第三章优化设计应用.ppt

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1、2005年6月,优 化 设 计 应 用,第3章 优化设计应用实例,工程设计的基本特征包括它的约束性（设计空间受到多种因素和条件的限制）、多解性（设计方案的参数、尺寸和结构等方面有很大的设计自由度）和相对性（设计方案只能达到在一定限制条件和评价目标下的相对最佳）。 为了获得最优的工程设计方案，首先，需要将具体的工程设计问题转化成为优化设计问题，即建立数学模型的形式来描述工程设计问题；然后，选择合适的优化设计方法，应用计算机进行迭代计算、比较、判别和评价的程序运算过程，从满足各种设计要求的全部可行方案中，自动寻求出最优的设计方案。,优化设计的流程,1. 分析优化设计问题, 建立合用的数学模型 首先

2、分析设计对象的具体情况和要求, 确定设计内容、 设计准则、 已知条件、 设计变量、 约束条件、 优化目标、 计算精度等； 然后抽象转化为数学表达式； 再经仔细加工, 得出合适的数学模型。 2. 选择优化方法进行编程解算 针对数学模型的特点(目标函数的维数、 非线性程度、 约束情况、 求解难度等)， 选择合用的优化方法。 其方法力求求解成功率高、 计算工作量小、 求解速度快、 数值稳定性好、 计算精度高。 3. 方案评价与决策 检查与评价优化方案是否合理, 得出的优化参数是否须做必要的调整或圆整, 是否适合现实的生产条件, 方案是否为全局最优解(有时工程实际中允许采用局部最优解或次优解)等。 这

3、是优化设计中极为重要的环节。,目 录,1-机械优化设计概述 2-连杆机构优化设计 3-链传动优化设计 4-蜗杆传动优化设计 5-主轴结构参数优化设计 6-无心磨削工艺参数优化 7-螺栓组联接优化设计 8-弹簧结构参数多目标优化,3.1 机械优化设计概述,3.1.1 建立优化设计的数学模型 1、建立目标函数 目标函数也称为评价函数，它是衡量设计方案优劣而建立的定量评价准则。一项机械设计方案的优劣，总是可以根据一些设计指标来衡量，例如性能指标（效率、承载能力、可靠性、运动参数等）、结构指标（体积、重量等）、经济指标（生产率、工时、成本、收益）等，这些设计指标表示成为设计变量的函数，就是目标函数。

4、目标函数应该根据影响机械设计质量和使用性能最重要、最显著的技术经济指标来建立。,机械优化设计建模与优化方法评价 （国家自然科学基金和中国科学院计算所CAD开放实验室资助课题）,2、确定设计变量,在按照设计准则建立的目标函数中，涉及了许多设计参数。应该将那些能够直接控制的、需要计算求优的、最重要的独立参数作为设计变量。 对于某些不需要计算结果的一般参数，可以在初始计算时给于定值，这样可以降低问题的维数。例如有关材料的机械性能，是通过材料试验方法在技术资料中给定的；有些根据以往经验、资料或企业条件限制无法随意变动的参数，都应该取作设计常量。,对设计变量进行无量纲化 和量级规格化的尺度变换,尺度变换

5、后的设计变量为 式中， 是尺度变换系数，按照下面方法确定： 1）如果已知设计变量的变化范围 ，则 这样可以缩小各设计变量在数量级上的差异。 2）如果已知设计变量的初始值 ，则 这样当初始点 靠近最优点 时， 的值将在1附近变动。,3、选取约束条件,设计约束是根据设计中提出的种种限制条件确定的，这些限制条件主要包括刚度条件、强度条件、运动学条件、动力学条件、几何条件、工艺条件等性能约束条件。有时，在运用主要目标函数法处理多目标函数问题的时候，还会产生由次要目标函数转化成的附加约束条件。,约束条件将对目标函数的最优解加以严格的限制，如果约束条件有错漏，会产生错误的计算结果。实践证明，在可能的情况下

6、，对所有的设计变量给出明确上限和下限的边界条件，这样对于在迭代计算过程中选择可行初始点，估计可行域，判断计算结果的合理性等是有益的。 优化设计问题比一般的常规设计考虑更多的设计要求，只要某种限制能够用设计变量表示成约束函数（包括经验公式、近似表达式等）的，都可以处理成约束条件。,约束函数的规格化处理,例如，机械设计中的强度条件约束和刚度条件约束为 式中，许用应力 和许用挠度 在数量级上差异很大。可以改写为规格化约束条件 实际上就是将约束条件除以常数 或 后得到的等价不等式。,3.1.2 选择优化方法和分析计算结果,1、选择优化方法 对已建立的数学模型进行分析，根据设计变量的多少、目标函数的复杂

