《【优化指导】2013高考数学总复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件 新人教A版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优化指导】2013高考数学总复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件 新人教A版.ppt（66页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第十二节 导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例,1了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次),2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题,一、函数的单调性与导数 在某个区间内，若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内 ；若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内 ,单调递增,单调递减,1f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？ 提示：f(x)0
2、(或f(x)0)仅是函数f(x)在这个区间内为增函数(或减函数)的充分条件而非必要条件，如f(x)x3在(，)上为增函数，但f(x)3x20，既必要性不成立,二、函数的极值与导数 1函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的 ，f(a)叫做函数yf(x)的 ,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,2函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的 ，f(b)叫做函
3、数yf(x)的 极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为 ,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,三、函数的最值与导数 在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，函数yf(x)在a，b上求最大值与最小值的步骤： (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值、最小的一个是最小值,2极值点一定是最值点这句话对吗？ 提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较函数的极值不一定是最值，最值
4、点也不一定是极值点,四、生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大(小)值的强有力的工具,优化问题,答案：B,答案：D,3函数yf(x)的导函数yf(x)在区间(a，b)内的图象如图，则函数yf(x)在区间(a，b)内极大值的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案：B,答案：3,5已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_. 解析：由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，且f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，Mm32.
5、 答案：32,1.导数法求函数单调区间的一般流程：,2导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤： (1)求f(x) (2)确认f(x)在(a，b)内的符号 (3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数 3在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是当x(a，b)时f(x)0(或f(x)0)恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这一结论在由f(x)在区间D上递增(或递减)求参数的范围时，可大胆使用,已知f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围； (3)是否存
6、在a，使f(x)在(，0上单调递减，在0，)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由,【思路点拨】(1)由f(x)0求得单调区间，注意对a的讨论；(2)f(x)0在R上恒成立求出a的取值范围；(3)由f(x)0在(，0上恒成立，同时f(x)0在0，)上恒成立求出a的取值或由f(0)0求得,【自主解答】f(x)exa. (1)若a0，f(x)exa0恒成立，即f(x)在R上递增若a0，exa0，exa，xln a. f(x)的单调递增区间为(ln a，) (2)f(x)在R内单调递增， f(x)0在R上恒成立 exa0，即aex在R上恒成立 a(ex)min，又ex0，a0.,(3)解
7、法一：由题意知exa0在(，0上恒成立 aex在(，0上恒成立 ex在(，0上为增函数 x0时ex最大为1. a1. 同理可知exa0在0，)上恒成立 aex在0，)上恒成立 a1，a1. 解法二：由题意知，x0为f(x)的极小值点 f(0)0，即e0a0，a1.,【特别提醒】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)，转化为不等式恒成立求解,【活学活用】 1.已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由,解
8、：(1)由已知f(x)3x2a， f(x)在(，)上是单调增函数， f(x)3x2a0在(，)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立 又3x20，只需a0. 又当a0时，f(x)3x20， 即f(x)x31在R上是增函数，a0.,(2)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立， 得a3x2，x(1,1)恒成立 1x1，3x23，只需证a3. 当a3时，f(x)3(x21)， 在x(1,1)上，f(x)0，即f(x)在(1,1)上为减函数， a3. 故存在实数a3，使f(x)在(1,1)上单调递减,1.求函数f(x)极值的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)求方程f
9、(x)0的根； (4)检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点(最好通过列表法)如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值,2可导函数极值存在的条件 (1)可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点 (2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同,已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y
10、轴对称 (1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间； (2)若a1，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值,【思路点拨】(1)由f(x)过点(1，6)及g(x)图象关于y轴对称可求m，n.由f(x)0及f(x)0可求单调递增和递减区间(2)先求出函数yf(x)的极值点，再根据极值点是否在区间(a1，a1)内讨论,【自主解答】(1)由函数f(x)图象过点(1，6)， 得mn3 由f(x)x3mx2nx2，得 f(x)3x22mxn，,由f(x)0，得x2或x0， 故f(x)的单调递增区间是(，0)，(2，)； 由f(x)0，得0x2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2) (2)由(1)
11、得f(x)3x(x2)， 令f(x)0，得x0或x2.,当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表： 由此可得：当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值； 当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值 综上得：当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值，当a3时，f(x)无极值,【活学活用】 2.已知函数f(x)x33ax1(a0) (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围,1.设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数yf
12、(x)在(a，b)内的极值 (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,2(1)根据最值的定义，求在闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值 (2)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点,【思路点拨】,利用导数解决生活中的优化问题时： (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间 (2)一定要注意求
13、得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去 (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点,(1)求乙方的年利润Q(元)关于年产量t(吨)的函数表达式，并求出当年利润Q(元)最大时的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失为y0.002t2(元)，在乙方按照获得最大年利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？(净收入获赔金额经济损失),【纠错】求出导函数f(x)0的零点，然后判断导函数在这些点两侧的符号，若符号相反，则是极值点，若符号相同，则不是极值点,【正解】f(x)x3bx2(2a)x2a， 由f(1)0
14、，得b1a， 当b1a时，f(x)x3(1a)x2(2a)x2a(x1)(x2)(xa)，如果a1，那么x1就只是导函数值为0的点而非极值点，故b1a且a1. g(x)x3bx2(a1)xax3(1a)x2(a1)xa(xa)(x2x1),当xa时，g(x)0，g(x)在(，a)上单调递减， (a6,2a3)(，a)，a62a3a， 故所求a的范围为3a3. 综上可知，a的取值范围为3a3且a1.,【心得】f(x0)0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f(x)在x0两侧异号因此，可以从以下三个方面理解函数的导数与极值点的关系：(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，并且f(x)在x0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；,(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在例如函数y|x|，结合图象知它在x0处有极小值，但它在x0处的导数不存在；(3)f(x0)0既不是函数f(x)在xx0处取得极值的充分条件也不是必要条件最后，一定要提醒自己注意对极值点进行检验,