第2章自动控制系统数学模型.ppt

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1、第2章 自动控制系统数学模型,一门学科要形成体系，通常要借助数学工具； 一个自动控制系统分析和设计的基础是数学，而着手点就是数学模型； 自动控制系统的数学模型指的是描述系统运动的某种数学形式。,0,第2章 自动控制系统数学模型,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,1,控制系统一般来说都是相当复杂的物理系统，它们的组成可以是各种不同的物质运动形式：电、机械、液压、气动等。但若它们的运动过程的数学模型相同，则它们的分析和设计也就完全一样。,2,第2章 自动控制系统数学

2、模型,第2章 自动控制系统数学模型,数学模型定义： 根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。 表示方法： 微分方程、传递函数、动态结构图、信号流图、状态方程。,3,第2章 自动控制系统数学模型,数学模型的类型： 1. 静态模型与动态模型 描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。 描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊

3、情况。,4,第2章 自动控制系统数学模型,数学模型的类型： 2. 连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。 连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。 离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。,5,第2章 自动控制系统数学模型,数学模型的类型： 3. 参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数型两大类。 参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。 非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数

4、学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。,6,第2章 自动控制系统数学模型,注释： 建模一般应根据系统的实际结构参数及计算所要求的精度忽略去一些次要因素，使模型既能反映系统的动态特性，又能简化分析、计算。 数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。,7,2.1 建立动态微分方程的一般方法,动态微分方程（时域数学模型）： 是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。 一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组 ，然后消去中间变量，即得控制

5、系统总的输入和输出的微分方程。,8,微分方程的建立 1、确定系统和各元件的输入和输出量； 2、根据物理或化学定律，从输入端开始按信号的传递顺序，列写每个元件的运动方程； 3、消除中间变量，写出输入、输出微分方程式； 4、标准化，即将与输入有关的放在“=”的右侧，输出有关的放在“=”的左侧，并按降幂排列。,2.1 建立动态微分方程的一般方法,9,例2.1 RC网络的微分方程。给定输入电压ur为系统的输入量，电容上的电压uc为系统的输出量。 解:设回路电流为i，由电路 理论可知，电阻上的电压为 电容上的电压与电流的关系为 由基尔霍夫电压定律，列写回路 方程式,图2.1 RC网络电路,消去中间变量u

6、1、i 得 (1) 令 为电路时间常数，则 (2) 式(2)即为RC网络的微分方程，它是一阶常系数线性微分方程。,例2.2 列写如图2.2所示RC 网络的微分方程。给定输入电压 为系统的输入量，电容 上的电压 为系统的输出量。 解: 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程 (3) (4),图2.2 RC网络电路,由基尔霍夫电流定律，电容 中的电流为 电容 中的电流为 ，所以 (5) (6) 下面消去中间变量 、 、 。将式(6)代入式(5)得 (7),(9) 将式(9)代入式(8)得 (10) 标准化得 (11),其中 ， ， ，为电路的时间常数。 注意，图2.2所示RC网络虽然是两个图2.1所示R

7、C网络的串联，但应该注意到前面一个RC网络不是开路，后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载，式(11)中 的这一项就反映了这一负载效应。,例2.3 R-L-C 串联电路（基尔霍夫电压、电流定律）,2.1 建立动态微分方程的一般方法,16,例2.4 弹簧阻尼器系统,2.1 建立动态微分方程的一般方法,17,电磁力矩： 安培定律,电枢反电势： 楞次定律,电枢回路： 克希霍夫,力矩平衡： 牛顿定律,例2.5 电枢控制式直流电动机,2.1 建立动态微分方程的一般方法,18,电机时间常数 电机传递系数,消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：,2.1 建立动态微分方程的一般方法,19,建立动态微分方

8、程的步骤,（1）确定系统的输入、输出变量，并根据需要引进一些中间变量。,（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程，一般为微分方程组。 常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。,（3）消去中间变量，得到描述输出量与输入量关系的微分方程，即微分方程数学模型。,2.1 建立动态微分方程的一般方法,20,（4）微分方程标准形式 与输入量有关的各项写在方程的右边； 与输出量有关的各项写在方程的左边 方程两边导数项均按降阶排列。 其一般形式为,2.1 建立动态微分方程的一般方法,21,注意：由于实际系统的结构一般

