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1、1/31,马良栋 2008年3月24日,第6章 求解椭圆型流动与换热问题的原始变量法,2/31,求解流动与换热问题的方法,分离式求解：u, v, p 各类变量独立地进行求解，即在一组给定的代数方程系数下，先用迭代法求解一类变量而保持其他变量为常数，如此依次求解各类变量。,3/31,6.1 流场求解中的两个关键问题,一、压力梯度的离散,不包含pi，称为2-d 压差。 动量离散方程无法检测出附加在其上面的锯齿形压力场。,4/31,一、压力梯度的离散（续）,不包含pi, j 动量离散方程无法检测出附加 在其上面的棋盘形压力场。 采用2-d 压差构造的离散格式 无法检测出不合理压力场。 压力梯度离散必
2、须用中心差分！ 且只能用1-d 压差！ 交叉网格！ 同位网格！,5/31,二、压力的求解,压力没有控制方程。 压力与速度的关系隐含在连续性方程中，如果压力场是正确的，则据此压力场解出的速度场必满足连续性方程。 压力与速度耦合问题： 1、如何构造求解压力场的方程？ 2、在假定初始压力分布后，如何构造计算压力修正值的方程？,6/31,6.2 交叉网格及动量方程的离散,一、交叉网格上速度分量位置的安排 u,v, p(其他标量场及物性参数)分别存储于三套网格上 主控制容积 u 控制容积 v 控制容积,7/31,二、交叉网格上动量方程的离散,特点：(1)积分用的控制容积是u, v各自的控制容积。 (2)
3、压力梯度项从源项中分离出来。,8/31,三、交叉网格上的插值,1、界面上的流量 ue北界面上的流量 2、界面上的密度 3、界面上的扩导（ue北界面上的扩导）,9/31,四、采用交叉网格的注意事项,1、三类变量的节点编号方法 速度矢量箭头所指向的 主节点的编号为该速度 的编号。,10/31,2、与边界相邻的速度控制容积与内部速度控制容积不同,3、与边界相邻的速度控制容积中的压差计算,11/31,6.3 求解Navier-Stokes方程的压力修正方法,一、压力修正方法的基本思想 1、假设一个压力场，记为p*。 2、利用p*求解动量离散方程，得出相应的速度u*, v*。 3、利用质量守恒方程来改进
4、压力场，要求与改进后的压力场相对应的速度场能满足连续性方程。 4、以p*+p ，u*+u ，v*+v作为本层次的解，并据此开始下一层次的迭代计算。 关键问题： (1)如何获得压力修正值p，使与p*+p相对应的u*+u，v*+v能满足连续性方程？ (2)获得了p后，如何确定u ，v ？,12/31,二、速度修正值的计算公式,得：,速度修正方程,13/31,三、求解压力修正值的代数方程,压力修正值方程,对连续性方程积分：,14/31,四、压力修正值方程的边界条件,b为一个控制容积不满足连续性的剩余质量的大小，可作为收敛判据。 RMAX=max(b(i, j) RSUM= (b(i, j),15/3
5、1,6.4 SIMPLE算法的计算步骤及举例,SIMPLE：Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations CLEAR ：Coupled and Linked Equations Algorithm Revised 一、SIMPLE算法的计算步骤 (1) 假定一个速度分布（u0，v0），以此计算动量离散方程中的系数及常数项； (2) 假定一个压力场p* ； (3) 依次求解两个动量方程，得u*，v* ； (4) 求解压力修正值方程，得p ； (5) 根据 p改进速度值； (6) 利用改进后的速度场求解与速度场耦合的变量； (7) 利用改进后
6、的速度场重新计算动量离散方程的系数, 用改进后的压力场作为下一层次迭代计算的初值, 重复(3)(7)直到收敛。,16/31,二、SIMPLE算法应用举例,用SIMPLE算法确定 假定：,连续性方程,17/31,6.5 SIMPLE算法的讨论及收敛判据,一、SIMPLE算法的讨论 1、SIMPLE算法的简化假定 (1)速度场u0，v0与压力p*的假定各自独立地进行。 说明：随着迭代的进行两者间会逐渐趋于协调。 (2)速度修正值计算式略去了邻点速度修正值的影响。 说明：迭代趋于收敛时，邻点速度修正值已无影响。 (3)采用线性化的动量方程，离散方程系数及b为定值。 说明：迭代趋于收敛时，两迭代层次之
