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1、8到底是几倍？教学关键问题分析姓名：管立单位：北京市海淀区万泉小学地址：北京市海淀区曙光花园望河园13号 万泉小学邮编：100097电话：13311369232邮箱：一、教学关键问题回放：“8到底是几倍？”“倍的初步认识”的教学中，教师创设了一个活动：请同学们从1到10中选2个数，画一画，比一比，圈一圈，表示两个数之间的倍数关系。学生在汇报中，情况非常丰富。老师结合学生汇报：8是2的4倍，8是4的2倍。适时引导：“8一会儿是4倍，一会儿是2倍，8到底是几倍？”（学生短暂的沉默）生1：8也是2倍，也是4倍，还有可能是8倍，还有可能是1倍。生2：8是几倍都行。生3：8是几倍，要看8和谁比。生4 ：
2、看标准，把8按标准圈，有几个标准就是几倍。众所周知，小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认知结构。学生在学习“倍”之前，学生虽然已经学习了乘法，但对于乘法的认识仍停留在，“求几个几连加”的加法认知结构。对两个量或多个量之间的比率关系问题的真正理解需要在学生头脑中建构起“乘法结构”，而“倍”的学习正是建构乘法结构的伊始，是学生在头脑中第一次形成“以一个量为标准”，并“用标准去刻画第二个量”的意识。二、提出问题课堂教学片断中出现的问题，引起我们的思考：第一，这个“标准”，对于“倍”概念的理解有什么意义？ 描述两个量之间的关系，可以是两个量比较
3、多少，也可以用“倍”、“分数”、“比”。“倍”是第一次从绝对数量的比多少，到相对数量的关系的转变，其数学核心思想是函数思想，即用一个量去刻画另一个量，也是中高年级学生学习用分数表示率、百分率以及比等知识的基础，可见“倍”的概念建立至关重要。而“倍”概念的建立是多维的，可以从“关系、运算、度量”三个维度建立。“标准”在“倍”概念的A理解中的意义是什么呢？第二，“标准”对于发展学生的乘法结构有什么作用呢？北京教育学院的刘家霞教授指出：从加法结构到乘法结构，倍是转折点，学生学习的困难的核心是学生数学认知结构需要发生“质”的变化。加法和减法是数学课程的基础，加减法的学习为建构以后的数学认知结构提供了基
4、本的知识准备和心理发展的准备。加法结构是一个概念域，是以加减法为核心的概念体系，也就是多种加减法数学概念形成的联结网络。乘法结构是心理学家吉尔德维格诺德提出的，乘法结构不是指单一的认识乘法， 而是一个概念体系，基本概念是乘法与除法，与之相关的倍、最大公因数、最小公倍数、运算规律甚至面积、体积、表面积、速度等概念和定律。从加法结构到乘法结构，学生认知结构需要发生一定程度“质”的变化。“标准”对于发展学生乘法结构有什么作用呢？三、分析针对上述所提问题，在参阅相关文献的基础上，做如下分析：（一） 放大“标准”，帮助学生理解“倍”概念的实质。学生在学习“倍”之前，已经理解了“几个几”，建立了“份”的概
5、念，具备了初步的动手操作和观察比较的能力，以份沟通倍，学生是有基础的。以往的教学模式，通过摆一摆、圈一圈的活动，和学生一起体会，把第一个数当成“一份”，第二个数有这样的“几份”，我们就说第二个数是第一个数的几倍。表面上的动手摆和圈，代替了学生的思考，学生并没有把第一个数这个“标准”充分理解，实际上就是老师结合学生的原有知识，直接告诉了学生一个新的知识，这就掩盖了学生学习的真问题，学生对于“倍”的概念还是感到很模糊的。中高年级的学生学了小数之后一提“倍”还会出现较大数除以较小数的尴尬；在学习分数的问题时仍然有的学生量率混淆；面对相关的纯文字叙述的题目时，有的学生不知从何入手。究其原因，就是对“倍
6、”概念的实质把握不清造成的。在“倍”概念理解的过程中，放大“标准”，才能帮助学生真正理解“以一个量为标准”，并“用标准去刻画第二个量”。1.动手凑“堆”，寻找标准。课上老师创设了这样一个问题情境，在对比“4和3比、5和3比、6和3比”的过程中，这三组比较的相同点和不同点。从学生已有的知识基础两个数比较的问题情境出发，渗透“倍”是由两个数量相比较而产生的大背景。学生通过动手摆一摆，发现“6和3比”特殊，“6里面有2个3”，经历从“绝对比较到相对比较”的过程。学生通过动手摆圆片，第一个数是几个为一堆，第二个数就要像第一个数那样归堆。学生动手归堆的过程，就是学生不断认识这组比较中的“标准”的过程。不
