[数学]扬州大学高等代数课件北大三版--第七章线性变换.ppt

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1、第七章 线性变换,学时：22学时。 教学手段： 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的： 基本内容：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵；特征值与特征向量；对角矩阵；线性变换的值域与核；不变子空间；若当标准形；最小多项式。 教学目的： 1、理解线性变换的定义与运算。 2掌握线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念。 3了解线性变换的值域与核、不变子空间。 4熟悉若当标准形、最小多项式。 本章的重点和难点： 重点：线性变换的定义与运算，线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念； 难点：若当标准形、最小多项式。,7.1 线性变换的定义,一. 线性变换的

2、定义及实例,定义1 映射 A ：VV称为线性空间V上的一个变换；V上的变换A 称为线性变换，如果 对任意的,V, 对任意的kP, 1) A (+)= A ()+ A ()； 2) A (k)= k A (). 本教材一般用花体拉丁字母A ，B，表示线性变换； 称如上条件1), 2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”； 注意与同构映射 f：VW（V，W为线性空间）的异同之处。,例1 S ：V2V2 , S () =/ (按逆时针方向旋转度得/ )，（即二维平面上的旋转变换）。 设,的坐标分别是 (x, y), ( x/, y/ ), 则 . 可以证明， S 是二维平面V2 上的一个线性变换。

3、证明： 对任意的,V2 , 设+=（如图）,S (+) = S () =/=/ +/= S () + S () ， S (k) = k/= k S () . 故S 是V2 上的线性变换., ke ,例6 设V是数域P上的线性空间，kP, 定义V上的变换为k (对任意的V )，可以证明该变换为线性变换，称为由数k确定的数乘变换，并用K 表示. 当 k = 1时，即为恒等变换，当k = 0时，即为零变换. 证明： K 显然是V上的变换. 现仅证其为线性变换. 对任意的,V , aP, K (+) = k(+) = k+k= K ()+ K ()； K (a) = k (a) = (ka)= a(k

4、) = a K (). 故 K 是V上的线性变换. ,二. 线性变换的基本性质,A (a+ b)= a A ()+ b A ()； 2 A (0) = 0, A () = A ()； 3. A ( k11 + + krr ) = k1A (1) +kr A (r)； （保持线性关系不变） 4. 1, , r 线性相关，则A 1, , A r线性相关. 反之，则不一定. 例如零变换 A （）= 0（0）. 证明： 1. A (a+ b) = A (a)+ A (b) = a A ()+ b A ().,2. A (0) = A (0) = 0 A () = 0. A () = A (1) = (

5、1) A () =A (). 据1，易证该等式成立. 据题设，存在不全为0的数k1, , krP, 使得 k11 + + krr= 0 据3. , 2.可知 A ( k11 + + krr ) = k1 A (1) + + kr A (r) = A (0) = 0， 即A 1, , A r线性相关. 性质3说明：设= k11 + + krr A () = A ( k11 + + krr ) = k1 A (1) + + kr A (r) , 即与 A () 具有相同的线性关系.,性质1可修改为如下命题： 5. A 是线性变换的充要条件是： A (a+ b)= a A ()+ b A () 对任

6、意的V，a,b P. 证明： 必要性：即性质1. 充分性：取a = b = 1, 则 A (+ )= A ()+ A ()； 取a = k, b = 0, 则 A (k) = A (k+ 0) = kA ()+ 0 A () = kA ()， 故 A 是线性变换. ,7.2 线性变换的运算,L(V) = A A : VV的线性变换,A : VV是线性空间V上的一种运动，变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算，联系及进一步的特征性质。,V,一. L(V) 上的加法运算,定义1 对任意的A, , B L(V), V, 规定 (A +B )() = A, () + B () 称为A,与B的和，记

7、为A +B . 命题1 对任意的A, , B , C L(V) A +B L(V) , 且具有如下性质： (A +B ) + C = A +(B + C )； 2. A +B = B + A ； 3. 存在O L(V), O +A =A ； 对任意的A L(V)，存在A L(V), A +(A ) = O . 据4，可定义 A B =A (B)，故L(V)中有加法的逆运算：减法运算.,证明： 首先要证明A +B L(V)，即证明A +B 是V上的变换；且对向量加法和数乘保持不变.,二. L(V)上的乘法运算,定义2 对任意的A, , B L(V), V, 规定 A, B () = A, (B