9、比较复杂，我们甚至不清楚内部机理，所以，列写实际工程系统的微分方程是很困难的。,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,第2章 自动控制系统数学模型,22,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,非线性： 只要两个变量之间的数学描述不是直线方程，那么就称两个变量之间的关系是非线性的。 严格地讲，实际系统中的变量之间的关系都是非线性的。 由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了线性化问题。如果能够合理地对系统进行线性化，将大大简化系统分析和设计的过程。虽然此方法是近似

10、的，但只要这样做所造成的误差在允许范围内，此方法任不失为一种很有实际意义的手段。,23,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,1. 几种常见的非线性,24,2、 线性化的方法,（1）忽略弱非线性环节： 如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略；,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,25,（2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法） 偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。 这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏

11、差，所以各元件只能工作在平衡点附近。,设 A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成泰勒级数,忽略二次以上的各项，上式可以写成 其中,这就是非线性元件的线性化数学模型,26,取一次近似，且令,有,例 已知某装置的输入输出特性 求小扰动线性化方程。,解 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,27,解 在 处泰勒展开，取一次近似,代入原方程可得,例 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程 式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。,2.2 非线性

12、系统微分方程模型的线性化,28,在平衡点处系统满足,上两式相减可得线性化方程,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,29,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,30,非线性方程线性化 非线性系统，必须连续可导 小范围内变化，即某个邻域 工作点不同，线性比例K值不同 不适用与严重非线性场合，如继电特性,如果一非线性元件输入输出关系如图所示 此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为,（3）平均斜率法,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,31,注意：上述几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。,2.2

13、非线性系统微分方程模型的线性化,32,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,第2章 自动控制系统数学模型,33,1 拉普拉斯变换 2 传递函数 3 典型环节的传递函数,2.3 传递函数,34,线性控制系统可以用常系数线性微分方程来描述，求解这个微分方程，就得到表示系统动态特性的过渡过程，因此，方便地求解微分方程是至关重要的。 拉氏变换就是一种用来简化求解微分方程的运算方法。,1、 复数有关概念,（1）复数、复函数,复数,复函数,例1,（2）模、相角,（3）复数的共轭

14、,（4）解析: 若F(s)在 s 点的各阶 导数都存在，则F(s)在 s 点解析。,模,相角,2.3.1 拉普拉斯变换,35,2、 拉氏变换的定义,36,2.3.1 拉普拉斯变换,若有时间函数 f(t)，对其乘于收敛因子 e-st ，其中s=+j为一个复变量，然后对 t 从 0- 进行积分。若此积分收敛，便确定了一个复变函数 F(s)，称为时间函数 f(t) 的拉氏变换。,条件： （1）0时， f(t)=0， （2）能找到一个有限实数，使 。,（1）阶跃函数,3、 常见函数的拉氏变换,37,2.3.1 拉普拉斯变换,（2）指数函数,38,2.3.1 拉普拉斯变换,（3）正弦函数,39,2.3.

15、1拉普拉斯变换,欧拉公式,（1）线性性质,4、 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,f(t)及其各阶导数的值在t=0处的值都为零（零初条件）下有：,40,2.3.1 拉普拉斯变换,例1 求,解.,例2 求,解.,41,2.3.1 拉普拉斯变换,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,例3 求 Lt=?,解.,42,2.3.1拉普拉斯变换,例4 求,解.,43,2.3.1拉普拉斯变换,（4）实位移定理 （延迟定理）,例5,解.,44,2.3.1拉普拉斯变换,（5）复位移定理,例6,例7,例8,45,2.3.1拉普拉斯变换,（6）初值定理,例9,46,2.3.1拉普拉斯变换,（7）终值定

16、理,例10,例11,47,2.3.1拉普拉斯变换,（8）相似定理（时标变换）,48,2.3.1拉普拉斯变换,（9）卷积积分定理,定义卷积积分 则有卷积积分定理,5、用拉氏变换方法解微分方程拉氏反变换,L变换,系统微分方程,L-1变换,49,2.3.1拉普拉斯变换,由象函数F(s)求原函数f(t),可根据拉氏反变换公式计算,1) 拉氏变换的定义,（2）单位阶跃,2) 常见函数L变换,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,6、 拉氏变换小结,50,2.3.1 拉普拉斯变换,（2）微分定理,3) L变换重要定理,（5）复位移定理,（1）线性

17、性质,（3）积分定理,（4）实位移定理,51,2.3.1 拉普拉斯变换,3) L变换重要定理,（6）初值定理,（7）终值定理,52,2.3.1 拉普拉斯变换,(8)相似定理,（9）卷积积分定理,4) 拉氏反变换,（1）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,解.,53,2.3.1 拉普拉斯变换,1、拉普拉斯变换 2、传递函数 3、典型环节的传递函数,2.3 传递函数,54,传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统的影响。,1) 定义: 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。,55,2.3.2 传递函数,2.3.2 传递函数,微分