7、程度、约束条件的个数和复杂程度等选择合适的优化方法和程序。优化方法和计算程序的优劣，主要从可靠性和有效性两方面进行考虑。解题成功率高、能够适应多变量和各种函数形态的数学模型的优化方法和计算程序的可靠性高。收敛速度快、通用性强和前置准备工作简便(包括对算法流程图和参数符号的熟悉和定义，目标函数和约束函数子程序的编写，初始条件的给定、搜索过程信息的输出与分析等内容)的优化方法和计算程序的有效性好。其中最主要的还是要求优化方法和计算程序有较高的可靠性，对于维数较高的优化设计问题，可考虑采用有效性好的优化方法和计算程序。,2、分析计算结果,由于机械设计问题的复杂性，在数学建模中可能出现的失误，会得出不

8、合理的计算结果。因此，对于优化计算结果，需要检查它的可行性和合理性。 1）由于大多数的机械优化设计问题最优解往往位于一个约束面上或多个约束面的交集上，这些适时约束函数值应该等于零或非常接近于零。 2）如果在建立数学模型时对设计变量进行过无量纲化和量级规格化的尺度变换，则需要对计算结果进行反变换。如果将离散设计变量作为连续设计变量处理，则需要对计算结果圆整为相近的可行离散值。,3）最好能够绘制出优化计算结果的图形进行分析，可以选择两个最重要、最敏感的设计变量（敏感度高的设计变量的微小变化，会引起目标函数和约束函数产生很大变化），而将其它的设计变量固定在最优值处（作为常数处理），绘出的图形就是目标

9、函数的等值线或等值面。如果目标函数和约束函数的性态比较复杂，绘制图形困难，可以对优化计算结果采用列表分析的方法。 4）为了判断得出的最优解是否局部最优点，可以取几个初始点进行计算，并且进行大致的判断，从中选择较合理的全局最优解。,3.2 连杆机构的优化设计,连杆机构运动学的优化设计问题，一般是根据机构运动学参数来建立目标函数。如取连杆机构实现运动（如构件位移、某动点轨迹等）是由机构运动几何参数关系导出的运动参数函数，要求它与预定运动函数在给定运动范围内的误差最小。 在连杆机构动力学的优化设计方面，比较简单的是用机构中的压力角和传动角作为对机构进行运动分析和动力分析的重要指标，为了获得最佳的传力

10、性能，要求选择最佳的机构运动学参数，使机构运动最大压力角最小或最小传动角最大。,例3-1 要求设计一个曲柄摇杆机构，当原动件曲柄的转角 ，要求从动件摇杆的输出角实现函数 。,解: 1、建立数学模型 1) 确定设计变量 曲柄摇杆机构按照原动件和从动件角度对应关系的独立参数有： 两杆长度： 和 ；取曲柄为单位长度 ；根据结构的实际情况，预选机架长度 。曲柄和摇杆初始位置角 , 分别为对应摇杆在右极限位置时，曲柄和摇杆与机架夹角。,设计变量为 2) 建立目标函数 取机构输出角的平方偏差最小为设计目标,式中， 是期望输出角 设曲柄转角 区间内均匀的离散点数为 ； 是各个离散点的序号。,是实际输出角，根

11、据的机构运动几何关系 式中，根据图示 和 余弦定理有,为了使机构的传力性能良好，机构的最小传动角为 ，或最大传动角 （曲柄在与机架共线的位置）。得到约束方程,3) 确定约束条件,曲柄存在的杆长之和条件，得到约束条件 起作用约束条件是机构传动角约束条件，它们围成可行域。,连杆机构 的设计平面,2、优化方法和计算结果 采用约束随机方向法求解。在可行域内取初始点 步长 ，收敛精度 ，经过9次迭代，得到最优解为 最优点位于约束曲线 上。,例7-2 已知偏置曲柄滑块机构的行程速比系数K=1.5，滑块行程H=50mm，偏距e=20mm。当原动件曲柄作整周匀速转动时，为了获得良好的传力性能，要求按照滑块在整