8、() 称A, B是A, 与B 的积，记为A, B . A, 与B 的乘法即映射的合成. 命题2 对任意的A, , B , C L(V) A, B L(V), 且具有如下性质： 5. (A, B) C A, (B C ) ； 6. A, (B C ) A, B A, C ； 7. (B C )A, B A, C A, ； 8. EA, A, E A, （为V上的恒等变换）.,证明：首先证明A, B L(V), 即A, B 是上的变换，且保持向量加法，数乘运算不变.,据映射合成即知确为V上的变换.对任意的,V, k P, A, B (+) = A, (B (+) = A, (B () +B ()

9、= A, (B () +A, (B () = A, B () +A, B ()； A, B (k) = A, (B (k) = A, (kB () = kA, (B () = k A, B () . 故 A, B 是V上的线性变换，即A, B L(V). 因一般映射的合成满足结合律，故5.成立. (A, (B C )() =A, (B C )() = A, (B () + C () = A, (B () + A, (C () = A, B () + A, C () = (A, B A, C )() 6.成立. 7. 同上可证明7.成立. 8. 显然成立. ,注: 该命题有以下注意问题,三. L

10、(V)上的数乘运算,定义3 设 kP, A L(V), 对任意的V，规定 (kA )() = kA () 称kA 为k与A 的数量乘法. 设K 是L(V)中的数乘变换（见前例6，P274例4） 即K () = k，则(kA )() = kA () = K A () 即 kA = K A . 所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算. 本教材即用此定义数乘运算，两种定义方法是一致的. 如上定义2是一种定性描述，而教材定义方式可利用乘法的性质直接推出数乘的性质，使用起来方便.,命题3 对任意的k,lP, A L(V) kA L(V), 且具有如下性质：,11. ( k l )A = k (lA )

11、； 12. k(A +B ) = kA + kB ； 13. ( k+ l )A = kA + lA ； 14. (kA )B = k(A B ) ； 15. 1A = A . 证明： 仅证11. 其它性质类似可证.（ kA L(V)证明略） 据kA = K A 可知， ( k l )A = (K L )A = K (L A ) = k (lA ) . (其中用到乘法的结合律成立). ,据L(V)的加法和数乘及其性质(命题1,3)可知,L(V)关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的线性空间.,L(V)上的可逆变换 定义4 变换A : VV 称为可逆变换，如果存在B : VV, 使得 A B =

12、 BA = E . 这时称B 为A 的逆变换，记为A 1 = B . B : VV 即为A : VV 的逆映射. 命题4 A L(V)，且可逆 A 1L(V), 规定: 16. A n =(A 1)n . 16. 是一种规定，也可看成是性质. 即将A n中的幂指数扩充到整数范围（nZ）. 可以证明幂运算的性质9.10.依然成立.,证明： 证A 1L(V), 即证A 1是V上的变换，且保持向量的加法和数乘运算不变.,A 1显然是V上的变换，关键证其为线性变换. A 1(+) = A 1 (A A 1 () + A A 1 () = A 1 (A (A 1 ()+ A (A 1 () = A 1

13、(A (A 1 () + A 1 () = (A 1A )(A 1 () + A 1 () = A 1 () + A 1 (). A 1( k) =A 1(k(A A 1 )() =A 1(k(A (A 1() = A 1(A (kA 1()= (A 1A )(kA 1() = kA 1(). 故 A 1L(V), ,五. 线性变换的多项式,注: 该性质的证明略，注意问题如下:,例1 (0)R3, 是把向量射到上的内射影变换，则,() x() x R x(x),分析: 性质1), 2)即7.1节例2.这里仅需证明3),4),5),例2 1） 线性空间Pn中，求微商是线性变换(P274例5),

14、显然 D n = 0.,2） 线性空间Pn中，变元的平移变换 S a： Pn Pn，aP, S a( f () = f (+ a). 易验证S a是线性变换. 据泰勒展开式,以上实例说明，线性变换的一些关系可以通过线性变换之间的运算来表示,从而揭示线性变换的一些内在联系及特征性质.,7.3 线性变换的矩阵,一. 引入概念,设V是数域P上n维线性空间，1, 2, , n是V的一组基，A L(V)，则对任意的（V）， = x11+x22+ +xnn , 且其中系数是唯一确定的，称为向量在基1, 2, , n下的坐标. 由于 A = A （ x11+x22+ +xnn ） = x1 A （1）+x2