7、管是圈一圈，还是凑堆，或是扎一束、装一袋，都很直观的体现了“标准”，1份就是标准，有几份，就是几倍。所以体会“标准”是理解倍的关键。有一些孩子自己就是用这样的方法来表达份的，在交流之后绝大部分孩子都学会了圈圈、凑堆的这个方法，经过一段时间的操作之后，有的孩子就可以把圈和堆留在脑子里，即使不画出来，也知道在寻找倍的时候，要先去找那个1圈，1堆，1份。2.多种方式表达，凸显标准。学生通过动手凑“堆”，发现了6和3之间的特殊关系，教师给学生充分的时间去表达、交流、分析，寻找联系，促进他们理解倍的意义。学生经历表达“6和3比”特殊，“6里面有2个3”的过程，是凸显标准的过程，也是再一次外化对“倍”的理
8、解的过程。当学生关注到了6和3比的特殊关系，用自己喜欢的方式，把这种特殊关系表达出来，是学生理解“倍”的含义的重要一步。学生的多样表达方式，能在交流中能互相启发，逐渐达成共识，用不同的方式说明了“3是标准，6里有2个标准”。3.多种变式，深化概念。（1）标准不变。如果3不变，我们继续给6增加圆片，你还能发现谁和3也有倍数关系吗？学生在不断增加圆片。而圆片的摆法反应学生对概念的理解程度，如果是等距的摆放，说明学生对于标准的认识不够，同时也说明学生对倍概念的理解还不够。如果还是3个一堆的摆放，那么这种结构化的意识已经萌芽，对学生进一步理解概念，至关重要。（2）改变标准。从标准3中拿走一个，变成了2
9、个，6和2之间有怎样的关系呢？学生在尝试解决的过程中，能不能有意识的把6按照2个一堆，这个挪动圆片的过程，是学生是否真正理解倍概念本质的过程。标准不同，倍数就不同。体会不同的问题情境可以得到相同的倍数，倍数表示的是两个量的比率关系，即使数量不确定的情况下，只要有等份，就能找到倍数关系。同时，标准的变式呈现，也帮助学生进一步理解“倍”就是找和原数相等的数。（二） 放大“标准”，促进学生乘法结构的发展。数学思维的特征是简洁、推理有序、逻辑连贯、准确、灵活、敏捷以及高度的抽象，而这一系列的思维品质是从事各项工作，特别是那些高速发展的新科技所不可缺少的心理素质，发展学生的数学认知结构，对数学学习就尤为
10、重要。对两个量或多个量之间的比率关系问题的真正理解需要在学生头脑中建构起“乘法结构”，而“倍”的学习正是建构乘法结构的伊始。两个量或多个量之间的关系的认识，对低年级学生来讲比较困难，需要分步骤完成，放大寻找“标准”的过程，有利于学生对概念的理解，同时也有利于学生形成有效的用一个标准去度量另一个标准的乘法认知结构。在课上，请同学生从1到10中选2个数，画一画，比一比，圈一圈，让我们看出两个数之间的倍数关系。再学生汇报中，老师有意识的分组汇报，帮助学生深化概念，发展认知结构。1.一倍数不变，倍数随着几倍数变化而变化。例如：4是2的2倍，6是2的3倍，8是2的4倍，10是2的5倍。都是和2比，怎么倍
11、数不同呢？学生在辨析中，明确是2的几倍，要看第二个数里面有几个2，就是几倍。2.几倍数不变，倍数随着一倍数变化而变化。例如：6是2的3倍，6是3的2倍。6一会儿是2倍，一会儿是3倍，6到底是几倍？学生在辨析中，再一次认识，6是几倍，要看标准是几，6里面有几个标准那么多。3.两个不同的数存在相同的倍数关系。例如：10是5的2倍，8是4的2倍，6是3的2倍，4是2的2倍，2是1的2倍。怎么不同的数都是2倍呢？学生在辨析中明确，为什么都是2倍？因为第二个数里都有2个第一个数那么多。学生的认知结构就是在探索与解决问题中主动构建起来的。教师在教学中，加强知识间的内在联系，可以促进学生建构整合性好的认知结构。而从发展学生认知结构来讲，启发和引导学生从加法结构到乘法结构；由整数、分数到比例；从部分数与整数关系、比较关系到份数与总数关系和倍数关系，再到分数范围内的包含关系和不兼容关系，最后达到抽象的比例关系，促使学生数学认知结构不断深化。参考文献：刘加霞从加法结构到乘法结构“倍”是转折点孙常识、姚平子儿童数学认知结构的发展与教育，人民教育出版社4