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1、第七章 非线性系统分析,目的 掌握非线性控制系统的初步分析方法,内容 作相平面图 相平面分析法,7.1非线性控制系统概述,1.本质非线性特性的基本特征,不满足叠加定理,不能采用线性化方法处理问题,稳定性问题 不仅与自身结构参数，且与输 入， 初条件有关，平衡点可能不唯一,自持振荡问题 非线性系统特有的运动形式,典型非线性环节,饱和 死区(不灵敏区) 间隙 继电特性,2.典型的非线性特性,继电特性,饱和特性,死区（不灵敏区）,死区特性,线性+死区,继电+死区,饱和+死区,间隙特性,饱和间隙,继电间隙,齿轮间隙,当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量得变化超出间隙值,典型非线性环节
2、,饱和 死区(不灵敏区) 间隙 继电特性,稳态误差ess ,饱和,死区,继电特性,非线性特性,等效K*,对系统的 影响,举 例,振荡性，s,限制跟踪速度,晶体管特性,滤除小幅值干扰,电动机，仪表,抑制系统发散,容易导致自振,开关特性,非线性特性的定性分析,1）小扰动线性化 2）非线性系统研究方法 3）仿真方法,非线性控制系统的分析方法,7.2 相平面分析法,1.相平面与相平面图(相轨迹),二阶微分方程,系统变量,相轨迹,系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。,例：一阶线性系统 画出其相平面图。,解：,2.相轨迹作图,解析法作图（适用方程不显含 ）,相轨迹方程,例：二阶系统如下，
3、试绘制其相平面图,解：,得椭圆方程,等倾线法作图,相轨迹的斜率方程,则,相轨迹的等倾线方程,思路：以切线代替曲线,如何画出所有相轨迹？,A,给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以在相平面上画一条线，在这条线上的所有的点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该线称为等倾线。改变的值，便可以作出若干条等倾线充满整个相平面。,例7-1：二阶线性定常系统 试用等倾线法作该系统的相平面图。,解：,等倾线方程为,3.相轨迹的运动特性,相轨迹的运动方向,上半平面的相轨迹右行；,下半平面的相轨迹左行；,过实轴相轨迹斜率为。,相轨迹的对称性,x 轴对称,若,则相轨迹对称于x 轴,轴对称,若,则相轨迹对称于 轴,原点对
4、称,若,则相轨迹对称于原点,4. 相轨迹的奇点,定义：二阶系统 在相平面上满足 的点,在奇点上相轨迹的斜率不定，为,由奇点可以引出不止一条相轨迹,5. 奇点邻域的运动性质,趋于奇点,远离奇点,包围奇点,例：二阶线性定常系统,试分析其奇点运动性质。,相轨迹趋于原点，该奇点称为稳定节点,相轨迹远离原点，该奇点为不稳定节点,相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点,相轨迹振荡远离原点，为不稳定焦点,相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点,系统特征根一正一负，相轨迹先趋向于然后远离原点，称为鞍点,例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇点的运动性质,解：由,奇点为,在奇点邻域，其线性化方程为,在奇点,邻域,线性
5、化方程为,特征根为,奇点类型为不稳定焦点,6. 极限环,在相平面上闭合的相轨迹表现为 非线性系统的自持振荡,相平面图分析,1、分区作出系统的相平面图。 2、分析系统的稳定性。 3、分析系统是否具有极限环。 4、参考线性系统的性能指标来考虑该非线 性系统的调节时间与超调量等。,例：继电控制系统，阶跃信号作用下，试用相平面法分析系统运动。,解：1. 作相平面图,线性部分,误差方程,非线性部分,时，运动方程为,等倾线方程为,时，运动方程为,等倾线方程为,2.给定初值 作相轨迹,3.系统性能分析,运动是分区的组合， 为翻转条件， 运动连续，有 振荡,补充： 描述函数法,1. 描述函数的定义,前提：固有
6、特性 G0(s) 一般具有低通特性， 近似认为信号的高频分量不能传递到输出端。,若 为奇函数，则,基波分量,非线性环节,输入,输出信号为周期非正弦信号，展开付氏级数,定义：输出信号的基波分量与输入正弦信号 之比，为非线性环节的描述函数。,说明: 1)以幅值与相位变化来描述，类 似频率特性。 2)略去高频信号，只考虑基频， 因此不同于线性系统的频率特性。,2. 非线性环节的描述函数,继电特性,描述函数,饱和特性,描述函数,2. 非线性系统的描述函数分析,闭环频率特性,闭环特征方程,非线性系统的稳定性描述,当 曲线不包围 曲线时，该非线性系统是稳定的。,当 曲线包围 曲线时，该非线性系统不稳定。,当 曲线与 曲线相 交时，系统可能是稳定的、发散的，或 者是自持振荡的,例：已知死区继电非线性系统如图 继电参数： 死区参数： 应用描述函数法作系统分析。,解：1. 死去继电特性的描述函数,2. 绘制描述函数的负倒数特性,3. 绘制线性部分的极坐标图,4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质,