15、 A （2）+ +xn A （n ）. 故A 完全由 A （1）,A （2）, , A （n ） 有必要研究基1, 2, , n与其象 A （1）, A （2）, , A （n ）之间的相互联系.从而得到如下结论：,定理1 设 1, 2, , n是V 的基 对任意的1,2,nV, 存在唯一的A L(V) , 使得 A i =i , i =1, 2, , n . 分析证明思路：1) 存在性： 对任意的1,2,nV, 存在A L(V) , 使得 A i =i , i =1, 2, , n (即 P282，2.). 2) 唯一性：若另存在BL(V) ,Bi =i , i =1, 2, , n A =

16、B (即 P281，1.).,定理意义分析:,(2) 设1 ,2 , ,n是V的基，对任意的V， A L(V),由此看出,研究A 的特征，关键在于研究i与Ai 的关系, 这里i , AiV，i =1,2,n,定理1的意义就在于证明了 是满射，从而是双射.这就为引入如下概念奠定了理论基础.,二 的性质,L(V)Pnn, 且保持加，减，乘，数乘，可逆性.,三 线性变换下的坐标变换,向量与A在同一基 下的坐标变换公式,注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别（见P6.4）,三 A (L(V)在不同基下的矩阵,定理4 A (L(V)在基1 ,2 , ,n下的矩阵是A A (L(V)在基1 ,2 , ,n

17、下的矩阵是B (1 ,2 , ,n) = (1 ,2 , ,n)X,A A,定义3 A,BPnn, 称A相似B，记AB，如果存在可逆矩阵XPnn, 使得 B=X1AX,相似关系的性质： 1） 自反性：对任意的APnn, AA. (存在E Pnn, A=E1AE) 2） 对称性：AB，则 BA. (AB 存在可逆阵X Pnn，B=X1AX XBX1= X(X1AX)X=A, 即存在Y=X1，A=Y1 BY BA） 3） 传递性：AB, BC, 则 AC. (AB, BC 存在可逆阵X,YPnn, B=X1AX , C= Y1BY C= Y1(X1AX )Y=(XY)1A(XY) AC ) 矩阵的

18、相似关系是P上的等价关系.,4） X1A1X + + X1Ar X = X1(A1 + + Ar )X (X1AX)( X1AX) ( X1AX) = X1(A1A2 Ar)X 即 A1B1 ArBr , 则 A1+A2+ArB1+B2+Br , A1A2 ArB1B2 Br . 5） X1(Ar )X = (X1AX )r (是性质4的特例) 6）AB, 则 Ar Br (AB B=X1AX 据性质5, Br = (X1AX )r = X1(Ar )X Ar Br ). 据以上性质得： AB, 则 f (A) f (B), f (x)Pnn . (设 f (x)= a0 + a1x + +

19、anxn , 因 AB Ar Ar , r = 0, 1, , n, 又由B=X1AX得 kB=k(X1AX )= X1(kA)X,即 kAkB 据性质4知 a0 A0+ a1A + + anAn a0B0 + a1B + + anBn ，即 f (A) f (B）).,7） （定理5） （1） A (L(V)在不同基下矩阵A，B相似； （2） AB（A , BPnn）, 则存在A (L(V)， 使A,B是 A 在不同基下的矩阵.,证明： 由定理4即知 (1) 成立. 这里仅证(2). AB 存在可逆阵X, 使 B=X1AX, 又据定理1, 有A (L(V), A (1,2, ,n ) = (

20、1,2, ,n )A 设 (1,2, ,n )X = (1,2, ,n ) 因X可逆，故 (1,2, ,n )X 1 = (1,2, ,n ) 1,2, ,n 与 1,2, ,n 等价 1,2, ,n 是V的基 , 且 A (1,2, ,n ) = A (1,2, ,n )X) = (A (1,2, ,n )X= (1,2, ,n )AX = (1,2, ,n ) X1)AX=(1,2, ,n ) X1AX = (1,2, ,n )B A, B分别是在基1,2, ,n 和基1,2, ,n 下的矩阵. ,矩阵的相似关系作为Pnn上的等价关系把Pnn分成若干个互不相交的子集 提出问题： 对任意的A