12、个行程中的最小传动角最大，试确定机构的运动结构参数。,解：由于偏置曲柄滑块机构的最小传动角位于曲柄与滑块导路垂直，而且曲柄上铰链B离导路较远处，这时 式中，l1是曲柄的长度； l2是连杆的长度。,建立该机构的设计目标(最小传动角最大) 或者,在 中，根据余弦定理和正弦定理分别有 可见，当滑块行程和极位夹角（行程速比系数）已知时，连杆长度和偏距与曲柄长度相关，它们不是独立的设计参数。 机构极位夹角根据已知的行程速比系数计算得到 取曲柄长度 作为设计变量，它的取值范围可以按照下面的关系确定,采用一维优化的黄金分割法，搜索区间为 ，取收敛精度 。在每一次迭代计算中，将得到的设计变量 （即曲柄长度 ）

13、值，代入到式（7-5）中确定对应的连杆长度 值；将 和 代入到式（7-6）中确定对应的偏距 值；再将它们代入到式目标函数表达式中确定对应的值。最后得到优化结果： 代入式（7-5）与（7-6）中，得到连杆长度和偏距对应的最佳值,3.3 滚子链传动优化设计,链传动设计时通常已知条件为：传动的用途和工作情况，原动机类型，传递的功率P，主动轮转速n1，传动比i，以及外廓安装尺寸等。设计计算的内容为：确定滚子链的型号、链节距p、链节数Lp和链排数m，选择链轮的齿数z1、材料和结构，绘制链轮工作图，并确定链传动的中心距。滚子链传动的优化设计是在充分发挥其最大传递功率的基础上，按照已知条件确定最优的传动参数

14、。,对于链速 且润滑良好的链传动，主要依据特定条件下的滚子链功率线图进行设计计算。 基本设计公式是 式中， 是工作情况系数； 是特定条件下单排滚子链额定功率，将滚子链极限功率线图拟合为公式 是链传动的名义功率； 是小链轮齿数系数，当链速 时，链传动主要失效形式之一是链板疲劳,按照下面公式计算,是中心距系数，将数表拟合为公式 其中， 是链传动中心距与链节距的比； 是传动比系数，将数表拟合为公式 是多排链系数，将数表拟合为公式 其中， 为链排数。,例3-3 要求设计一电动机到压气机的套筒滚子链传动，已知: 电动机转速n1=970r/min, 压气机转速n2=330r/min, 传动功率P=10KW

15、。希望链节距 ，传动中心距 ，小链轮齿数 。试按照充分发挥其最大传递能力设计此链传动。,解：1、建立数学模型 1）设计变量 取滚子链传动主要参数作为设计变量 小链轮齿数 链节距 中心距链节比 链排数,2) 目标函数 在已知条件下，为了充分发挥链传动的最大传递能力，取多排链传递的功率达到最大作为设计目标 式中，按照有关资料选取工作情况系数 ； 按照已知条件，传递功率 ； 特定条件下单排滚子链额定功率,链板疲劳失效时的小链轮齿数系数 中心距系数 传动比系数 多排链系数,3）约束条件 小链轮齿数的限制条件 链节距的限制条件 传动中心距的限制条件 链速的限制条件 这是一个具有八个不等式约束条件的四维非

16、线性优化问题。,2、优化方法与计算结果,采用内点惩罚函数法，在可行域内取初始点 初始惩罚因子 ，递减系数 。无约束优化方法调用鲍威尔法，一维搜索精度 ，目标函数值收敛精度 ，设计变量各分量收敛精度 。,经过迭代计算，求出离散最优解 按照标准规范进行凑整，得到可行凑整解： 根据有关公式求出大链轮齿数 和链节数 。 优化设计凑整解与常规设计结果相比，链轮齿数和链节距保持不变，虽然链节数增加了10节，但是链排数减少了1排，并且链传动实际传递功率富裕量有很大的下降。因此，在满足工作要求的条件下，充分发挥了链传动能力，减轻了链传动的结构重量。,3.4 蜗杆传动优化设计,一、目标函数和设计变量 以蜗轮有色

17、金属齿圈体积最小作为设计目标。蜗轮齿圈的结构尺寸包括：齿顶圆直径da、齿根圆直径df 、齿圈的外径de、内径d0和齿宽b。齿圈体积 式中， 蜗轮齿数z2=uz1 式中，u是齿数比；z1是蜗杆齿数。,蜗轮齿圈结构尺寸,蜗轮齿宽 式中， 是直径系数； 是齿宽系数。 将上述关系代入蜗轮齿圈的体积计算式中，经整理得到目标函数,从上式可见，蜗轮齿圈的体积与蜗杆齿数z1、模数m、直径系数q和齿数比u的函数。由于齿数比u一般是已知量，因此，取蜗杆齿数、模数和直径系数作为设计变量，即 因此，目标函数可以写成,二、约束条件 1、蜗杆齿数的限制 2、蜗轮齿数的限制 3、模数的限制 4、蜗杆直径系数的限制,5、蜗轮

