第十二章圆锥曲线.ppt

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1、,山东金榜苑文化传媒集团,曲 线 与 方 程,步步高大一轮复习讲义,圆锥曲线,直线与圆锥曲线的位置关系,曲线与方程,求曲线的方程,画方程的曲线,求两曲线的交点,双曲线,轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法,抛物线,椭圆,定义及标准方程,几何性质,相交,相切,相离,范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴（虚轴） 渐近线（双曲线）、准线、离心率、通径、焦半径,中心对称,轴对称,弦长公式,对称问题,1. 曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x, y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是_. (2)以这个方程的解为坐标的点都是

2、_. 那么这个方程叫做_，这条曲线叫做 _.,这个方程的解,曲线上的点,曲线的方程,方程的曲线,忆 一 忆 知 识 要 点,(1)建系建立适当的坐标系. (2)设点设轨迹上的任一点P(x, y). (3)列式列出动点P所满足的关系式. (4)代换依条件式的特点，选用距离公式、 斜率公式等将其转化为x, y的方程式,并化简. (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点 轨迹方程.,2.求动点的轨迹方程的一般步骤,忆 一 忆 知 识 要 点,(2)两条曲线有交点的_条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.,(1)由曲线方程的定义可

3、知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的_，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组_，两条曲线就没有交点.,公共解,无 解,充 要,3. 两曲线的交点,忆 一 忆 知 识 要 点,4. 求轨迹方程的常用方法,(1)直接法 (列等式) (2)定义法 (利用圆锥曲线的定义) (3)代入法(又称相关点法或坐标转移法) (4)消参法 (5)几何法 (6)交轨法,忆 一 忆 知 识 要 点,圆的方程,学习目标 （1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径 （2）掌握圆的一般方程，了

4、解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化 （3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题,圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径,问题1什么是圆？,问题2 确定圆需要 哪几个要素？,圆心确定圆的位置 半径确定圆的大小,问题3 圆心为(a,b)，半经为r的方程是什么呢？,探索：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程是什么？,解：,设M(x,y)是圆上任意一点，,P=M| |MC|=r,圆的标准方程,(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2,特点：

5、,1、 明确给出了圆心坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具备三个独立条件, 即a、b、r 3、是关于x、y的二元二次方程。,问题：观察圆的标准方程的特点有哪些？,注:当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2,例1:试写出下列圆 (x-1)2+（y-3)2=9的圆心及半径,1、(x-1)2+（y-3)2= -5,2、(x-1)2+（y-3)2=k,变式：下列方程是圆的方程吗？,例2:写出圆心在C( 1, 3),半径是3的圆的方程,变4：求圆心仍在(1,3)，且和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程,变3：直线x+y = 4和x-y = -2均过圆心，半径为3 的圆的

6、方程,变1：求圆心在( 1, 3 )又过点( 1, 6)的圆的方程,变2：已知两点A(1, 9)、B(1, -3), 求以AB为直径的圆的方程,变5：与坐标轴都相切，且圆心在直线2x-3y+5=0上的圆的方程,点 与圆 的位置关系：,点 与圆心 (a,b)的距离为 d= ,圆的半径为r，,点在圆上:,d=r,点在圆内:,点在圆外:,0dr,dr,(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2,例3:(1)判断下列点与圆(x-3) 2 + (y4) 2 = 25的位置关系 (1)P(1,-4) (2)Q(0,0) (3)M(1,2),即,分析：,在圆C:,的内部，,的取值范围是,则,(2)如果,变

7、1:若点(1, )在圆(x-m) 2 + (y- m) 2 = 4 m2的外部，求实数m的取值范围,变2:若经过点P(5a+1,12a)可以作出圆 的两条切线,求实数a的取值范围,当D2+E24F=0时，方程表示一个点（ ）,当D2+E24F0时，方程不表示任何曲线.,当D2+E24F0时，方程表示以（ ）为圆心、 为半径的圆.,x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,(1),问题1:形如(1)的方程都表示圆吗?,圆的一般方程:,x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,例4:下列方程表示圆吗？若表示圆，求圆心、半径,求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，

8、5)的圆的标准方程,【思路点拨】 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解,变式训练1 求圆心在x轴上,且过点A(5,2)和B(3，2)的圆的标准方程,若已知条件与圆心、半径无直接关系，一般用圆的一般方程，再用待定系数法求出系数D、E、F.,已知ABC的三个顶点为A(10,13)、B(2，3)、C(2,1),若AB、BC、AC的中点分别为P、Q、R，求过P、Q、R三点的圆的方程,变式训练2 已知ABC的三个顶点分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)求其外接圆的一般方程式,已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(1,0),B(1,0)，点P在圆上

