累，又能有所获。每完成一个梯度的练习，就引导学生反思“一元二次方程根与系数的关系”的核心思想：“二次项系数a0，且=b24ac0”，及时的画龙点睛，利于渗透核心思想。 本节课教学设计注重开发学生的思维能力，学生很容易理解，但掌握起来却很困难。教师是组织者、引导者，在今后的教学中应注意加强化繁为简的教学方法，注重创新教学，还要注意加强锻炼学生的动手动脑能力，激发学生的学习兴趣，让学生主动参与活动，主动探索并获取知识。