21、 L(V), 找到一个基，使在该基下的矩阵最简单？ （这是今后要讨论解决的一个问题）,利用矩阵相似性质可以简化矩阵的运算 （如利用如上例题可简化如下矩阵的计算）,7.4 特征值与特征向量,一. 特征值、特征向量概念引入,问题： 对任意的AL(V), 如何找到一个基，使A 在该基下的矩阵最简单？ 定义4 A L(V), 若存在A P，存在(0)V，使得 A =0 （1），则称0为A 的特征值，为A 的属于0的特征向量. 几何意义：V3中， A 与 在同一直线上，其长度相差|0|倍. 特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）.,证明：1）A 0 对

22、任意的kP, k0, A (k) kA k(0)0(k) . 即: 凡k都是A 的属于0的特征向量.,2) 设是A 的属于特征值1 ,2 特征向量 A = 1= 2 (1 2)= o 因0, 故 1 2 = o 1 =2 . ,V=V | A=是V的子空间，称为A 的属于特征值的特征子空间，由A 的属于特征值的特征向量与零向量(非的特征向量)组成.,证明：对任意的 kP, ,V ,A () = A ()A () = = () V A (k) = kA = k () =(k) kV 故V是V 的子空间. 例 取数乘变换K L(V)，对任意的( 0)V, kP, K () = k, 即V中非零向量

23、均为K 的属于特征值 k 的特征向量，特征子空间即为V. 特别当 k = 1时, V中非零向量均为恒等变换 E 的属于特征值的特征向量； 当k = 0 时,V中非零向量均为零变换 O 的属于特征值0 的特征向量. 它们的特征子空间均为V.,二. 特征值、特征向量的计算,1. 命题 : 设A (L(V)在基1,2, ,n 下的矩阵A= (aij)nn , 则 = x11+ x22 + + xnn 是A 的属于特征值的特征向量的充要条件是,该命题说明，是否为A 的特征值，(0) 是否为A 的属于的特征向量，关键在于 |EA| 是否等于0，故有必要研究多项式 |EA| 的特性 促使引入一下概念：,2

24、. 定义5 APnn, 是文字，矩阵 |EA| 的行列式 称为矩阵A的特征多项式，记为 fA() . fA() = |EA| Px, fA() = n . 为A 的特征值的充要条件是fA() = 0 .,对命题是A 的特征值的充要条件是 fA() = 0 的证明分析:,以上讨论说明，线性变换A 的特征值均为 fA ()的 根，设0是的特征值，即 fA (0) = |0 EA| = 0 如上齐次线性方程组 (0EA)X=0 的非零解均为A 的 属于特征值0 的特征向量 给出如下课题的思路：,3. 求特征值，特征向量的方法 （对给定的A ）,该实例说明：导数为0的多项式只能是零或非零常数， 其中非

25、零常数均为求导线性变换D 的属于特征值0的 特征向量.,例4 S ：V2V2 , S () =/ (按逆时针方向旋转 度得/ ).(即二维平面上的旋转变换, 见P274例1).,三 特征多项式 fA() (APnn, P为复数域)的性质,设 f A()在复数域C上有n个根1, 2, , n （重根按重数计），a1 + a2 + +an = Tr(A), 称为A的迹， 则1） 1+2+ +n= Tr(A)； （2） 12n = | A | .,证明: 据根与系数的关系及性质1 1+2+ +n = a11+ a22 + + ann = Tr(A) 成立. 12n = (1)n ()n | A |

26、= | A | 成立. ,3. (定理6) n阶矩阵AB，则存在可逆矩阵XPnn, 使得 fA () = fB () .,证明： AB 存在可逆矩阵XPnn, 使得 B = X1AX fB() = |EB| = |EX1 AX| = | X1(eA)X | = | X1 |EA| X | = | X1 | X |EA| = | X1 X | |EA| = |EA| = fA () . ,3.说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换A 的矩阵A 的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故 可将矩阵A的特征多项称为线性变换A 的特征多项式，记为 fA ().,AB，则 |A|

27、= |B| .,证明 : AB fA () = fB () 两多项式的常数 项相等，即 (1)n | A | = (1)n | B | | A | = | B |. ,定理 6 的逆一般不成立，即 fA() = fB() 一般推不出AB| .,但 A，B不相似. 因为与A = E 相似的矩阵只能是 A. ( 设 X1 AX = B B = X1 AX = X1 X = E = A ),4. 哈密顿 凯莱 ( Hamilton Caylay ) 定理 : 设 fA () 是数域 P 上n阶矩阵A的特征多项式，则 fA (A) = An (a11 a 22 ann )A + + (1)n| A |