18、齿面接触强度的限制 式中,K是载荷系数；T2是蜗轮传递的转矩；H是蜗轮齿圈材料的许用接触应力。 因此 6、蜗轮齿根弯曲强度的限制 蜗轮轮齿的齿根是圆弧形，抗弯能力较高，通常不再进行蜗轮齿根弯曲强度计算。,7、蜗杆刚度的限制，蜗杆的最大挠度不大于 ，即 式中，蜗杆支承跨度 ； 惯性矩 ； 蜗杆圆周力 和径向力 弹性模量 （钢）。 因此,例3-4 按照要求蜗轮齿圈体积最小优化设计。 1、建立的数学模型（略）。 经过分析，约束条件 相对 来说是消极约束，约束条件 相对 来说也是消极约束。因此，可以将这两个消极约束条件去掉。可见，这是一个3维有8个不等式约束的非线性优化设计问题。 2、优化方法与结果

19、调用MATLAB优化工具箱函数fmincon进行迭代计算，取初始点 。得到,经检验，极小点 在以下三个约束条件的交集上 对优化结果进行圆整，取离散最优解： 蜗杆齿数 模数 直径系数 则蜗轮齿圈体积 经过检验，离散最优解在可行域内。,3.5 机床主轴结构优化设计,机床主轴是机床中的重要零件之一，一般是多支承的空心阶梯轴。为了便于对阶梯轴进行结构分析，常常将它简化为用当量直径表示的等截面轴。 从要求机床主轴制造成本较低和加工精度较高的要求出发，需要考虑主轴的自重和外伸段挠度这样两个重要因素。对于专用机床来说，并不追求过高的加工精度。因此，应该选取自重的重量最轻为设计目标，将主轴的刚度作为约束条件。

20、,一、设计变量和目标函数 与主轴重量设计方案有关设计变量包括主轴的外径 、孔径 、两支承跨度 和外伸段长度 。由于机床主轴的孔径 主要取决于待加工棒料的直径，不能作为设计变量处理。,机床主轴力学模型,机床主轴的体积是 因此，重量最轻优化设计的目标函数为 式中， 为材料的密度。,二、约束条件 1、机床的加工质量在很大程度上取决于主轴的刚度，主轴刚度是一个重要的性能指标。因此，要求主轴悬臂端挠度不超过给定的静变形 。 根据材料力学可知，主轴悬臂端挠度 式中， 是空心主轴的惯性矩； 是主轴的弹性模量（钢）； 是作用主轴外伸端的力。 代入整理得到主轴刚度的约束条件,应当指出，由于对机床主轴有较高的刚度

21、要求，当满足刚度要求的情况下，其强度应该有相当的富裕。因此，不需要再提出主轴强度条件的约束条件。 2、设计变量的边界条件 三个设计变量的边界约束条件为,例3-5 已知某机床主轴悬臂端受到的切削力F= 15000N，主轴内径 d=300mm，悬臂端许用挠度y0=0.05mm。要求主轴两支承跨度 ，外径 ，悬臂端长度 。试按照要求主轴体积最小进行优化设计。,解：1、建立优化设计的数学模型,说明： 1）为了改善各约束函数值在数量级上的差异，对约束条件进行了规格化处理。 2）在设计变量的边界约束条件中没有考虑两支承跨度l和外伸段长度a的上限值，因为无论从减少主轴体积的设计目标，还是从减少主轴外伸端挠度

22、的约束条件来看，都是要求l 和a往小处变化。为了简化数学模型，在约束条件中不对它们的上限值进行限制。 可见，这是一个3维有5个不等式约束的非线性优化设计问题。,2、优化方法与结果 采用内点惩罚函数法求解，初始惩罚因子 ，惩罚因子递减系数 ，收敛精度 。 按照题目给定的设计变量边界条件，取可行域内的初始点 ，经过17次迭代计算，得到最优解 当迭代收敛时，惩罚因子 。可见，惩罚函数中的惩罚项实际上已经消失，所以惩罚函数值 已经非常逼近原目标函数的最优解 。 经检验，最优点位于 、 和 三个约束面（线）的交集上。,3.6 无心磨削工艺参数优化,切削工艺参数优化问题，是在满足产品技术要求（形位尺寸、表