7、间的量趋于对应相等。 简化不影响收敛的解，但会影响收敛速度及健壮性。,18/31,2、p边界条件的假定,(1)边界法向速度已知。 (2)边界压力已知。 令压力修正值方程与边界相应的系数为零，相当于“绝热型” 边界条件。 要求：计算区域满足总体质量守恒。,3、压力参考点的选取 不给定绝对值。,19/31,4、速度与压力修正值的亚松弛,p修正速度是合适的，但修正压力则被夸大。 亚松弛： 为限制相邻两层次之间的变化，以利于非线性问题迭代收敛（避免发散）。,20/31,二、流场迭代求解收敛的判据,1、内迭代与外迭代 内迭代：在一组确定的系数及源项下的迭代计算。 外迭代：从一个层次改进系数及源项到下一层
8、次的迭代计算。 2、终止内迭代的判据（p方程） (1)规定次数，如24次 (2) (3),21/31,3、终止非线性问题迭代的判据（外迭代）,(1)特征量在连续若干个层次迭代中相对偏差。 (2)连续性方程余量的代数和Rsum或最大绝对值Rmax。 (3)连续性方程余量范数的相对值。 (4)动量方程余量范数。,22/31,6.6 SIMPLE算法的发展,一、SIMPLER算法（Patankar, 1980） SIMPLE算法的速度场与压力场各自独立地假定，不协调。 设想：p用来修正速度，压力场的改进用别的方法。 1、已知速度分布计算压力场,假拟速度,23/31,1、已知速度分布计算压力场（续）,
9、压力方程边界条件与p方程相同。,压力Poisson方程,24/31,2、SIMPLER算法的计算步骤,(1) 假定一个速度场u0，v0，计算动量离散方程的系数； (2) 根据已知的速度计算假拟速度 ； (3) 求解压力方程； (4) 把解出的压力作为p*，求解动量方程，得u*，v* ； (5) 求解压力修正值方程，得p ； (5) 根据 p修正速度，但不修正压力； (6) 利用改进后的速度场求解与速度场耦合的变量； (7) 利用改进后的速度场重新计算动量离散方程的系数, 重复(2)(7)直到收敛。 优点：初始的压力场与速度场相协调，压力不必亚松弛。 缺点：多解一个压力Poisson方程。,25
10、/31,二、SIMPLEC算法（1984）,计算步骤与SIMPLE基本相同，仅有两点差别： (1) 以 代替SIMPLE中的 ； (2) p不再亚松弛。,26/31,三、不同算法的比较,性能指标：经济性（收敛快慢，占用内存多少） 健壮性（Robustness，鲁棒性） 是否可以在很宽的参数范围内得到收敛的解。 比较结果： (1) 与问题有关。 (2) SIMPLE算法健壮性稍差。 （能获得收敛解的松弛因子变化范围较小） (3) 在三维问题计算中多采用SIMPLE算法。,27/31,6.7 加速SIMPLE系列算法收敛速度的方法,一、选择合适的松弛因子 应尽可能大，一般取0.70.8，也可模糊控
11、制。 二、显式修正步法 u*+u，v*+v满足连续性方程，但不满足动量方程。 用动量方程构造出u、v的显式计算式。 三、加速SIMPLER算法收敛速度的方法(MSIMPLER),E：时步倍率,28/31,6.8 开口系统流场计算中出口法向流速的确定,一、出口边界条件的处理方法 1、局部单向化 2、充分发展的假定 边界值更新法 附加源项法（比边界值更新法快） 充分发展假定要求出口截面前有一段足够的距离。 适用于出口截面无回流的情形。,29/31,3、法向速度局部质量守恒、切向速度齐次Neumann条件,(1)与出口截面平行的速度u (2)与出口截面垂直的速度v,30/31,二、使出口法向流速分布满足总体质量守恒的方法,出口法向流速是压力修正方程所必须的。 1、假定出口截面上各点的法向速度的相对变化率为常数,总体质量守恒：,局部单向化假定,31/31,2、假定出口截面上各点的法向速度的一阶导数为常数,局部单向化假定,充分发展假定局部质量守恒,