28、 E = 0 .,Caylay (1821- 1895) 英国数学家，天文 学家. 矩阵论的创立 人。1845年发表“线 性变换理论”，1858 年给出哈密尔顿-凯莱定理. 他也 是n维几何，高位抽象空间的创 立人. 在群论和天文学方面也有 贡献. 1895年卒于英国剑桥.,Hamilton (1805 - 1865) 英国数学家，物理学 家. 对分析力学做出重 要贡献. 在数学方面的 主要贡献是发现“四元 数”，其主要著作为“四元数讲义”. 17岁发现“光束理论”。矩阵论的 提出，源于四元数的研究,故一般 称该定理为哈密顿 凯莱定理.,该定理的证明从略. 其意义为: 当矩阵A的特征多 项式

29、fA ()中的文字 取矩阵数域P上的n阶矩阵X ，从而构成矩阵多项式时 fA (X)时，A是该矩阵多项 式的根，即 fA (A) = 0 （零矩阵）. 由于 L(V) Pnn, A 与A之间保持运算，故有如 下推论成立.,(推论) 设A L(V), fA ()是A 的特征多项式，则 fA (A ) = O .,7.5 对角矩阵,对角矩阵 是矩阵中最简单的一种 哪些A (L(V)在适当的基下,其矩阵是对角矩阵？ 若A 在某基下的矩阵是对角矩阵，则称A 可对角化 本节问题：什么样的线性变换可以对角化？,(定理1) A (L(V), dimV=n) 可对角化的 充要条件是：A 有n个线性无关的特征向

30、量 .,2 (定理8) 属于不同特征值的特征向量线性无关.,证明： 对特征值的个数n进行归纳. 仅一个特征值1时，据定义存在非零向量V，有 A =1成立 显然线性无关. 设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，现证属于k+1个不同特征值1, ,k, k+1的特征向量 1, ,k, k+1线性无关. 设 a11+ + akk + ak+1k+1= 0 (1) 给等式（1）两边同乘以k+1，得 a1 k+1 1+ + ak k+1 k + ak+1 k+1 k+1= 0 （2） 给等式（1）两边同施以线性变换A ，得,A（a11+ + akk + ak+1k+1) = a1A 1+ + akA k

31、 + ak+1A k+1 = a111+ + akkk+ ak+1k+1k+1 = 0 (3) 由(3) (2) 得 a1(1k+1)1+ + ak(kk+1)k + ak+1(k+1k+1)k+1= 0 a1(1k+1)1+ + ak(kk+1)k = 0 因 1, ,k 线性无关 (归纳假定) 可知 ai(ii) = 0 , i =1, , n 因特征值互异，即ii 0 , i =1, , n ，故得 a1= = a k = 0 等式 (1) 为 a k+1k+1 = 0 由k+1 0 推出 a k+1 = 0 1, ,k, k+1线性无关. ,3 （推论1） A L(V), dimV=n

32、, fA ()在数域P中有n个 不同的根，则可对角化.,(推论2) A L(V), dimV=n, fA ()在复数域C中无重 根，则可对角化.,证明思路与定理8相仿，对特征值的个数k 进行归纳即可，此处从略. 关键是正确理解意义.,A (L(V),7.6线性变换的值域与核,一 引入概念,定义6 A (L(V) 的值域 A V = A| V；A 的 核 A 1(0) = | A= 0,V. 也将A 的值域和核表示为： A V = ImA , A 1(0) = KerA .,称dimA V为A 的秩，dimA 1(0) 为A 的零度.,A V , A 1(0) 是 V 的子空间.,证明： 对任意

33、的A ，A A V， A +A = A (+)，kA = A (k)A V，且A V非空，故A V是V的子空间. 对任意的,A 1(0) A =A = 0 A (+) =A +A = 0，A (k)= kA = 0 +， kA 1(0) , 且 A 1(0) 非空 故A 1(0) 是V的子空间. ,例 线性空间 Pxn 中 D (f (x) = f /(x). 则 D 的值域为Pxn-1, D 的核为子空间P.,二. 值域与核的性质,(定理10) A L(V), 1, ,n是V的基，且 A 在 该基下的矩阵为A，则 1) A V= A (L(1, , n ) = L( A 1, , An )；