9、运动，求dPA2PB2的最值及相应的点P的坐标,灵活选择圆的两种方程，同时结合数形结合的思想能有效找到解题的捷径,椭圆的方程、性质,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,1.椭圆的定义,一、基础知识,|x| a,|y| b,|x| b,|y| a,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。,（ a ,0 ）,(0, b),（ b ,0 ）,(0, a),( c,0),(0, c),长半轴长为a,短半轴长为b.,焦距为2c;,a2=b2+c2,2、椭圆的简单几何性质,3.椭圆的参数方程:

10、,焦点在y轴：,焦点在x轴：,1.椭圆的标准方程:,2.椭圆的普通方程:,考点一、椭圆的定义与方程求法,二、考点剖析,（3）定量:解方程得系数,（1）定位:确定焦点的位置,椭圆的方程求法：待定系数法,（2）定型:选择适当的方程:,例题选讲,牛刀小试,A,A,(0,4),(1,2),椭圆的离心率和焦半径公式,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,（1）离心率的取值范围： 0e 1,（2）e 越接近 1椭圆就越扁，e 越接近 0，椭圆就越圆,（3）焦半径公式,牛刀小试,A,C,9/4,考点三、直线与椭圆的位置关系,判别式法与交点个数,判断方法,这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。

11、,0，,=0，,0,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）看,A（x1,y1）,判别式法与弦长公式,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）利用弦长公式:,|AB| =,k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标，一般由韦达定理求得 |x1-x2 | 与 | y1-y2|,通法,B（x2,y2）,=,设而不求,A（x1,y1）,点差法与斜率公式,B（x2,y2）,解：联立方程组,消去y,0,因为,所以，方程（）有两个根，,则原方程组有两组解.,- (1),例题讲解,例3、 求直线y=x- 被椭圆x2+4y2=2 所截的弦长|AB|.,解：联立方程组,消去y,- (1

12、),由韦达定理得,利用弦长公式求解：,双曲线的性质(一),| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),2、对称性,一、研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都是对称。,x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),课堂新授,3、顶点,（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点,M(x,y),4、渐近线,N(x,y),慢慢靠近,动画演示,5、离心率,离心率。,ca0,e 1,e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大,（1）定义：,（2）e

13、的范围：,（3）e的含义：,（4）等轴双曲线的离心率e= ?,( 5 ),（1）范围:,（4）渐近线:,（5）离心率:,小 结,或,或,关于坐标 轴和 原点 都对 称,法二：巧设方程,运用待定系数法. 设双曲线方程为 ,法二：设双曲线方程为, 双曲线方程为, ,解之得k=4,1、“共渐近线”的双曲线的应用,0表示焦点在x轴上的双曲线； 0表示焦点在y轴上的双曲线。,双曲线的渐近线方程为,解出,椭圆与双曲线的比较,小 结,|x|a,|y|b,|x| a，yR,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短

14、轴：2b,(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b,无,抛物线 及其标准方程,椭圆、双曲线的第二定义：,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,复 习,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一、定义,定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。,课堂新授,二、标准方程的推导,步骤：（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简（5）证明,想一想？,课堂新授,课堂新授,回忆一下，看看上面的方程哪一种简单， 为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？,1、标准方程的推导,K,设KF

15、= p,设点M的坐标为（x，y），,由定义可知，,取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线 为y轴,课堂新授,其中 p 为正常数，它的几何意义是:,焦 点 到 准 线 的 距 离,2、抛物线的标准方程,课堂新授,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,课堂新授,准线方程,焦点坐标,标准方程,焦点位置,图 形,三. 四种抛物线及其它们的标准方程,x轴的 正半轴上,x轴的 负半轴上,y轴的 正半轴上,y轴的 负半轴上,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,F(-,-,-,-,想一想:,课堂新授,第一：一次项的变量

16、如为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。 第二：一次的系数的正负决定了开口方向,如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？,思 考 题, 二次函数的图象是抛物线 . 反过来 , 抛物 线的方程是否都可以化成二次函数?,否。如：y 2 = x,3、我们以前学习的抛物线和现在学习的 抛物线的标准方程有什么联系？,例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；,（2）已知抛物线的方程是y = 6x2,求它的焦点坐标和准线方程；,（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。,例题讲解,解:方程可化为: 故焦点坐标 为 ,准线方程为,2