18、方程一般形式：,拉氏变换：,传递函数：,56,2) 传递函数的性质 (1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L g(t) ； (5) G(s) 与 s 平面上的零 极点图相对应。,57,2.3.2 传递函数,（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。,传递函数的局限性,58,2.3.2 传递函数,传递函数写法：,59,2.3.2 传递函数,有理分式:,零极点形式:,时间常数形式：,典型环节：传递函数的最简单、最基本构

19、成体。,60,2.3.3 典型环节的传递函数,1.比例环节,2.积分环节,3.惯性环节,T:时间常数,2.3.3 典型环节的传递函数,举例：,2.3.3 典型环节的传递函数,4.振荡环节,2.3.3 典型环节的传递函数,2.3.3 典型环节的传递函数,5. 微分环节,纯微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,2.3.3 典型环节的传递函数,6. 延迟环节 时滞环节，滞后环节，时延环节,t,y(t),2.3.3 典型环节的传递函数,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,

20、67,第2章 自动控制系统数学模型,微分方程、传递函数等数学模型： 纯数学表达式，不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响， 系统原理图、职能方框图 虽然反映了系统的物理结构，但又缺少系统中各变量间的定量关系。 结构图或称为方框图、方块图： 既能描述系统中各变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响。 计算复杂系统的传递函数时，常采用的一种图形化的处理方式。,2.4 系统动态结构图,68,2.4.1 结构图的概念和组成 1) 概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。 2) 组成 (1)函数方框：有输入

21、信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数。,2.4 系统动态结构图,69,G(s),X(s),Y(s)=G(S)X(S),(2)信号线: (3)引出点(分支点)： 一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。 （4）比较点(综合点，相加点)： 加号常省略，负号必须标出,70,2.4 系统动态结构图,X(s),X(s),X(s),X(s),2.4.2 结构图的绘制 例：绘制双T网络的结构图,71,2.4 系统动态结构图,画图时,从左向右列S代数方程组,72,2.4 系统动态结构图,将上页方程改写如下相乘的形式：,73,2.4 系统动态结构图,绘图：ur(s)为输入，

22、画在最左边。,这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写 S 域中的代数方程，画出了结构图。,74,2.4 系统动态结构图,若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？ (刚才中间变量为i1, u1, i2，现在改为I, I1, I2),从右到左列方程：,75,2.4 系统动态结构图,这个结构与前一个不一样，所以选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。,绘图,76,2.4 系统动态结构图,2.4.3 结构图的等效变换 利用结构图求传递函数 复杂的结构图通过变换转化为结构简单的系统 变换原则： 变换前后系统的输入输出之间数学关系不变 变换方法： 一类为环

23、节的合并； 另一类是分支点或相加点的移动。,77,2.4 系统动态结构图,2.4.3 结构图的等效变换 1、环节的合并 （1）串联,78,2.4 系统动态结构图,(2)并联,79,2.4 系统动态结构图,(3)反馈 这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明。 其中 为回路传递函数。,80,2.4 系统动态结构图,以后我们均采用(s)表示闭环传递函数： 负反馈时， (s)的分母为1回路传递函数，分子是前向通路传递函数。 正反馈时， (s)的分母为1回路传递函数，分子为前向通路传递函数。 单位负反馈时,81,2.4 系统动态结构图,2.4.3 结构图的等效变换,2、信

24、号相加点及分支点的移动 1)想加点前移 2)相加点后移 3)相邻相加点之间可以位置互换 4)分支点前移 5)分支点后移 6)相邻分支点可以位置互换 7)相加点和分支点之间一般不能互换位置,82,2.4 系统动态结构图,2.4.4 结构图等效变换方法,1) 上述三种典型结构环节（串联、并联、反馈）可直接用公式 2) 相邻相加点（综合点）可互换位置 3) 相邻分支点（引出点）可互换位置 注意: 1) 不是典型结构环节不可直接用公式 2) 分支点和相加点相邻，不可互换位置,83,2.4 系统动态结构图,引出点移动,a,b,84,2.4 系统动态结构图,综合点移动,向同类移动,85,2.4 系统动态结

