第22章一元二次方程导学案.doc

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1、第二十二章 一元二次方程1、 一元二次方程（1）学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程 去括号得 你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什

2、么？探究新知自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程 整理得 问题2可列方程 整理得 1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。其中为一元二次方程的是：【我学会了】1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。2、一

3、元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。自主探究： 自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1）（2）【巩固练习】教材第27页练习归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？作业（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）（ ）（2） ( )(3) （ ） (4) ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2x=2； （

4、2）7x3=2x2;（3）(2x1)3x(x2)=0 （4）2x(x1)=3(x5)4.3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1） 1 2；（2） 2， 4（B）1、把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。2、要使是一元二次方程，则k=_.3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。2、一元二次方程（2）学习内容 1一元二次方程根的概念； 2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目学习目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题重难点关键 1重点：判定一个

5、数是否是方程的根； 2难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根学习过程一、自学教材针对目标自学教材27页28页内容，会规范解答28页练习题1、2.二、合作交流，解读探究先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目： 1下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 应用迁移，巩固提高 3、 若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式

6、2009(a+b+c)的值4、关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值 三、总结反思，自查自省 选择题 1方程x（x-1）=2的两根为（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b2 3已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b0），则=（ ） A1 B-1 C0 D2 填空题 1如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_ 2已知方程5x

7、2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_ 3方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=_；x2=_ 综合提高题 1如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值 2如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根3、 配方法（一）学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p0)或（mx+n）=p(p 0)的方程2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结

8、果的合理性。重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。难点：理解并应用直接开平方法 解特殊的一元二次方程。导学流程：自主探索自学P30问题1、及思考完成下列各题：解下列方程：（1）x220; （2）16x2250. （3）（x1）240； （4）12（2x）290.总结归纳如果方程能化成=p或（mx+n）=p(p 0)形式，那么可得巩固提高 仿例完成P31页练习课堂小结 你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？达标测评1、解下列方程：（1）x2169； （2）45x20； （3）x2-12=0 （4）x2-2=0（5）2x2-3=0 （6）3x2-=0（7）12y2250； （8）（

9、t2）（t +1）=0； （9）x2+2x+1=0 （10）x2+4x+4=0 （11）x2-6x+9=0 （12）x2+x+=04、配方法（二）学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。导学流程自主学习自学P31-32问题2，完成P33思考。精讲点拨上面，我们把方程x2+6x-160变形为(x+3)225，它的左边是一个含有未知数的_式，右边是一个_常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练 ：配方.填空：（1）x26x（ ）（x ）2；（2）

10、x28x（ ）（x ）2；（3）x2x（ ）（x ）2；从这些练习中你发现了什么特点?(1)_(2)_合作交流 用配方法解下列方程：（1）x26x70；（2）x23x10.解（1）移项，得x26x_.方程左边配方，得x22x3_27_，即 （_）2_.所以 x3_.原方程的解是x1_，x2_.（2）移项，得x23x1.方程左边配方，得x23x（ ）21_，即 _所以 _原方程的解是： x1_x2_总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？深入探究 自学P33页例1，完成练习： 用配方法解下列方程：（1） （2）巩固提高：完成P34页练习课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二

11、次方程？有哪些步骤？ 达标测评用配方法解方程：1、x28x20 2、x2+2x30. 3、x2-x=6 4、x25x40 5、 x-2x-3=0 6、 2x+12x+10=0 7、x-4x+3=0 8、9x-6x-8=0 9、x+12x-15=0 10、 2x+1=3x 11、 3x+6x-4=0 12、 4x-6x-3=0 13. x+4x-9=2x-11 14. x(x+4)=8x+12 拓展提高 已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 5、公式法学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能

12、训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。导学流程复习提问： 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2bxc0(a0).推导公式用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0).因为a0，方程两边都除以a，得_0.移项，得 x2x_，配方，得 x2x_,即 (_) 2_因为 a0，所以4 a20，当b24 ac0时，直接开平方，得 _.所以 x_即 x_x ( b

13、24 ac0)由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 bxc0的求根公式：精讲点拨利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.合作交流b24 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。 当b24ac0时，方程有个的实数根；（填相等或不相等） 当b24ac0时，方程有个的实数根x1x2 当b24ac0时，方程实数根.巩固练习1、做一做：(1)方程2x-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）(2)方程(2x-1)=-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.(

14、3)方程3x-2x+4=0中，=（）,则该一元二次方程（ ）实数根。(4)不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。深入探究：自学P36页例2，完成下列特别各题：应用公式法解下列方程:(1) 2 x2x60； (2) x24x2；(3) 5x24x120； (4) 4x24x1018x. 巩固提高：完成P37页练习课堂小结1、一元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？达标测评（A）1、应用公式法解方程：(1) x26x10； (2)2x2x6；(3)4x23x1x2； (4)3x(x3) 2(x1) (x1).（5）（x-2）（x+5）8； （6）（x1）22（

