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1、1,三、平面曲线弧长,四、小结及作业,2,1、直角坐标系情形,曲边梯形的面积,3,曲边梯形的面积,如果图形是由两条曲线围成,4,解,两曲线的交点,5,解,两曲线的交点,选 为积分变量,6,7,解,两曲线的交点,选 为积分变量,8,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,9,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,10,例5. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,11,2、极坐标系情形,12,曲边扇形的面积,2)、极坐标系下求面积,13,解,利用对称性知,14,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,15,16,旋转体就是由一个平面图形饶这平面
2、内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1、旋转体的体积,17,旋转体的体积为,18,解,直线 方程为,19,20,解,21,22,23,24,解,25,26,解,体积元素为,27,2、平行截面面积为已知的立体的体积,28,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,29,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,30,垂直 轴的截面是椭圆,例10. 计算椭球面,所围立体(椭球),的体积 .,解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当 a = b = c 时就是球体体积 .,31,32,33,三、平面曲线弧长,34,弧长元素,弧长,1、直角坐标情形,35,解,所求弧长为,36,解,37,曲线弧为,弧长,2、参数方程情形,38,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,39,曲线弧为,弧长,3、极坐标情形,40,解,41,解,42,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,四、小结,旋转体的体积,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,绕 轴旋转一周,平行截面面积为已知的立体的体积,43,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,平面曲线弧长的概念,44,