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1、1/83,连续时间傅里叶 (Fourier) 变换 离散时间Fourier变换 离散时间Fourier变换的性质 连续时间信号的数字处理,第三章 频域中的离散时间信号,2/83,傅立叶 1768-1830 (Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法国数学家、物理学家 最早使用定积分符号 改进符号法则、根数判别方法 傅立叶级数创始人 1807 热的传播 推导热传导方程中发现解函数可以由三角函数级数构成的级数形式表示 1822 热的分析理论 傅立叶级数、分析等理论,3/83,Fourier分析方法的历史,古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运动 1748年
2、欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合 1753年 D伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示 1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数,4/83,1822年 傅立叶 “热的分析理论” 中提出并证明周期函数的正弦级 数展开原理，奠定了Fourier级数的理论基础 1829年 P.L狄里赫利 周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件 19-20世纪 两种Fourier分析方法-连续与离散 1965年 Cooley & Tukey (IBM) 发明FFT 算法,5/83,连续时间傅里叶 (Fourier) 变换 离散时间Fourier变换 离散时间Fourier变换的性质 连
3、续时间信号的数字处理,6/83,正变换 分析 (提取),连续时间Fourier变换 (CTFT) 的定义,x(t),X( j),正变换,反变换,反变换 综合 (还原),物理意义是什么？,7/83,频域,如何分解出CEG分量？,Fourier变换的导出,8/83,每个频率分量？,频域,时域,9/83,理想冲激函数(函数),且,无限高度、零宽度、单位面积,特性：,10/83,系统的角度：无穷窄的带通滤波器冲激响应,如何提取信号的单个频率分量？,系统的角度 代表什么？,11/83,Fourier变换,Fourier正变换用 的原因,12/83,正变换 分析 (提取),连续时间Fourier变换 (C
4、TFT) 的定义,反变换 综合 (还原),正变换：提取信号的频率 分量，需要用卷积计算完成；,反变换：将每个 频率分量叠加还原出原信号；,13/83,CTFT通常称为傅里叶谱，或连续时间信号谱。 由 ， 称为幅度谱， 称为相位谱。,14/83,例：,1.,0,解：,15/83,2.,这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。,解：,非周期连续时间信号非周期连续频率函数,常见信号频谱,17/83,信号的能量,帕斯瓦尔定理 Parseval,d dt,18/83,低通： 高通： 到 带通：,频谱的频率范围 带宽,19/83,连续时间傅里叶 (Fourier) 变换 离散时间
5、Fourier变换 离散时间Fourier变换的性质 连续时间信号的数字处理,20/83,离散时间傅里叶变换 (DTFT) 的定义,离散时间傅里叶逆变换,综合公式,分析公式,傅立叶变换 被称为 的频谱,离散时间傅里叶变换(DTFT),正变换,反变换,DTFT频谱 的特点：,1. 模与幅角,2. 对称关系 P67 表3.1， 表3.2 能够降低计算的复杂度,证明：,26/83,举例：,通常 是复函数，用它的模和相位表示:,1.,解：,27/83,28/83,2.矩形脉冲:,解：,29/83,3.,解：,30/83,离散傅里叶变换的收敛条件（convergence),分析公式：,当 是无限长序列时
6、，由于 的表达式是无穷项级数，会存在收敛问题。,绝对可和,例：低通滤波器(p69，例3.8),吉布斯现象,平方可和，均方收敛,既不绝对可和也不是平方可和的特定序列,对偶,例：p71，例3.9,33/83,收敛条件有两组：,3. 通过狄里赫利函数 使得傅里叶变换存在。,34/83,常用信号的变换对,35/83,连续时间傅里叶 (Fourier) 变换 离散时间Fourier变换 离散时间Fourier变换的性质 连续时间信号的数字处理,36/83,1. 线性 (linearity):,2. 时移与频移 (shifting):,若 ， 则,37/83,证明：,m = -n,3. 时域反转 (ref
7、lection):,若 则,38/83,4. 共轭对称性 (symmetry properties):,即,39/83,于是有:,于是有:,40/83,5. 频域微分( Differention in Frequency ),证明：,41/83,6. 卷积,证明：,m=n-k,42/83,7. Parseval定理:,证明：,43/83,时域的能量等于频域的能量,称为能量密度谱,特例：,44/83,8. 调制定理 (也称为加窗定理),证明,45/83,例：求以下序列的离散时间傅里叶变换,46/83,高频,例：幅度调制,低频,）,47/83,解调,低频,高频,48/83,例：加窗,无限长序列,窗函数,加窗后频谱产生失真,49/83,加窗实例,加窗后频谱产生失真,正弦序列,50/83,带限离散时间信号,低通,