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1、,第3章 地图投影的基本原理,地图投影基本概念 地图投影基本理论,内容提要,地球：人类生活的环境，科学研究的基础,地图投影基本概念,地球仪 近似以椭圆短轴为旋转轴旋转而成的模拟地球的椭球体 各点的几何关系的保持-距离、方位、各种特性曲线及面积保持不变 难于制作，成本高，不便于量测及携带保管。,地图投影基本概念,地图 比例尺可大可小，制作、拼接、图上作业以及携带保管都很方便,地图投影基本概念,地球：不可展曲面 地图：连续的平面 用地图表示地球表面的一部分或全部，就产生了一种不可克服的矛盾 球面 平面,地图投影基本概念,地图投影基本概念,一、地图投影的概念和实质,1、地图投影： 将地球表面上的点、
2、经纬线等变换到地图平面上的方法称为地图投影。 地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之间一一对应的函数关系。,2、地图投影基本方法,1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有变形。但是大区域垂直投影存在变形，需要考虑其他的投影方式，采用透视投影方法。,地图投影基本概念,地图投影基本概念,2）数学分析法 地球椭球面上的经纬网 平面上相应的经纬线网 地球椭球面：原面 平面：投影面,原面与投影面上的点线面具有一一对应关系,地图投影基本概念,地图投影基本概念
3、,二、地图投影的研究对象及任务,1、研究对象 地球椭球面描写到地图平面上的理论、方法及应用 地图投影的变形规律 不同地图投影之间的转换 图上量算等问题,2.任务 把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系 建立制图网经纬线在平面上的表象,地图投影基本概念 地图投影基本理论,内容提要,地图投影基本理论,一、地图投影的一般方程,x = f1(B , L) y = f2(B, L),x,y表示原点在投影面上的纵、横坐标 B、L表示原点在地球椭球体上的纬度、经度地理坐标 函数f1、f2取决于不同的投影条件,（一）投影变形的概念,把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个
4、方面。,二、地图投影变形,地图投影基本理论,地图投影基本理论,（二）长度比和长度变形,长度比():投影面上某一方向上无穷小线段 和原面上相应无穷小线段 之比。,地图投影基本理论,= 0 不变 0 变大 0 变小,长度变形（V）:指长度比与1的差值。,长度比是变量，随位置和方向的变化而变化 任何一种投影都存在长度变形,地图投影基本理论,(三)面积比和面积变形,面积比(P ):投影面上某区域无穷小面积dF与球面上相应的无穷小面积dF之比。,地图投影基本理论,面积变形（Vp）,= 0 不变 0 变大 0 变小,面积比是变量，随位置的不同而变化。,地图投影基本理论,（四）角度变形,角度变形（ ）：投影
5、面上任意两方向线所夹之角 与球面上相应的两方向线夹角 之差。,= 0 不变 0 变大 0 变小,角度变形是变量，随位置和方向的不同而变化。,角度最大变形:在同一点的某个特殊方向上，其角差具有最大值，称为该点的角度最大变形。,地图投影基本理论,标准纬线：在地图投影中不变形的纬线称为标准纬线。 主比例尺：在计算地图投影或制作地图时，首先要将地球椭球面或球面按一定的比率缩小，然后再投影到平面上，这个小于1的常数比率称为地图的主比例尺。 局部比例尺：除地图上保持主比例尺的点或线以外，其他部分的比例尺称为局部比例尺。,地图投影基本理论,1.变形椭圆,取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作
6、平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。,地图投影基本理论,三、主方向和变形椭圆,为经线长度比；,为纬线长度比,微分圆变形椭圆,地图投影基本理论,代入： X2 + Y2 = 1，得,地图投影基本理论,底索定律:无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。,主方向:在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向。,2、主方向,地图投影基本理论,特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向,长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n,据阿波隆尼定理，
7、有 m2 + n2 = a2 + b2 mnsinq = ab,地图投影基本理论,3、变形椭圆对地图投影变形的描述 1）单个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形 2）一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律,地图投影基本理论,地图投影基本理论,地图投影基本理论,法截面：通过法线的平面所截成的截面。,主法截面：相互垂直的法截面。,四、地图投影变形计算,地图投影基本理论,对椭球来说，要研究下列的两个主法截面，一个曲率半径具有最大值，而另一个曲率半径具有最小值,子午圈截面：包含子午圈的截面。,式中： a 椭球的长半径 第一偏心率 为纬度,子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有法截弧的曲率半径中
8、的最小值,地图投影基本理论,卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。,式中： a 椭球的长半径 第一偏心率 为纬度,卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值，以字母N表示：,地图投影基本理论,纬圈的半径，一般用r表示，即,r,地图投影基本理论,为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素，如线段、面积、角度与它们在平面上的对应关系式，以便于利用这些关系式导出地图投影的基本公式。,地图投影基本理论,沿经线微分线段,沿纬线微分线段,对角线,C点对A点方位角为：,由微分几何的概念可得微分梯形ABCD的微分面积为：,地图投影基本理论,（x,y）,（x+dx,y+dy）,对角线ds对应的为ds：,
9、d=0时，,d=0时，,利用上式可以获得平面上经纬线微分线段的表达式：,地图投影基本理论,将投影的一般表达式取x、y对、的全微分：,E、F、G、H称为一阶基本量，或称高斯系数。,地图投影基本理论,（x,y）,（x+dx,y+dy）,对角线AC与x轴之夹角的 表达式：,地图投影基本理论,是任意方向与x轴夹角的表达式，特殊情况下，即当d和d为零时，经、纬线方向与x轴的夹角为,与,地图投影基本理论,利用,、,推导出十分重要的经、纬线投影后的夹角的表达式,微分梯形投影后的面积，即平行四边形的面积，为：,地图投影基本理论,地图投影基本理论,（一）长度比公式,地图投影基本理论,(二)面积比公式,P = a
10、b = m n (= 90度) P = ab = m n sin ( 90度),地图投影基本理论,地图投影基本理论,（三）角度变形公式,A点（x、y），A 点 (x 、y ),地图投影基本理论,将上式两边各用tana减和加 即：,将两式相除，得：,通过三角变换，得：,地图投影基本理论,显然当（a +a ）= 90时，右端取最大值，则最大方向变形：,以表示角度最大变形：,令,地图投影基本理论,地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变形。,五、地
11、图投影条件,地图投影基本理论,（一）等角投影条件 使地球面上任意点的任意二方向所夹之角投影后仍保持原夹角大小不变的投影叫等角投影。为了保持等角，就必须使投影面上任意点的角度最大变形为零，即： =0 按最大角度变形公式，得 a=b,地图投影基本理论,（二）等面积投影条件 等面积投影在于使投影面上的面积与地球面上相应面积相等。面积不发生变形的投影叫等面积投影，其条件是面积比为1，即 P=1 由面积变形公式得： H=M*r 或 ab=1,地图投影基本理论,（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距离投影只存在于方位投影、圆柱投影和圆锥投影之中。 等距离投影规定经线长度比等于1为条件,即 m=1,地图投影基本理论,六、地图投影分类,（一）按地图投影变形性质分类,等角投影 等面积投影 任意投影,地图投影基本理论,方位投影,（二）按正轴投影经纬线形状分类,地图投影基本理论,圆柱投影,地图投影基本理论,圆锥投影,地图投影基本理论,