23、面质量和表面层性质等）和切削加工条件（机床电动机功率及其允许的最大切削力，要求的切削速度范围和切削深度范围、要求的刀具耐用度、避免产生切削自激振动的稳定切削区，机床、刀具与工件系统的刚度等）等设计约束的条件下，选择最佳工艺参数（如刀具的材料和切削部分的几何参数，以及切削用量等），达到最佳的生产经济性目标（如机械加工成本最小化或单位时间内金属切除率最大作为决策目标）。,无心磨削的工件线速度 、轴向速度 与导轮转速 的关系 式中， 是导轮的转速 ； 是导轮偏角；,工件的轴向进给量,工件的轴向速度、线速度和轴向进给量的关系,例3-6 在M1080无心磨床上磨削轴瓦492Q外圆，表面粗糙度 ，机床主电

24、动机功率 。试选择精磨工序的最佳工艺参数。,解：1、建立数学模型 1）确定设计变量 工件线速度 轴向速度 磨削深度 2）建立目标函数 以每分钟金属切除率最大化，即其负值最小化作为设计目标,3）确定约束条件 为了限制的表面粗糙度，控制工件磨削表面最大高度 经过代入数据整理，得到约束方程 防止磨削烧伤的约束条件 经过代入数据整理，得到约束方程,在保证工件不产生磨削烧伤的前提下，磨轮有一定的耐用度 经过代入数据整理，得到约束方程 切削动力不能超过磨床主电动机的额定功率 经过代入数据整理，得到约束方程 按照精磨技术条件，限制工件轴向速度最大值,切削加工前工艺参数的边界条件 工件的形状精度（如圆度和圆柱

25、度等）由磨床本身的设计要求、对托板形状与尺寸的选择、导板的调整、磨轮和导轮的修整等来保证。 工件的尺寸精度要根据具体磨削系统刚度，每磨削一批工件时磨轮的径向磨损量的情况，及时修整磨轮，并且改变最终加工位置，以使工件磨削尺寸重新位于公差带中心来保证。 因此，边界约束条件是：,经过分析，约束条件 相对于约束条件 是消极约束。 这是一个有10个约束条件的三维非线性优化设计问题。,2、优化方法和计算结果,采用约束复合形法求解。取复合形顶点数目为 ，初始影射系数 ，收敛精度 。 输入各个设计变量的边界条件，利用随机方法产生初始点，构成可行初始复合形。 经过迭代计算，得最优解为 经检验， 位于约束面 和

26、的交集上。,优化计算结果的讨论,将 代入计算式，求出磨床导轮偏角应该调整值 。再将 和 代入计算式，求出磨床导轮转速 ，由于M1080无心磨床的导轮只有八级转速，为了避免凑整解落到可行域之外，应该将导轮转速凑整到磨床较低的转速级上，取 ，这样会对优化结果产生一定削弱。对应的凑整解是：,优化结果与常规工艺参数比较,与原来精磨规范工艺参数 （则对应的工件轴向进给量和线速度为 ） 相比，优化后的金属切除率提高约76%。 金属切除率的提高，主要是满足一定的技术条件和工艺条件下，提高磨削深度 ，适当调整导轮偏角 与转速 之比，使工件的轴向速度 尽可能增大。,3.7 螺栓组联接的优化设计,螺栓组联接的设计

27、计算，主要根据被联接机械设备的载荷大小、功能要求和结构特点，确定螺栓组的个数和布置方式。螺栓组联接的优化设计，可以在保证机械设备的可靠性和提高寿命的前提下，达到降低成本的目的。,螺栓组的成本Cn取决于螺栓个数n 和单价C 当螺栓的材料、长度和制造工艺等因素相同时，螺栓的单价 是其直径d的线性函数,其中，k1与k2是与螺栓的材料和长度等因素有关的系数。选择常用的材料为35号钢、长度50mm的六角头半精制螺栓，其单价C 与直径d的线性函数关系如图。用一维线性回归得到方程,例3-7 有一个压力容器内部气体压强 ,容器内径 ,螺栓组中心圆直径D=640 mm,用衬垫密封。试设计成本最低的螺栓组联接方案

