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1、第四章 线性系统的可控性与可观测性,第四章 李雅普诺夫稳定性分析,4-1 问题的提出,4-7 对偶原理,4-5 线性定常连续系统的可观测性,4-2 可控与可达的定义,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,4-4 线性定常离散系统的可控性,4-6 线性定常离散系统的可观测性,4-8 结构分解,4-1 问题的提出,经典控制理论以传递函数描述系统的输入输出特性，输出量即被控量， 只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不 需要提出可控性和可观性的概念。 现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述 输入,引起状态,的变化过程；输出方程描述由状态变化所
2、引起的输出,的变化。,可控性和可观性回答：,“输入能否控制系统状态的变化”可控性 “状态的变化能否由输出反映”可观性,可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出, 是经典控制进入现代控制理论的标志之一。,4-1 问题的提出,【例】RLC网络,控制量对状态变量的控制能力称状态可控性,输出量对状态变量的反映能力称状态可观测性,u,4-1 问题的提出,【例】,解：上述动态方程可写成：,输入u不能控制状态变量,，所以状态变量,是不可控的；,，所以状态变量,不能观测。,从输出方程看，输出y不能反映状态变量,4-2 可控与可达的定义,定义1：使系统从任意初始状态 转移到任意终态则称
3、此状态可 控；,设系统 ，若在有限时间 ,存在分段连续输入u(t),如果系统所有状态可控，则称系统完全可控，简称系统可控。,假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态 ，,那么相平面上的P点是可控状态。,4-2 可控与可达的定义,定义3：使系统从零状态 转移到任意指定终端状 态 ，则称此状态可达，简称系统可达。,定义2：使系统从任一初始状态 转移到终态 状态 零点，则称状态完全可控，简称系统可控；,对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,一. 可控性判据,凯莱-哈密顿定理：,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,推论:,证明:,4
4、-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,由凯莱-哈密顿定理得：,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,（3）,（4）,解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,定理3 ：,中不适用）。,两个或两个以上约当块,（当相同特征根分布在,，,不全为零,中,对应的行,最后一行,中与约当块,输入矩阵,，,分布在一个约当块
5、内时,为约当阵且相同特征根,当,件为：,状态完全可控的充要条,系统,B,A,【例】判别下列系统的状态可控性。 （1）,（2）,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,（3）,（4）,解： （1）系统是可控的。,（2）系统是不可控的。,（3）系统是可控的。,（4）系统是不可控的。,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,二、 可控标准型,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,2. 若一单输入系统可控,则一定能找到一线性变化将起转 换为可控标准型系统.,定理:线性定常单输入系统 可控,则,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,解：（1
6、）首先判别可控性,，故系统是可控的。,（2）化可控标准型,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,即有可控标准型,4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件,一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。 即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。,4-4 离散时间系统的可控性,1.定义：,2.线性定常离散系统的可控条件,4-4 离散时间系统的可控性,4-4 离散时间系统的可控性,解：,所以离散系统是不可控的。,4-5 线性定常连续系统的可观测性,二、可观测性定理,定理1：线性定常连续系统,4-5 线性定常连续系统的可观测性,【例】判别可观测性,（2）,（1）,4-5
7、 线性定常连续系统的可观测性,解：（1）,故系统不可观测,系统可观测,（2）,4-5 线性定常连续系统的可观测性,【例】判别可观测性,解：系统可观测。,解：系统不可观测。,（2）,（1）,4-5 线性定常连续系统的可观测性,三、可观测标准型,一个单输出线性定常系统A,C,若其系统矩阵A和输出矩阵C有如下标准形式：,4-5 线性定常连续系统的可观测性,1.可观标准型系统一定可观。,2.若一单输出系统可观，则一定可通过线性变换将它转化为可观标准型系统。,4-6 线性定常离散系统的可观测性,设 定义：已知u(k)，如果能由 确定x(k)，则第k步是能观的。如果每个k步都能观，则系统完全能观。,y(k
8、) y(k+1) y(k+n-1),4-6 线性定常离散系统的可观测性,定理：系统状态完全能观的充要条件： 其中：,4-6 线性定常离散系统的可观测性,例 解：,4-7 对偶原理,一.对偶系统,定义: 对于线性定常系统S1和S2,其状态空间表达式分别为：,4-7 对偶原理,结论：对偶系统传递函数矩阵互为转置。,S2:,4-7 对偶原理,4-8 结构分解,x,-能控能观 -能控不能观 -不能控能观 -不能控不能观,系统中有一个状态变量不可控称系统不可控，不可控系统含可控和不可控 两种状态变量；系统有一个状态变量不可观测称系统不可观测，不可观测系统含 可观测和不可观测两种状态变量。状态变量可分解成可控可观测状态变量、可控 不可观测状态变量、不可控可观测状态变量、不可控不可观测状态变量四类，相 应空间也分成四类，称为系统的规范分解。,4-8 结构分解,一、系统按可控性分解,使系统状态空间表达式为：,4-8 结构分解,r行 n-r行,4-8 结构分解,可控部分,不可控部分,可控性规范结构方块图,不可控子系统动态方程为：,