25、构图,作用分解,86,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,87,第2章 自动控制系统数学模型,2.5 自动控制系统的传递函数,1. 系统的开环传递函数 2. 闭环系统的传递函数 3. 闭环系统的偏差传递函数,88,2.5.1 系统的开环传递函数,控制系统的典型结构: 前向通道传递函数 、 与反馈通道传递函数 的乘积称为系统的开环传递函数，相当于,89,2.5 自动控制系统的传递函数,1) 给定输入作用下的闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出 对输入 的闭

26、环传递函数为 易知,90,2.5.2 系统的闭环传递函数,2)扰动输入作用下的闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出 对扰动作用 的闭环传递函数为 系统在扰动作用下的输出为,91,2.5.2 系统的闭环传递函数,3)给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在多个输入作用下，其总输出等于各种输入单独作用所引起的输出分量的代数和，系统的总输出为,92,2.5.2 系统的闭环传递函数,偏差是指给定输入信号 与主反馈信号 之间的差值，用 表示，即 其拉氏变换为 研究各种输入作用下所引起的偏差变化规律时，常用偏差传递函数来表示。,93,2.5.3 闭环系统的偏差传递

27、函数,1)给定输入作用下的偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对给定作用 下的闭环传递函数，简称闭环系统的偏差传递函数， 用 表示，由 得,94,2.5.3 闭环系统的偏差传递函数,2)扰动输入作用下的偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对扰动作用下的闭环传递函数，简称扰动偏差传递函数，用 表示，由 有,95,2.5.3 闭环系统的偏差传递函数,3)给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差 根据线性系统的叠加原理，可求出系统在给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差为,96,2.5.3 闭环系统的偏差传递函数,注释：综观上述4种闭环传递函数 、 、 、 的表达式可以发现，它们都具有相同的分

28、母，即 通常把这个分母多项式称为闭环系统的特征多项式， 其中 为系统开环传递函数。这正是闭环控制系统的本质特征。 而将 称为闭环系统的特征方程。闭环特征方程的根称为闭环系统的特征根或闭环系统的极点。,97,2.5 自动控制系统的传递函数,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,第2章 自动控制系统数学模型,98,2.6 信号流图,1、术语介绍 2、等效变换法则 3、梅逊增益公式,99,2.6.1 信号流图的符号及术语,1、符号 1)节点 代表系统中的一个变量（信号），

29、用“o”表示。 2)支路 连接两个节点的定向线段，用“”表示。其中的箭头表示信号的传输方向。 3)传输 用标在支路旁边的传递函数G表示支路传输。G亦称支路增益，定量表示从支路一端沿箭头方向传送到另一端的函数关系。,100,2.6.1 信号流图的符号及术语,2、术语 1) 节点 结构图中所有的引出点、比较点称节点。 2）源节点 只有输出支路没有输入支路的节点，其对应于系统的输入变量。 3）阱节点 只有输入支路没有输出支路的节点，其对应于系统的输出变量。 4）混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点，其对应于系统的中间变量。,101,2.6.1 信号流图的符号及术语,2、术语 5)通路 沿支路箭头

30、方向顺序穿过各相连支路的路径，成为通路。 6）前向通路 从输入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数的乘积，叫前向通路增益。,102,2.6.1 信号流图的符号及术语,2、术语 7)回路 起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路，回路中所有传递函数的乘积叫回路增益。 8)不接触回路 相互间没有公共节点的回路称为不接触回路。,103,2.6.2 信号流图的等效变换法则,见P37 表2.1 1、串联支路合并 2、并联支路合并 3、混合节点的消除 4、回路的消除 5、自回路的消除,104,梅逊增益公式 任一结构图中，某个输入对某个输

31、出的传递函数为,105,2.6.3 梅逊增益公式,式中：n 为前向通路的条数 Pk为第k条前向通路增益 为系统特征式 = 1 -（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+,k为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次。,106,2.6.3 梅逊增益公式,梅逊公式 例R-C,107,例 2.1 求C(s)/R(s),108,2.6 信号流图,例 2.2 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,109,2.6 信号流图,例 2.2 求C(s)/R(s),110,2.6 信号流图,例 2.3 求C(s)/R(s),111,2.6 信号流图,例 2.4 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,112,2.6 信号流图,例 4 求C(s)/R(s),113,2.6 信号流图,114,2.6 信号流图,例 4 求C(s)/R(s),例 2.5 求传递函数 C(s)/R(s),115,2.6 信号流图,例 5 求C(s)/R(s),116,2.6 信号流图,例2.6 求 C(s)/R(s),C(s)/N(s),117,2.6 信号流图,118,2.6 信号流图,例2.6 求 C(s)/R(s),C(s)/N(s),The End,119,