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1、本节首先利用定积分的基本思想，按“分割、,近似求和、取极限”三个步骤导出已知截面面积函,数求立体体积的一般计算公式，然后利用这一一般,计算公式推出旋转体的体积公式.,首页,2 由平行截面面积求体积,截面面积显然是x的函数，,积函数求立体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式.,设 为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的,两平面x=a与x=b之间.,若在任意一点xa，b处作,为 的截面面积函数（见图108）.下面将导出由截面面,首页,垂直于x轴的平面, 它截得,记为A（x），xa，b，并称之,一、由截面面积函数求立体体积的一般计算公式,设截面面积函数A(x)是a,b上的一个连续函数.,(1)对a
2、,b作分割T：,过各个分点作垂直于x轴的平面 , i=1，2，n，,它们把 切割成n个薄片.,(2)设A（x）在每个小区间 上的最大、小值分,别为 与 ，那么每一薄片的体积 满足,于是， 的体积 满足,首页,(3) 因为A（x）为连续函数，从而在a,b上可积，所以,当 足够小时，能使,其中 为任意小的正数.由此知道,V= （或 )=,(1),其中 A( )= （或 ），所以有,首页,所围立体的体积.,解 图109所示为该立体在第一卦限部分的图像(占整体的八,x0，a.由公式(1)便得,例1 求由两个圆柱面 与,截面是一个边长为 的正方形,所以 A(x) =,V=8 .,首页,分之一).对任一
3、0，a, 平面 与这部分立体的,所以截面面积函数为,于是求得椭球体积,设 为位于同一区间a，b上的两个立体,其体积分别为,注 当a=b=c=r时，这就等于球的体积,首页,解 以平面 截椭球面,得椭圆在yoz平面上的投影：,若在a,b上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续，,= ，xa，a.,=1.,且A(x)=B(x),则由公式(1)推知,这个关于截面面积相等则体积也相等的原理，早已为我,齐梁时代的数学家祖暅(祖冲之之子),在计算球的体积时发现.在九章算术,一书中所记载的祖暅原理是：,“夫叠蓁成立积，缘幂势既同则积不容,这就是说，等高处的截面面积既然相等,则两立体的体积,不可能不等. 1
4、7世纪意大利数学家卡伐列利（Cavalieri）,也提出了类似的原理，但要比祖暅晚一千一百多年.,首页,异”，其中幂就是截面面积，势就是高.,二、旋转体的体积公式,绕 x 轴旋转一周所得的旋转体.那么易知截面面积函数为,设f是a,b上的连续函数， 是由平面图形,由公式（1），得到旋转体 的体积公式为,V = . (2),类似地, 若旋转轴为y轴，所得旋转体 的体积公式为,V = . (3),首页,例3 试用公式(2)导出圆锥体的体积公式.,解 设正圆锥的高为h，底圆半径为r.,圆锥体可由平面图形,绕 x 轴旋转一周而得.所以其体积为,又因同底同高的两个圆锥，在相同高程处的截面为相同的圆，,即截面面积函数相同，所以任一高为h，底半径为r的圆锥.,V=,其体积恒为,首页,环状立体的体积.,解 圆 的上、下半圆分别为,例4 求由圆 绕 x 轴旋转一周所得,首页,故圆环体的截面面积函数是,由此得到圆环体的体积为,