15、x1）.6、因式分解法学习目标：1会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。重点、难点1、 重点：应用分解因式法解一元二次方程2、 难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.【课前预习】阅读教材P38 40 , 完成课前预习1：知识准备将下列各题因式分解am+bm+cm= ; a2-b2= ; a22ab+b2= 因式分解的方法： 解下列方程（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）2：探究仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？3、

16、归纳：（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_ _的形式，再使_，从而实现_ _，这种解法叫做_。（2）如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_，即或_。练习1、说出下列方程的根：（1） （2）练习2、用因式分解法解下列方程：(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0 【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1、 用因式分解法解下列方程(1) (2) （3） (4) 例2、 用因式分解法解下列方程（1）4x2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2 （3） （4）3x2-12x=-12活动3：随堂训练1、 用因式分解法解

17、下列方程（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0（3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)22、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。活动4：课堂小结因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1） 将方程右边化为 （2） 将方程左边分解成两个一次因式的 （3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程（4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解【课后巩固】1方程的根是 2方程的根是_3方程2x(x-2)=3（x-2）的解是_ 4方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且

18、x1x2，则x1-2x2的值等于_5若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_6已知y=x2-6x+9，当x=_时，y的值为0；当x=_时，y的值等于97方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ） A-1，2 B1，-2 C0，-1，2 D0，1，28若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A（x+5）（x-7）=0 B（x-5）（x+7）=0 C（x+5）（x+7）=0 D（x-5）（x-7）=09方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ） Ax=-4 Bx=5 Cx1=-4，x2=5 D以上结论都不对10、用因式分解法解下列方程：(1) (2)

19、 (3) (4) (5) (6) (7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x2+x（x-5）=011补充练习（1）（2011浙江省嘉兴，2，4分）一元二次方程的解是（ ）（A） （B）（C）或（D）或（2）（2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程时，原方程应变形为ABCD（3）（2011江苏泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是 Ax=2 Bx=0 Cx1=0, x2=2 Dx1=0, x2=2（4）（2011安徽，8，4分）一元二次方程x（x2）=2x的根是（ ）A1B2C1和2 D1和2（5）（2011湘潭市）一元二次方程的两根分别为 （ ）A. 3, 5 B. 3，5 C

20、. 3,5 D.3，5（6）（2011浙江省舟山，2，3分）一元二次方程的解是（ ）（A） （B）（C）或 （D）或（7）（2011山东泰安，21 ，3分）方程2x2+5x-3=0的解是 。（8）（2011浙江衢州，11,4分）方程的解为 .*思考题：解方程：8、习题课学习目标能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。难点：理解四种解法的区别与联系。复习提问（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？精讲点拨观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的

21、选择顺序一般为：直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。练习一：分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0 用因式分解法： 用配方法： 用公式法： 用因式分解法： 用配方法： 用公式法： 练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。 （1）12y2250； （你用_法） （2）x22x0； （你用_法） （3） （你用_法）（4）x26x10； （你用_法） （5）3x24x1； （你用

22、_法） （6） 3x24x. （你用_法） 对应训练1、解下列方程（1）； （2）；（3）x22x80； （4）3x24x1；（5）；（6）.2、当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x26的值等于21；（2）3x26的值与x2的值相等.3、用适当的方法解下列方程：（1）3x24x2x；（2）（3）x2(1)x0；（4）；（5）； （6）；4、已知y12x27x1，y26x2，当x取何值时y1y2？课堂小结根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.拓展提高1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）（A）3或

23、-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-22、试求出下列方程的解：（1） （2）3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元服装厂向24名家庭贫困学生免费提供经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润问这批演出服共生产了多少套？7 、一元二次方程根的判别式学习目标1、 了解什么是一元二次方程根的判别式；2、 知道一元二次方程根的判别式的应用。重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；难点：根的判别式的变式应用。导学流程复习引入一元二次方程ax2bxc0（a0）只有当系数a、b、c满足条件b24ac_0时才有实数根观察上式我们不难发现一

24、元二次方程的根有三种情况： 当b24ac0时，方程有个的实数根；（填相等或不相等）当b24ac0时，方程有个的实数根x1x2当b24ac0时，方程实数根.精讲点拨这里的b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2x10，可由b24ac0直接判断它实数根；合作交流方程根的判别式应用1、不解方程，判断方程根的情况。（1）x22x80； （2）3x24x1；（3）x（3x2）6x20；（4）x2(1)x0；（5）x（x8）16；（6）（x2）（x5）1；2说明不论m取何值，关于x的方程（x1）（x2）m2总有两个不相等的实数根.

