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1、虚位移的英文名词是 virtual displacement . 意思是 可能的位移. 并不是虚无的意思. 它的准确含义是: 为约束条件所允许的位移.,第十五章,虚位移原理,质点被约束在某一平面上, 其上有力的作用. 显然, 在此平面上有无限多为约束所允许的 位移.,怎样判断质点是平衡的? 如果沿任何可能的位移方向力系作功之和不为零, 则质点必有动能的增加, 因而不是平衡的. 如果沿任何为约束所允许的可能的位移作功之和为零, 则我们说质点是平衡的 这正是我们判别平衡的另一个准则 虚位移原理.,引 言,15 1 约束 . 虚位移 . 虚功,约束及分类 约束: 限制物体运动的条件,约束的分类: (
2、 1 ) 几何约束 约束方程 表示为空间坐标的函数. 运动约束 约束方程中含有空间坐标对时间的导数,B、C 点的约束方程:,A点的约束方程:,(2)定常约束 约束方程不显含时间t . 非定常约束 约束方程显含时间t .,A点的约束方程:,( 3) 双面约束 约束条件用方程给出. 单面约束 约束 条件用不等式给出.,A点的约束方程:,(4) 完整约束 几何约束和可积分的运动约束. 非完整约束 不可积分的运动约束.,冰刀在冰面上的运动.,圆轮的直线纯滚动.,可积分的运动约束,2. 虚位移 定义: 在给定瞬时, 质点系在约束所允许的条件下的任意 的无限小的位移. : (1) 虚位移是 等时变分 的概
3、念. 不论约束是否定常, 必须把时 间 冻结 , 在此前提下才有虚位移的概念. (2) 虚位移仅为约束条件所允许即可, 而实位移除此之外还须由 动力学方程和初始条件等而定. 同一点的实位移只能有一个, 而虚位移可以有无穷多. (3) 稳定约束( 定常约束 )下, 实位移是众多虚位移中的一个.而在 非 定常约束下则不然.,实位移,虚位移,: 理想约束 : 定义 : 若其约束反力的功或约束反力的功之和为零, 这种约 束称为 理想约束.,: 虚位移的求法: 1. 几何法 - 用几何学或运动学的条件直接求得. 例一. 试用OA杆的转角的变分 表示A、B、C、D各点的虚位移, 已知OA = r.,解:,
4、由瞬时平动的概念:,由虚速度投影:,建立坐标系如图:,3. 混合法:,2. 解析法: 借助于坐标系来表示虚位移. 例二. 图示双摆杆, 试用变量、 的变分表示A、B两点的虚位移.,15 2 虚位移原理,虚位移原理: 在完整, 定常, 理想约束下的质点系静止平衡 的充分必要条件是: 作用于质点系上的主动 力在任何虚位移中的元功之和为零.,即是: 质点系的静止平衡,解: 取系统分析, 设手柄顺力偶的方向 转了 角 ( 力学语言称: 给螺杆以虚位移 ) , 则压板的虚位移为s . 由虚位移原理:,:两种常 用的形式:,例二. (参见书上例15 2 ) 图示结构, 已知力F 作用于G点. 各杆都以光滑
5、铰链连接. AC = CE = BC = CD = DG = GE = l .在G、C 间有一刚度为k 的弹簧, 在 图示夹角为时 弹簧的伸长量为0 . 求支座 B处的水平约束反力.,解: 解除B 处相应的约束, 代之以相应的水平力和活动铰 支座, 去掉弹簧, 代之以相应的弹簧力.,式中 F1 = F1= k0,在图示坐标下,例三. 求图示组合梁的支座B 处的约束反力.,已知: q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m,解: 为便于计算, 将均布载荷 等效简化成集中力.,q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l =
6、8m,去掉B 支座代之以FB , 原结构变成一个自由度的系统. 设CE杆绕E点有一个虚角位移, 则各处有关的虚位移如图.,由,若求A 处支座反力则系统的虚位移分析如图示: ( 注意: 整体分析可知A 处的水平力为零. 故A 处只有竖直反力),q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m,设A 处给一向上的虚位移rA. ,显然有:,若求 处E支座反力, 则系统的虚位移分析如图示.,q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m,设E 处有一向上的虚位移rE ,例五.( 例15 4 ) 图示机构, 不计各构件自重和各处摩
7、擦, 求机构在图示位置平衡 时, 主动力偶 矩M 与主动力F之间的关系. 图中 和h为已知.,解: 设B 点有一虚位移rB,而AB 杆绕O 点的虚角位移,则B 点的牵连虚位移为,由虚位移原理:,如图示, 杆件AB 与CD 用光滑铰链连接, 如果已知B 点的作用力F 和CD 杆上的力 偶 M ,不计杆重, 求支座D 处的约束反力.,A,解: 将D 处的固定铰支座代之以活动铰支座及水平力FDX.,给D 处以水平虚位移xD., 相应各处的虚位移如图示,O 点为DC 杆的虚速度瞬心,M,将D 处的固定铰支座代之以活动铰支座及铅垂力FDY.,给D 处以铅垂虚位移yD, 相应各处的虚位移如图示,DC 杆呈
8、 瞬时平动.,由虚位移原理:,自由度与广义坐标,自由度: 独立的虚位移的个数. 广义坐标: 确定质点系空间位置的独立变量. : 在完整约束下, 自由度的个数与广义坐标的个数相等. 完整约束下, 若系统有n 个质点, s 个约束方程, 则自由度N = 3n s,用直角坐标系下的投影表达为:,习15 10 图示机构在力F1与F2 作用下在图示的位置平衡, 不计各构件的自重与各 处的摩擦, OD = BD = l1, AD = l2 . 求 F1/F2 的值.,解: 此题宜用解析法,建立坐标系如图示.,选角为广义坐标,由虚位移原理:,由虚位移原理:,整理后可得:,建立坐标系如图:,图示双摆杆, 试用广义坐标 、 的变分表示A、B两点的虚位移.,解: 系统有两个自由度, 选广义坐标 x1 和x2 .,习题: 图示系统中, 重物P3 , 倾角 , 皆为已知. 不计摩 擦 , 忽略滑轮和绳子的质量. 求平衡时, 重物P1 和P2 的大小.,