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1、第五章 第六节 定积分的几何应用 （一） 平面图形的面积 1. 直角坐标情形 2.极坐标方程的情形 （二） 旋转体的体积 回顾：基本积分公式 1. 直角坐标情形 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 面积表示为定积分的步骤如下: （3） 求和，得A的近似值 a b x y o （4） 求极限，得A的精确值 面积微元 注意： 仿此可得图1的面积： A y x=f(y) 图2的面积： （图1） （图2） 上曲线减下曲线对x积分。 y+dy x+dx （图3）的面积： x y=f(x) （图3） （图4） （图4）的面积： Ax=f(y) （图5） x=g(y) 右曲线减左曲线对y积分。
2、一般解题步骤： （1）画草图，定结构； （2）解必要的交点，定积分限； （3）选择适当公式，求出面积（定积分）。 注意：答案永远为正。 解两曲线的交点 选 为积分变量 解 先求两曲线的交点。 解法2 选 为积分变量 显然解法2简单！ 选择合适的积分变量是重要的。 解设椭圆方程为 由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍 以x为积分变量，得 曲边扇形面积微元 曲边扇形的面积公式 2. 极坐标方程的情形 解 由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。 解利用对称性知，所求面积 为上半部的两倍， 圆柱圆锥圆台 二、旋转体的体积 旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直 线旋转一周而成的立体这条直线
3、叫做旋转轴 旋转体的体积公式 推导 x y o 解直线 方程为 如图由于图形关于坐标轴对 称，故只需考虑其第一象限内的 曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋 转体的体积。 求椭圆 分别绕 轴与 轴旋转而成 的旋转体的体积。 例7 解 （1）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为： （2）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为： 特别地，当 时，得半径为 的球体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 三、平行截面面积已知的立体的体积 解取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 作 业 P171. 1.（1）（2） 4 5 .（1
4、） 6 一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 三、收益流的现值和将来值（次要） 第七节 定积分的经济应用 一、由边际函数求原函数 解 例1 已知边际成本为 固定成本为1000,求总成本函数。 二、由变化率求总量 例2 某工厂生产某商品在时刻 的总产量变化 率为 (单位/小时)。求由 到 这两小时的总产量。 解 三、收益流的现值和将来值 收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流。 收益流量 收益流对时间的变化率。 若以连续复利r计息，一笔P元人民币从 现在存入银行，t年后的价值（将来值） 若有一笔收益流的收益流量为 （元/年），考 虑从现在开始 到 年后这一时间段的将来值 和现值。（以连续复利率计息） 分析 在区间 内任取一小区间 ， 在 内所获得的金额近似为 从 开始, 这一金额是在 年后的将 来获得,因此在 内, 收益现值 总现值 对于将来值, 在 年后获得利息, 从而在 内, 收益流的将来值 故,总的将来值 例3 假设以年连续复利率 0.1 计息 ,求收益流量为 100元/年的收益流在20年内的现值和将来值. 解现值 将来值