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1、第十二讲 多元正态分布的参数估计与检验,一、多元正态分布,二、参数的估计,三、参数的检验,如果 维随机向量 (随机变量),一、多元正态分布,定义,(联合)概率密度函数为,则称随机向量 为 维正态随机向量，,其中,称为均值向量，,为协方差矩阵(协差阵)，且,对于一般情形,仍可定义多维正,记为 。,态随机向量，,当 时，,若令,多元正态分布的性质：,（1）,维正态分布由其均值向量和协方差阵唯,一确定。,（2）,对于任一 维向量 及 阶非负定矩阵 ，,（3）,设 ， 是 常数矩阵，,是 维向量，,则,必存在 维正态随机向量 。,有前面的密度表示，而当 时，,的分,布是退化的正态分布。,（4）,为 维
2、正态随机向量的充要条件为对任,一 维向量 ，,是一维正态随机变量。,（5）,设 为多维正态随机向量，,则 与 互不相关的充要条件是 与,相互独立。,注：,若 ，则称 与 互不相关。,（6）,设 ，,则 的充要条,件是存在 矩阵 使得,其中 。,证明,充分性由性质3立得。,下证必要性。,由于 是秩 为的非负定阵，则必存在正,交矩阵 使得,其中 。,令,则有,令,则由性质3知 ，,且 ,由上式可得,若记,它是 矩阵，即有,（7）,若 ,且 ，,则,证明,由 可知 是正定矩阵，,所以,存在且为对称矩阵，,这样,令,则,且,由性质3知 的每个分量 服从标准正态分布，,且相互独立，,故 分布的定义知,二
3、、参数的估计,在此给出多元正态分布的参数 和 的估,计。,为简单计，仅考虑 的情形。,设 是来自多元正态总,体 的简单样本，,令,样本均值向量,样本离差阵,定理18.1,则 是,设 是来自多元正,态总体 的简单样本，,且 ，,的极大似然估计，,是 的极大似然估计。,定理18.2,则 是,设 是来自多元正,态总体 的简单样本，,且 ，,的一致最小方差无偏估计，,是 的一致,最小方差无偏估计。,三、均值的检验,（一）,协差阵 已知时，均值 的检验,设 是来自多元正态总,体 的简单样本，,其中 已知。,考虑假设,检验问题,令,则可以证明当,成立时，即 时，,而当 不成立时，,有偏大的趋势。,因此，对
4、,给定的显著性水平 ，,当,时拒绝 ，,否则接受 ，即拒绝域为,（二）,协差阵 未知时，均值 的检验,设 是来自多元正态总,体 的简单样本，,其中 未知。,考虑假设,检验问题,令,则可以证,成立时，即 时，,明当,而当 不成立时，,有偏大的趋势。,因此，对,给定的显著性水平 ，,当,时拒绝 ，,否则接受 ，即拒绝域为,（三）,两个正态总体均值相等的检验,设 是来自多元正态总,体 的简单样本，,考虑假设检验问题,是来,自多元正态总 的简单样本，,且两个样本,相互独立，协方差阵 。,根据协方差阵 已知和未知分两种情形：,（1）,已知,检验统计量,可以证明当 成立时，,即 时，,而当 不成立时，,有偏大的趋势。,因此，对,给定的显著性水平 ，,当,时拒绝 ，,否则接受 ，即拒绝域为,（2）,未知,检验统计量,可以证明当 成立时，,即 时，,其中 是协方差阵 的估,计量。,而当 不成立时，,有偏大的趋势。,因此，对,给定的显著性水平 ，,拒绝域为,