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1、18:40,1/35,第三讲 Matlab的变量与矩阵,18:40,2/35,一、变量,1、赋值语句 变量 = 表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵 a=3+4i; b=5-sqrt(13)+exp(1.52) ； C=1 ,3,4; D=This is a string;,18:40,3/35,2、内存变量的删除与修改 who 显示工作内存中的变量、变量名 whos 显示变量的详细信息，如维数、元素个数、占用字节 clear 清除变量 clc 清屏,18:40,4/35,二、矩阵的建立(1),1. 直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元
2、素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔 。 a1= 1 2 3 A2=1, 2, 3 A3=1; 2; 3,18:40,5/35,二、矩阵的建立(2),2. 行向量的建立 冒号表达式可以产生一个行向量， 一般格式是：x=初值:增量:终值 x=e1:e2:e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 x初值：终值 增量省略，则步长默认为1 t=0:0.01:10 n=1:100;,18:40,6/35,在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。调用格式为： linspace(a,
3、b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。 显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。,18:40,7/35,二、矩阵的建立(3),3. 大矩阵的建立 法一： （1）在Command Window（命令窗口）里，向一个新变量赋“空”阵。 A=； (2) 在WorkSpace（工作空间口）中，双击该变量，打开数组编辑器,18:40,8/35,法二： 由小矩阵或向量建立大矩阵。 a1 1 1; 2 2 2; b=3 3 3; c=a b 错 ca;b对,18:40,9/35,二、矩阵的建立(4),4. 利用for end语句建立矩阵 1）利
4、用单层循环语句 format rat % 使用分数来表示数值 x = zeros(1,8); % x是一个1行8列的零矩阵 for i = 1:8, x(i) = 1/i; end,18:40,10/35,2）利用多层循环语句 a = zeros(5,5); for i = 1:5, for j = 1:5, a(i,j) = 1/(i+j-1); end end,18:40,11/35,二、矩阵的建立(5),5. 利用M文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。 例：利用M文件建立矩阵。 (1) 启动有关编辑程序或
5、MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵：需要加方括号。 (2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。 (3) 在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为ans的矩阵，可供以后使用。,18:40,12/35,三、矩阵的元素提取与拆分,1、用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。 矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。 例如：A=1,2,3;4,5,6; A(3) ans =2 显然，序号(index)与下标(subscript )是一一对应的，以mn矩阵A为例，矩
6、阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。,18:40,13/35,2、提取子矩阵 (1) 利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并在第kk+m列中的所有元素。 A(i,j,k,l,m,n表示取A矩阵的i，j，k行与l，m，n相交处的元素,18:4
7、0,14/35,四、初等赋值矩阵,zeros(m,n) 建立m行，n列，元素值全为0的矩阵 ones(m,n) m*n全1矩阵 eye(m,n) %m*n单位矩阵 rand（m，n） 01间均匀分布 randn（m，n） 均值0，标准差为1的正态分布,18:40,15/35,五、特殊矩阵(1),1、魔术矩阵 魔术矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔术矩阵，其元素由1,2,3,nn共nn个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。 magic（n） nn的魔术矩阵 magic（3）8 1 6 3 5 7 4 9
8、 2 n0且不等于2,18:40,16/35,五、特殊矩阵(2),2、范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。 在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。 vander(1,2,3,4) ans = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 64 16 4 1,18:40,17/35,五、特殊矩阵(3),3、希尔伯特矩阵 在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。通项为 ， 使用一般方法求逆会因为原始数据的微小
9、扰动而产生不 可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。 a=hilb(4) a = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429,18:40,18/35,五、特殊矩阵(4),4、托普利兹矩阵 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。 生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成
10、一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。 toeplitz(1:3,1:2:5) ans = 1 3 5 2 1 3 3 2 1,18:40,19/35,五、特殊矩阵(5),5、帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。 函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。 pascal(6) ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10
11、 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252,18:40,20/35,六、矩阵的算术运算,MATLAB的基本算术运算有：(加)、(减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。 (1) 矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。 (2) 矩阵乘法 假定有两个矩阵A和B，若A为m
12、n矩阵，B为np矩阵，则C=A*B为mp矩阵。,18:40,21/35,(3) 矩阵除法 在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则AB和B/A运算可以实现。AB等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。 对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和43有相同的值，都等于0.75。又如，设a=10.5,25，则a/5=5a=2.1000 5.0000。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般ABB/A。 (4) 矩阵的乘方 一个
13、矩阵的乘方运算可以表示成Ax，要求A为方阵，x为标量。,18:40,22/35,七、矩阵的点运算,在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。 点运算符有.*、./、.和.。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。 例： A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。 对应于相应的元素 A=2 2; 2 2 B=4 4;4 4; A.*B=8 8; 8 8 B.A=16 1 ;16 16 A.B=2 2;2 2 A./B=0.5000 0.5000;0.5000 0.5000,1
14、8:40,23/35,八、逻辑运算,MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和(非) 一个逻辑运算函数： xor（异或） 逻辑运算的运算法则为： (1) 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示。 (2) 设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么， a&b a,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。 a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为1。 a 当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。,18:40,24/35,(3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素
15、由1或0组成。 (4) 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。 (5) 逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。,18:40,25/35,九、关系运算,关系运算： = 等于 =不等于 大于 = 大于等于 如果成立，则为1 ；如果不成立，则为0 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，关系运算其次，逻辑运算优先级最低。 例： C,18:40,26/35,十、矩阵分析(1),1、对角阵与三角阵 diag 产生或提取对角矩阵 diagonal ：对角线 tril 产生下三角矩阵
16、triangle：三角形 low:下面 triu 产生上三角矩阵 up：上方,18:40,27/35,例： a=1:3;4:6;7:9 adiag=diag(a) atril=tril(a) atriu=triu(a) b=a 2*a bdiag=diag(b) btril=tril(b) btriu=triu(b),18:40,28/35,十、矩阵分析(2),2 、矩阵的转置与旋转 1）矩阵的转置 转置运算符是单撇号()。 2）矩阵的旋转 利用函数rot90(A,k)将矩阵A逆时针旋转90的k倍，当k为1时可省略。 a=1 3 4 1 3 5 rot90（a，1） 4 5 3 3 1 1,1
17、8:40,29/35,3）矩阵的左右翻转 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是 fliplr(A)。 4）矩阵的上下翻转 MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,18:40,30/35,十、矩阵分析(3),3、矩阵特征运算 1）矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。 2）矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。,18:40,31/35,3）方阵
18、的行列式 把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。 4）矩阵的逆 如果A是一个满秩方阵，A有逆矩阵AA1E，A1inv（a）,18:40,32/35,5）矩阵的伪逆 如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A同型的矩阵B，使得： ABA=A BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。,18:40,33/35,十、矩阵分析(4),4、矩阵的特征值与特征向量
19、 在MATLAB中，计算矩阵A（A必为方阵）的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有2种： (1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。 (2) V,D=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。,18:40,34/35,例： a=1:3;4:6;7:9 E=eig(a) V,D=eig(a) E = 16.1168 -1.1168 -0.0000 V = -0.2320 -0.7858 0.4082 -0.5253 -0.0868 -0.8165 -0.8187 0.6123 0.4082 D = 16.1168 0 0 0 -1.1168 0 0 0 -0.0000,18:40,35/35,谢谢大家！,