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1、第1页 * 3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 简单的线性规划问题 第2页 * 自学导引 (学生用书P71) 1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性规划问题. 第3页 * 课前热身 (学生用书P71) 线性规划中的基本概念 第4页 * 名称意义义 约约束条件变变量x,y满满足的一组组条件 线线性约约束条 件 由x,y的_不等式(或方程)组组成的不 等式组组 目标标函数欲求最大值值或最小值值所涉及的变变量x,y的解 析式 线线性目标标函 数 目标标函数是关于x,y的_解析式 可行解满满足线线性约约束条件的_ 可行域所有可行解组组成的_ 最优优解使目标标函数取得最大值值或最小值值的
2、_ 线线性规规划问问 题题 在线线性约约束条件下,求线线性目标标函数的最大 值值或最小值问题值问题 一次 一次 解(x,y) 集合 可行解 第5页 * 名师讲解 (学生用书P71) 1.线性规划的有关概念 第6页 * 第7页 * (5)线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最值 问题. (6)可行解:满足线性约束条件的解(x,y). (7)可行域:所有可行解组成的集合. (8)最优解:使目标函数取得最值的可行解. 第8页 * 2.线性规划问题的图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最 优解的步骤概括为“画移求答”,即: (1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线a
3、x+by=0(目标函 数为z=ax+by); (2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或 最小值的点; 第9页 * (3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大 值和最小值; (4)答:给出正确答案. 第10页 * 典例剖析(学生用书P71) 题型一 求线性目标函数的最值 第11页 * 分析:由于所给约束条件及目标函数均为关于x,y的一次 式,所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解. 第12页 * 解:作出不等式组表示的可行域,如下图阴影部分. 将目标函数z=x-y变形为直线l:y=x-z.这是斜率为1,在y轴上截 距为-z的直线,当z变化时,
4、可以得到一组平行直线,直线l与 该阴影区域的交点满足不等式组.而且当截距-z最大时,z取 最小值;当截距-z最小时,z取得最大值. 第13页 * 第14页 * 规律技巧:求线性目标函数的最值的步骤:画出线性约束条 件表示的可行域;构造直线f(x,y)=0;平移直线得最优解 ;得出结论. 第15页 * A.2 B.3C.4 D.5 解析:作出可行域如下图所示: 由z=5x+y得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即 z=51+0=5. 答案:D 第16页 * 题型二 求解非线性目标函数的最值 第17页 * 第18页 * (2)z=x2+y2表示可行域内的点到定点(0,0)的距离的平
5、方,因此 最大值为 z=|OC|2=72+92=130. 规律技巧:对于非线性目标函数的最值问题,一般按目标函数 的几何意义求解. 第19页 * 解:可行域如图所示. z为可行域内的点与原点连线的斜率, z在A点取得最大值,在C点取得最小值. 第20页 * 第21页 * 题型三 已知目标函数的最值求待定系数 例3:已知变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2,若目标函 数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值 范围. 分析:先画出可行域,利用数形结合求解. 第22页 * 解:由约束条件画出可行域,如图所示. 点C的坐标为(3,1),z最大时,即平移y=-ax时使
6、直线在y轴上的 截距最大,y=-ax的斜率要小于直线CD:x+y-4=0的斜率. 即-a1. 第23页 * 规律技巧:这是一道线性规划的逆向思维问题,解答此类问题 必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界 取得,运用数形结合的思想方法求解.同时,要注意边界直线 斜率与目标函数斜率关系. 第24页 * 第25页 * 解:画出可行域,如图所示. 由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线y=ax+z在y轴上的截距,由于函 数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,如图所示,直线y=ax+z 过点P(5,3),且直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率, 所以a1. 第26页 *
7、易错探究 (学生用书P73) 第27页 * 错解:画出可行域如下图所示: 作直线x+y=0,当直线x+y=0向上平移,过点A(5.5,4.5)时,z取 得最大值.最大值为 z=105.5+104.5=100. 答案:100 第28页 * 错因分析:因为所求x和y的值,应为整数,而上述解法中 x=5.5,y=4.5均不是整数,所以解法不正确. 正解:在可行域中在点A(5.5,4.5)附近找整数点,不妨取(5,5),该 点不在可行域内,(不满足5x-11y-22). 取点(5,4)知在可行域内,因此,当x=5,y=4时,z取得最大值90. 答案:90 第29页 * 技能演练 (学生用书P73) 基
8、础强化 第30页 * 1.目标函数z=3x-y,将其看作直线方程时,z的意义是( ) A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线的横截距 D.该直线纵截距的相反数 答案:D 第31页 * 2.有5辆6吨的汽车,3辆4吨的汽车,要运送一批货物,完成这项 运输任务的线性目标函数是( ) A.z=6x+4y B.z=5x+3y C.z=x+y D.z=3x+5y 答案:A 第32页 * A.zmax=12,zmin=3B.zmax=12,无最小值 C.zmin=3,无最大值D.z既无最大值又无最小值 答案:C 第33页 * 解析:画出可行域,如下图所示: 画直线l:2x+y=0,平移直线l,当
9、l过点A(1,1)时,z有最小值 z=21+1=3,没有最大值. 第34页 * 4.给出平面可行域(如下图),若使目标函数z=ax+y取最大值的 最优解有无穷多个,则a=( ) 答案:B 第35页 * 第36页 * A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 解析:作出可行域. 令z=0,则l0:x-3y=0,平移l0, 在点M(-2,2)处z取到最小值,最小值z=-2-32=-8. 答案:D 第37页 * 解析:可行域如图, 当直线x+2y=0平移经过点A(1,3)时,z有最小值7. 答案:7 第38页 * 能力提升 7.(2008宁夏)点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14x
10、- y7,则点P到坐标原点距离的取值范围是( ) A.0,5 B.0,10 C.5,10 D.5,15 答案:B 第39页 * 第40页 * 第41页 * 第42页 * 解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示. 第43页 * 第44页 * 品味高考 A.4 B.3 C.2 D.1 答案:B 第45页 * 解析:画出可行域,如图所示. 要使z=x-2y取得最大值,只要y取得最小值. 作直线l:x-2y=0,平移直线l,当l过点B(1,-1)时,z取最大值3. 第46页 * 答案:4 第47页 * 解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.