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1、第六节 定积积分的几何应应用 引 从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边 梯形的面积.那么定积分在几何上还有其它方面的应 用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？ 一、微元法 微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问 题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件: (1) Q 是与一个变量 x 的变化区间a, b有关的量; (2) Q 对于区间 a , b 具有可加性, 也就是说, 如 果把区间 a , b 分成许多部分区间, 则 Q 相应地分 成许多部分量, 而 Q 等于所
2、有部分量之和; (3) Q = dQ ( x ) + o ( x ). 则整体量 微元法或微元分析法遵循如下三个步骤: 第一步: 确定整体量 Q 的变化区间, 比如 Q ( x ) 的变化区间为 a , b . 第二步: 对具有可加性的 Q ( x ) , 考察增量 Q ( x ) , 如能写成 Q ( x) = dQ ( x ) + o ( x ) . 第三步: 求出整体量 Q , 即 由于第二步考证比较复杂, 在以后的讨论中, 一般 略去这一步. 二、平面图形的面积 由定积分的几何意义知, 在区间 a , b 上, 当 f ( x ) 0时, 由连续曲线 y = f ( x ) , 直线
3、x = a , x = b 与 x 轴 所围成的曲边梯形的面积为 其中被积表达式 f ( x ) dx 是 直角坐标系下的面积元素, 它 表示高为 f ( x ), 底为 dx 的 小矩形面积, 见图5-7. y = f (x) f (x) x y ax x + dx bO dA 一般地, 平面图形以连续曲线 y = f ( x )与 y = g ( x )为上下曲边的曲边形的面积元素为dA = f (x) g (x)dx.这样, 由 x = a , x = b , y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 所 围图形( 如图5 8 ) 的面积为 y = f (x) x y a x
4、x + dx bO y = g (x) 类似地, 若平面图形由连续曲线 x = ( y ) 与 x = ( y ) 及直线 y = c , y = d 围成, 见图5 8 , 则其面积为 x = (y) x = (y) O x y c d y y + dy 例1 求由曲线 y = x 2 与 y = 2 x 2 所围成的平面 图形的面积. 解 解方程组 求得两抛物线的交点 为( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , 故所求平面图形 ( 如图5 10 ) 的面积为 (1, 1) (-1, 1) O x y 1-1 y = x 2 y = 2 - x 2 x x+dx 例2 求由抛物线 y
5、2 = 2 x 及直线 y = x 4 所围图 形的面积. 解 解方程组 得交点为( 2, 2 ), ( 8 , 4 ), 见图5 11 . 故所求平面图形的面积为 y y 2= 2x y = x - 4 (8, 4) (-2, 2) 4 -2 O x y y + dy 以 y 为积分变量, 则 y-2, 4, 面积元素为 例3 求椭圆 所围成区域的面积. 解 椭圆关于坐标轴对称, 见图5 12 , y O x x x + dx b a 它在第一象限部分面积的4倍, 因此 所求面积为 三、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体, 这条直线叫做旋转轴. 由连
6、续曲线 y = y ( x ) , 直线 x = a , x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 的体积可用定积分计算. 以 x 为积分变量, x a , b 取 x, x+dx a , b , 在 x , x + dx上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底 面 y Ox x x+dx y = f (x) a b 元素为 dV = f ( x ) 2 dx. 旋转体的体积为 半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积 类似地, 如果旋转体是由连续曲线 x = ( y ) , 直 线 y = c , y = d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕
7、 y 轴旋转 y Ox d x = (y) 一周而成的立体, 见图5 18 , 则体积为 例4 计算由椭圆 所围成的图形 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 解 这个旋转体可以看成由半个椭圆 而成的立体, 见图5-19, 及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周 图5-19 y O xx x+dxa b 特殊地, 当 a = b 时, 得球的体积 例5 求曲线 y = sin x ( 0 x ) 及 x 轴所围成的 图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积. 解 选 y 为积分变量, 则平面图形必定是与 y 轴 围成的. 因此, 曲线弧 y = sin x ( 0 x ) 必须分成 左、右两条曲
8、线弧, 其方程分别表示成 x = arcsin y , x = arcsiny , 见图. 图 5-20 y O x/2 C B x = - arcsiny x = arcsinyA 所得旋转体的体积可以看成平面图形 OABC 和 OBC 分别绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积之差. 利用旋转体的体积公式得 由曲线 y = f ( x ) , 直线 x = a , x = b 及 x 轴所围 成的曲边梯形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积的计算 还可以从另一个角度考虑. 取 x , x + dx a , b , 以 x , x + dx 为底, y = f ( x ) 为曲边的小曲边梯形绕 y 轴旋转可以近似看成两个圆柱 体的体积差, y x a y = f (x) x x+dx b 设 f (x) 0, 以 x 为积分变量, xa, b,如图, 即 (x +dx)2f (x) - (dx)2 f (x) = 2x f (x)dx - f (x)(dx)2. 利用上述公式计算例5, 则有 上式中后一项是前一项关于 dx 的高阶无穷小, 因此体 积元素为 dV = 2 s f ( x ) dx . 旋转体的体积为