17、、已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；,（2）先化为标准方程 ， ， 焦点坐标是（0， ）， 准线方程是y .,课堂练习1,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）x2= y （3）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,y=2,(0 , -2),1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是 x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,课堂练习1,变式训练,(A) y

18、2 = - 4x,1 . 选择题: (1) 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是( ),(B) y2 = - 8x,(D) y2 = 8x,(C) y2 = 4x,(2) 抛物线x2 +y=0 的焦点位于 ( ),(A) x轴的负半轴上,(B) x轴的正半轴上,(D) y轴的正半轴上,(C) y轴的负半轴上,B,C,例题讲解,例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=,当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,已知抛物线

19、经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。,课堂练习2,提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py,例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程,如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线因为p/2=4,所以p=8,所求方程是y216x,分析：,例题讲解,3、抛物线方程 x 2 = 2 p y 中字母 p 的几何意义是“焦点F到准线L的距离”抛物线的焦准距。 4、求抛物线方程 ， 或者求其焦点坐标和准线方程，关键要从 p 入手。 5、会

20、灵活运用抛物线定义解题。,小 结,课本定义的一个致命的漏洞不知大家是否察觉？,L,.,F,.,点F在直线L外,点F在直线L上,.,F,一、抛物线y2=2px(p0)的几何性质,1. 范围,因为 p 0 y2=2px 0,所以,即抛物线在y轴右侧，且向右上方和 右下方无限延伸,2. 对称性,图像沿x轴折叠，两部分重合或用-y 代 y，方程不变,所以，抛物线关于x轴对称,轴：我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴,3. 顶点：,抛物线和它的轴的交点,在方程中，令x=0, 则,所以，抛物线的顶点为原点 （一个）,4. 离心率：,抛物线上的点到焦点与准线距离的比,由定义，e =1,5. 渐近线：,抛物线虽

21、然向右上方和右下方无限延伸，但不能象双曲线一样无限接近某一直线,所以，抛物线无渐近线,y=0,思考：抛物线的形状与何有关？,例4、M是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是 ,课堂练习3,1. 抛物线 y2 = 2px ( p0 ) 上一点M到焦点的距离是 a ( a ),则点M到准线的距离是 , 点 M的横坐标是 .,a,a,2. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .,课堂练习3,(一)、复习题组训练,（1）已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P= 。,（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ， 则焦点到A

22、B的距离为 。,4,2,（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两 点，那么线段AB的中点 坐标是 。,C,题后反思：刚才我们知道线段AB垂直X轴，那么当一条直线 过焦点F并且垂直x轴，那么得到的线段CD有多长呢？,D,。,F,连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2P.,设抛物线的标准方程是:,易知C(P/2,P),D(P/2,-P),抛物线与过焦点的弦,（一）弦长与焦点坐标之间的关系,由数形结合和抛物线定义可知,如图：抛物线的焦点在,轴上：,？,想一想：,例1. 斜率为1的直线经过抛物线y2 =4x 的焦点,与抛物线相交于两点A、B, 求线段AB的长.,例题讲解,例题讲解,分析1：

23、直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。,.,将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式,分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦（两个焦半径的和），从而达到求解目的.,例题讲解,同理,于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x22.,于是 |AB|=6+2=8,解法二：在图822中，由抛物线的定义可知， |AF|=,说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减 少了运算量，提高了解题效率.,例1：长为10的弦经过抛物线,的焦点弦交抛物线,于,如果,则抛物线的方程是,练习1 过抛物线,的焦点

24、作直线交,抛物线于,则,A、4,B、6,C、8,D、12,练习2 （思考题）将上题中的抛物线改为,答案如何？,C,（二）弦长与弦的中点到准线距离之间的关系,如图，由梯形中位线定理和抛物线定义可知,？,此关系式与抛物线焦点位置有关吗,无关,例6. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆 与 抛物线的准线相切.,A1,B1,例题讲解,例3：定长为6的弦经过抛物线,的焦点,一直线,：方程为,，记弦的中点为,则,到直线,的距离是,例7. 在抛物线y2 = 2x上求一点P, 使P到焦点F与到点A ( 3,2 )的距离之和最小.,例题讲解,直线和抛物线的位置关系,三、巩固练习,2.抛物线的一条弦所在直线是 ,

25、且弦的中点的横坐标为-3,则此抛物线的方程为 . 3.过抛物线 的焦点 ,作互相垂直的两条焦点弦 则 的最小值为 .,二、典型例题,例1.,.,例2.,例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。,A,B,解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2),则 ，,又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22,即 ：x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.,A,B,X10，X20，2p0, X1=x2.,由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且 ， 所以,