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1、方程的根与函数的零点的教学设计湖北省黄冈市团风中学 胡建平教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）的第三章3.1.1方程的根与函数的的零点。函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是出等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活实践中，函数与方程都有着十分的应用，在注重理论与实践相结合的今天，有着无可替代的作用，在加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一。因此函数与方程在高一乃止整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。 本节要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系。它既揭示了初中两大
2、知识方程与函数的内在联系，也是对本章函数知识的加深与总结。也是对函数知识的总深拓展，把函数在解方程中加以应用，从而还可以渗透中学的重要数学思想：方程与函数的思想，数形结合的思想。为学好中学数学打下一个良好基础。因此教好本节是至关重要的。学生分析程度差异性：中等程度的学生占大多数，程度教高的学生与程度差的学生占少数。知识、心理、能力储备：学生在次之前已经学习了函数的图象和性质，特别对二次函数有较深的认识，基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的
3、零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表数抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系。并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让
4、学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。教学中还应创设问题情景，激发学生探究兴趣，并引导学生观察、计算、思考从而达到教学目标。教学目标知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，
5、在数学教学中培养学生的辨证思维的思想，以及分析问题解决问题的能力。重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。教学程序与环节设计：创设情境组织探究尝试练习探索研究作业回馈课外活动结合实际问题诱发兴趣，结合二次函数引入课题二次函数的零点及零点存在性的零点存在性为练习重点。进一步探索函数零点存在性的判定。重点放在零点的存在性判断及零点的确定上。研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结。 教学建议 分析教材设计意图，探讨教学规律； 探索合理教学思想，提出教学建议。设
6、计流程一、 创设情景、引出问题问题1：我国自行研制的某种弹道导弹以每小时5000米/每秒的速度发射，那么它几秒后可以击中地面目标。（不记空气阻力，重力加速度g=10 ）让学生各自独立思考，并请两名不同解法的同学陈述自己的解法。不出意外应该有两种思路：思路一 先列出方程，由方程的解得到。思路二 写出函数式，再令得到。师生互动 师：思路一用一元二次方程的知识得到结果，而思路二用二次函数的知识得到了相同的结果，那么二者有没有关系？如果有，那又是什么关系？生：一元二次方程的根等于对应二次函数图象与轴的焦点的横坐标。师：再看下面的题目，从图象的角度直观的体验上述结论。问题2：先来观察几个具体的一元二次方
7、程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数方程与函数 师生互动师：引导学生画图、观察图象与x轴交点的个数与方程的根的个数的关系；观察图象与x轴交点的横坐标与方程根的大小关系。并引出函数零点概念。生：画图、思考、并归纳出结论：函数图象与x轴交点的个数等于对应方程根的个数；函数图象与轴的焦点的横坐标的大小与对应方程的根的大小相等。设计意图-问题1以实际应用问题引入，以学生熟悉的感兴趣背景入题，不仅能激发学生的兴趣，又能激活学生的已学知识，为下一步的深入研究做好铺垫。问题2是几种不同的函数与方程，它既是几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，
8、研究它们有利于培养学生思维的完整性，也为学生归纳方程与函数的关系铺好了台阶。二、 层层推进，组织探究老师给出函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点问题3：思考函数零点的概念，写出问题2中三个函数的零点？并填下表函数函数的零点方程的根设计意图-此问的设置一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。师生共同观察、分析得出对函数零点的几点认识：（1） 函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现。例如函数的零点为x=-1,3（2） 函数零点的
9、意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标(3) 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点(4) 函数零点的求法：可以解方程而得到（代数法）；可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点（几何法）补充练习：求函数的零点（建议学生用两种方法做）设计意图-巩固函数零点的求法，渗透二次以外的函数的零点情况。总结讨论二次函数的零点的存在情况问题4：是不是所有的二次函数都有零点？师生互动师：仅提出问题，不须做任何提示。生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论二次函数的零点：二次函数 ），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，
10、二次函数有两个零点），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点设计意图-本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生总结归纳能力。零点存在性的探索：问题5：（）观察二次函数的图象： 在区间上有零点吗？_；_，_,_0（或）思考：若0，那么函数在上一定有零点吗? 在区间上有零点_；_0（或）思考：若，那么函数在上一定有零点吗?（）观察下面函数的图象 在区间上_(有/无)零点；_0（或） 在区间上_(有/
11、无)零点；_0（或） 在区间上_(有/无)零点；_0（或）_0（或）在区间上_(有/无)零点？ 0（或）。区间思考：若函数满足，在区间上一定有零点吗？若函数满足，在区间上一定有零点吗？由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？如果在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根。理解：此性质成立的前提是图象是连续不断的一条曲线。 零点并不一定是唯一的，但一定存在。 是函数在区间内有零点的充分条件。但是若函数是一次、二次时，则是函数在区间内有零点的充要条件。师生互动师：怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点生：分析函数，按
12、提示探索，完成解答，并认真思考师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用设计意图-如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点，用数形结合的方法是最直观的，学生也是最易接受的。问题5的问题设计层层递进、层层加深。有助于学生理解概念，自己总结出函数零点的判定方法。这样设计不仅符合学生的认知特点，也无形中给学生灌输概念发生的从特殊到一般过程。三、 例范研究例1求函数的零点个数问题：1）你可以想到什么方法
13、来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2求函数，并画出它的大致图象师生互动师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数四、练习尝试1利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（3）（4）2利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；（3）；（4） 师生互动师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识
14、到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。五、 探索研究1已知，请探究方程的根如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）2设函数（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；（2）当时，函数的零点是怎样分布的？ 3讨论：请大家给方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？师生互动师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性
15、及根存在的区间大小情况。生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高，从小科学研究的素养。现代设计意图-数学教学的新理念，就是想法设法在教学中培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。六、 作业回馈1 教材P108习题31（A组）第1、2题；2 求下列函数的零点：（1）；（2）3求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）；（2）七、 课外活动课后讨论并总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？八、 教学建
16、议注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想：我们生活在一个充满变化的多彩世界，其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数、方程模型得到解决，这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景。教学内容围绕实际问题的讨论而展开，有利于揭示函数与方程之间的关系，能提高学生对函数与方程关系的认识与理解注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系：对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则分三步来展开这部分的内容第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形
17、第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中切忌面面具到，延展太深。恰当使用信息技术：本节的教学中应当充分使用信息技术。实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中应当加强信息技术的使用力度。合理使用多媒体和计算器。参考资料：1、函数与方程思想在数学解题中的应用 袁桂珍 广西教育 2004、3.2、函数与方程思想的应用 胡榴宝 中学数学教学 2003、3.8