34、 2) A 的秩 = A的秩.,A（L(1, ,n )）= L(A 1, , A n ),(定理11) A L(V), dimV=n，则 A 的秩+ A 的零度 = n .,(推论) L(V), dinV = n ，则 A 是单射的充要条件为A 是满射,证明思路分析： 分三步完成： （1） A 是单射的充要条件为 A 1(0) = 0； （2） A 1(0) = 0的充要条件为 A V = V； （3） A V = V 的充要条件为A 是满射.,该性质说明：dimA V+dimA 1(0) = n. 但此时不能断定A V+A 1(0) =V. 例如在 Pxn 中, D Pxn = Pxn-1,

35、 D 1(0) = P, D Pxn + D 1(0) = Pxn-1 Pxn . 其中 ， D Pxn D 1(0) = P . 即dim (D Pxn + D 1(0) = n1, 而dim(D Pxn D 1(0) =1.,例 设APnn，A2 = A. 证明A相似于一个对角矩阵,7.7不变子空间,一 不变子空间的概念及性质,定义7 A L(V), W是数域P上线性空间V的子空间，称W是A 的不变子空间，简称为A 子空间，如果：对任意的W，AW . 即 A W W （对线性变换A 封闭）. 性质1 对任意的AL(V), V,0是A子空间（例1）.,V,W,A W,性质2 对任意的A L(

36、V), A 的值域A V, 核 A 1(0)是A 子空间(例2). 证明： 对A VVA A V, A 1(0) , A = 0A 1(0)，故命题成立. 性质3 AB =BA ，则B V, B 1(0)是A 子空间(例3). 证明： 对任意的BB V，A (B) = B (A)B V B V是A 子空间. 对任意的B 1(0), B= 0, 要证明 B 1(0)，关键证B (A ) = 0. 而 B (A ) = A (B) = A (0) = 0, 故B 1(0)是A 子空间. 同理： A V， A 1(0)是B 子空间. 由于A f (A ) = f (A )A ，故 f (A ) V,

37、 f (A )1(0)是A 子空间.,性质4 K L(V), 则V的任一子空间是K 子空间. V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间. 证明：设W是V的任一子空间，对任意的W, 由子空间的定义可知，K= kW, 故命题成立. 性质5 A L(V), W是A 子空间，f (x)Px, 则W是f (A )子空间.,性质6 W1, W2是A 子空间，则 W1+W2 , W1W2仍是A 子空间. 证明： 对任意的1+2W1+W2，A (1+2) = A1+A2 W1+W2. 对任意的W1W2，AW1且AW2，故AW1W2，所以命题成立. 性质7 A L(V), 则A 的属于特征值的特征子空间V是

38、A子空间. 证明： 对任意的V, A=V V是A子 空间. 性质8 A L(V), 则A 有一维A子空间的充要条件是：存在P, 对任意的(0)W, A =,且 W= L().,该性质即说：W是A 的一维不变子空间的充要条件是：W是A 的某特征值的一维特征子空间V.,证明： 必要性 设W是A 子空间，dimW = 1 取W的基，即W = L() A W, 即存在P, 使得 A = 成立. 充分性 设A= (0) L() = W显然是V的一维子空间，对任意的W，= x 应有 A= A (x) = xA= x() =(x) = W , 即W是一维A 子空间. ,二 线性变换在子空间上的限制（AW）,

39、定义 A L(V), W是A 子空间，规定 AW：WW， AW() = A (W), 称AW为A 在W上的限制.,实例： 1. AA 1(0) 是A 1(0) 上的零变换. （对任意的A 1(0) , AA 1(0)() =A = 0 ） 2. AL(V),W是V的子空间，则AWL(W). 3. AV是V上的数乘变换. （对任意的V，A=） 性质10 AL(V),W = L(1, ,r )是V的A子空间的充要条件是： A1, ,ArW. 证明：A W = A L(1, ,r ) = L(A1, ,Ar )，故,三 不变子空间与线性变换的对角化,V分解成A 子空间直和的充要条件：A 在某基下矩阵 是准对角矩阵,命题： A 可对角化的充要条件是V可分解成A 的一维不 变子空间的直和.,