25、解：把化为一般形式得b24ac拓展提高应用判别式来确定方程中的待定系数。（1）m取什么值时，关于x的方程x2-2xm20有两个相等的实数根？求出这时方程的根. （2）m取什么值时，关于x的方程x2-(2m2)xm2-2m20没有实数根？课堂小结1、 使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？2、 列举一元二次方程根的判别式的用途。达标测评（A）1、方程x2-4x40的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根； D.没有实数根.2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） Ax210 B. x2+x-10 C. x2+2x30 D

26、. 4x2-4x103、若关于x的方程x2-xk0没有实数根，则（ ）A.k B.k C. k D. k 4、关于x的一元二次方程x2-2x2k0有实数根，则k得范围是（ ）A.k B.k C. k D. k （B）5、取什么值时，关于x的方程4x2-(2)x0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.6、说明不论取何值，关于x的方程x2(2)x0总有两个不相等的实根.一元二次方程的根的判别式练习1、方程2x2+3xk=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。2、关于x的方程kx2+(2k+1)xk+1=0的实根的情况是 。3、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。4、关于x的方程(k

27、2+1)x22kx+(k2+4)=0的根的情况是 。5、当m 时，关于x的方程3x22(3m+1)x+3m21=0有两个不相等的实数根。6、如果关于x的一元二次方程2x(ax4)x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是 。7、关于x的一元二次方程mx2+(2m1)x2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。8、已知一元二次方程x26x+5k=0的根的判别式=4，则这个方程的根为 。9、若关于x的方程x22(k+1)x+k21=0有实数根，则k的取值范围是( ) A.k1 B.k1 C.k1 D.k-110、设方程(xa)(xb)cx=0的两根是、，试求方程(x)(x)+cx=0的根。11、不

28、解方程，判断下列关于x的方程根的情况：(1)(a+1)x22a2x+a3=0(a0) (2)(k2+1)x22kx+(k2+4)=010、m、n为何值时，方程x2+2(m+1)x+3m2+4mn+4n2+2=0有实根?12、求证：关于x的方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0没有实数根。13、已知关于x的方程(m21)x2+2(m+1)x+1=0，试问：m为何实数值时，方程有实数根?14、 已知关于x的方程x22xm=0无实根(m为实数)，证明关于x的方程x2+2mx+1+2(m21)(x2+1)=0也无实根。15、已知：a0,ba+c,判断关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况。16

29、、m为何值时，方程2(m+1)x2+4mx+2m1=0。(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个实数根；(3)有两个相等的实数根；(4)无实数根。17、当一元二次方程(2k1)x24x6=0无实根时，k应取何值?18、已知方程(x1)(x2)=m2(m为已知实数，且m0)，不解方程证明：这个方程有两个不相等的实数根；19、不解方程判别根的情况.20、不解方程判别根的情况x20.4+0.6=0；21、不解方程判别根的情况2x24x+1=0；22、不解方程判别根的情况4y(y5)+25=0；23、不解方程判别根的情况(x4)(x+3)+14=0；24、不解方程判别根的情况。25、试证：关于x的一元

30、二次方程x2+(a+1)x+2(a2)=0一定有两个不相等的实数根。26、若a1，则关于x的一元二次方程2(a+1)x2+4ax+2a1=0的根的情况如何?27、若a6且a0，那么关于x的方程ax25x+1=0是否一定有两个不相等的实数根?为什么?若 此方程一定有两个不相等的实数根，是否一定满足a6且a0?28、.a为何值时，关于x的一元二次方程x22ax+4=0有两个相等的实数根?29、已知关于x的一元二次方程ax22x+6=0没有实数根，求实数a的取值范围。30、已知关于x的方程(m+1)x2+(12x)m=2。m为什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根?(2 )方程有两个相等的实数根?

31、(3)方程没有实数根?31、分别根据下面的条件求m的值：(1)方程x2(m+2)x+4=0有一个根为1；(2)方程x2(m+2)x+4=0有两个相等的实数根；(3)方程mx23x+1=0有两个不相等的实数根；(4)方程mx2+4x+2=0没有实数根；(5)方程x22xm=0有实数根。32、已知关于x的方程x2+4x6k=0没有实数根，试判别关于y的方程y2+(k+2)y+6k=0的根的情况。33、m为什么值时，关于x的方程mx2mxm+5=0有两个相等的实数根?34、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，试证明关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根。一元二次方程根与系

32、数的关系一、学习目标：1理解并掌握根与系数关系：，；2会用根的判别式及根与系数关系解题.二、学习重难点重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系. 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；三、前置学习一元二次方程的一般式： 一元二次方程的解法： 一元二次方程的求根公式： 四、展示交流1.探究1：完成下列表格方 程x1x2x1+x2x1x2x2-5x+6=025x2+3x-10=0-3问题：你发现什么规律？x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. .2.探究2：完成下列表格方 程x1x2x1+x2x1x22x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01问题：上面发现的结论在这里成

33、立吗？请完善规律；ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. .3.利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理）ax2+bx+c=0的两根x1= , x2= (前提条件是 )x1+x2 x1x24.练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：x2-3x-1=0 2x2+3x-5=0 五、达标拓展1.例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：x2-6x-15=0 3x2+7x-9=0 5x-1=4x22.例2：已知方程2x2+kx-9=0的一个根是 -3 ，求另一根及k的值。4.拓展应用已知,是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 （1） （2） （3）已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根是x方程的两根的平方,则关于y的方程是_ _ .六、巩固提高1.方程2x2-3x-1=0，则x1+x2= ，x1x2= _ _2.若方程x2+px+2=0的一个根2，则它的另一个根为_ _ _ p=_ _ 3.若0和-3是方程的x2+px+q