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1、,第六章,利用元素法解决:,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的应用,第一节,定积分的微元法 (Element Method of Definite Integral),一、什么问题可以用定积分解决 ?,二 、如何应用定积分解决问题 ?,第六章,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、问题的提出,第一节 定积分的微元法,(Element Method of Definite Integral),面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,曲边梯形的面积：,提示,（4） 求极限，得A的精确值,一般在实际问题中的所求量U如果满足下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间a,b
2、有关的量;,二、什么问题可以用定积分解决 ?,定积分定义,而将 表示为定积分则须用元素法,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做定积分的元素法,应用方向：,（）平面图形的面积；体积； 平面曲线的弧长；,（） 功；水压力；引力等,三、如何应用定积分解决问题 ?,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的,积分表达式,这种分析方法称为元素法 (或微元分析法),元素的几何形状常取为:,条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等,近似值,精确值,二、极坐标情形,第二节,一、 直角坐标系情形,平面图形的面积,第六章,曲边梯形的
3、面积,图形的面积元素为,平面图形的面积,1.直角坐标系情形,A 可以看作为两个 曲边梯形面积的差,注意：公式中不要求 f (x) 和 g(x)非负，但,由连续曲线 x = (y) ( 0 ) , y 轴与直线 y = c , y = d 所 围成的曲边梯形，面积为,在第一象限所围,图形的面积 .,解: 由,得交点,面积元素,例1. 计算两条抛物线,选 x为积分变量,若选 y 为积分变量，则,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,（一）为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,例2. 计算抛物线,（二）选 x 为积分变量，则要将图形分成两块来求。,与直线,的面积 .,所围图形,例2.
4、计算抛物线,解,两曲线的交点,选 x 为积分变量,于是所求面积,特别注意: 各积分区间上被积函数的形式不同,例4：求曲线 与直线 所围成的图形的面积。,解：,例5：求曲线 在 x 轴上介于 两极值点间的曲边梯形的面积。,解：先求极值点，令,得驻点：,所以 x = - 1 为极大值点；,所以 x = 1 为极小值点；,给出时,则曲边梯形面积,起点和终点的参数值分别为,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,例6. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在
5、区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应 从 0 变,例7. 计算阿基米德螺线,解:,到 2 所围图形面积 .,例8. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),例9. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,例10. 求双纽线,所围图形面积 .,解: 利用对称性 ,则所求面积为,思考: 用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积 .,答案:,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,思考题,解,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,分析曲线特点,2.,解:,与 x 轴所围面积,由图形的对称性 ,也合于所求., 为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,故,3.,求曲线,图形的公共部分的面积 .,解：,与,所围成,得,所围区域的面积为,作,业,P 264,习题6- 2:3,5,8,9, 17,高数A,