28、。,解：1、建立数学模型 1) 由于螺栓组的成本取决于螺栓直径 和个数 ，因此取设计变量 2）建立螺栓组成本的目标函数,3）螺栓组联接的约束条件 为了保证螺栓之间的密封压力均匀，防止局部漏气，根据经验，螺栓的间距不能大于10 因此，得到约束条件 为了保证螺栓联接的装配工艺性，螺栓之间的间隔不能小于5 因此，得到约束条件,根据螺栓标准规范资料，经过非线性回归分析，得到在不预紧的条件下，螺栓的许用载荷 与直径 的函数关系 螺栓组联接的强度条件 式中， 是安全系数（ ） 。因此，得到约束条件 综上所述，这是一个有三个不等式约束的二维非线性优化问题。,2、优化方法和计算结果 调用MATLAB优化工具箱

29、函数fmincon进行迭代计算，通过选取几个不同的初始点，都得到 经检验，极小点 在螺栓联接密封性约束条件的约束面 上。 对优化结果进行圆整，取离散最优解：螺栓直径 ，螺栓个数 ，则螺栓组的联接成本是 元。经过检验，离散最优解在可行域内。,3.8 弹簧结构参数的多目标优化,设计弹簧时，通常是根据最大工作载荷、最大变形和结构要求等，确定弹簧丝直径 、弹簧中径 和工作圈数 等主要设计参数。采用优化方法进行设计时，可以综合考虑使弹簧达到结构重量最轻、自由高度最小和自振频率最高等多项设计目标的要求。,例3-8 要求设计一个内燃机用气门弹簧，工作载荷 ，工作行程 ， 工作频率 ，要求寿命循环次数 。弹簧

30、丝材料采用 ，许用应力 。弹簧的结构要求：弹簧丝直径 ，弹簧外径 ，工作圈数 ，支承圈数 （采用YI型端部结构），弹簧指数 ，弹簧压并高度 。 试在满足弹簧的强度条件、刚度条件、稳定性条件、旋绕比条件和结构尺寸边界条件等约束条件下，确定弹簧的弹簧丝直径 、中径 和工作圈数 等三个设计参数，使它的结构重量最轻、弹簧自由高度最小和自振频率最高。,解：由于需要同时考虑结构重量最轻、弹簧自由高度最小和自振频率最高等三个设计目标，所以属于多目标优化问题。 1、建立统一目标函数 1）确定设计变量 按照题意取弹簧丝直径、中径和工作圈数等三个独立设计参数作为设计变量,2）建立分目标函数,弹簧的结构重量最轻 弹

31、簧的自由高度最小,弹簧的自振频率最高（取其倒数作为分目标函数，追求它的最小） 3）分目标函数的规格化处理 为了平衡三个分目标函数在数量级上的差异，按照下式对它们进行规格化处理 式中， 是因 数量级而异的一个裕量，防止规格化后的 出现负值； 是各个分目标函数的最优解； 是各个分目标函数值上限与下限差的绝对值。,4）确定规格化加权系数 由各分目标函数的最优值 在以各分目标函数为坐标轴的三维广义设计空间中确定理想平面 ，它的一般形式是 式中，常系数 可以根据平面方程三点式确定。 取理想平面L法向量 对各坐标轴的方向余弦，作为各个分目标的加权因子 因此，规格化加权的统一目标函数为,2、建立约束函数,1

32、）强度条件 2）弹簧指数条件,3）弹簧在无导杆或套筒的情况下的稳定性条件 4）为防止气门弹簧产生共振，应使其自振频率大于工作频率10倍以上 5）刚度条件,6）弹簧结构要求确定的边界条件,要求弹簧丝直径 ，故 要求弹簧外径 ，故 要求工作圈数 ，故 这是一个有10个约束条件的三维优化设计问题。,3、优化方法和计算结果,采用约束随机方向法，取初始步长 ，迭代收敛精度 ，在转折点搜索的最大数目 。 1）对各个分目标优化分别取不同的可行初始点进行搜索，得到各个分目标的优化解 ， (i=1,2,3), 确定理想平面L和规格化加权系数 ，再建立统一目标函数。 2）对统一目标函数进行优化求解 ，优化计算结果如下表所示。,3）优化结果分析,过统一目标函数最优解 所做平面 （与理想平面 平行，其法向量为 )到设计空间 坐标系原点 的距离 小于理想平面 到坐标系原点 的距离 这表明获得了一个比各个单目标优化结果更为满意的原多目标函数的非劣解。,