《全程复习方略（浙江）2015版高考数学 2.12导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例配套课件 文 新人教a版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全程复习方略（浙江）2015版高考数学 2.12导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例配套课件 文 新人教a版.ppt（76页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例,三年36考 高考指数: 1.了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数不超过三次）. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）. 3.会利用导数解决某些实际问题.,1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的极值（最值）是考查重点； 2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点； 3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识点交汇则
2、以解答题为主，难度较大.,1.导数与函数单调性的关系 （1）函数y=f(x)在某个区间内可导 若f(x)0，则f(x)在这个区间内_； 若f(x)0，则f(x)在这个区间内_.（逆命题 不成立） 如果在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)为_.,单调递增,单调递减,常数函数,(2)单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调，则y=f(x)在该区间上不变号.,【即时应用】 （1）函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_. （2）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_.,【解析】（1）在（0，2)上有f(x)=1-cosx0，所以f(
3、x)在(0,2)上单调递增. （2）函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y=3x2+2x+m 0恒成立， 即=4-12m0，m . 答案：（1）单调递增 （2）m,2.函数极值的概念 设函数f(x)在点x0附近有定义，且在x0两侧的单调性相反（或导 数值异号），则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值.若 先增（减）后减（增），则称f(x0)为函数的一个_, 称x0为_.,极大(小)值,极大(小)值点,【即时应用】 （1）判断下列结论的正误.（请在括号中填“”或“”） 导数为零的点一定是极值点. ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是
4、极大值. ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值. ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值. ( ),（2）函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为_.,【解析】(1)由极值的定义可得，只有正确；(2)从f(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点. 答案：(1) (2)1,3.函数极值与最值的求法 (1)求可导函数极值的步骤： 求导数f(x)； 求方
5、程f(x)=0的根； 列表，检验f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的符号（判断y=f(x)在根左右两侧的单调性），确定是否为极值，是极大值还是极小值.,（2）求函数最值可分两步进行： 求y=f(x)在(a,b)内的_； 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较， 其中_为最大值，_为最小值.,极值,最大的一个,最小的一个,【即时应用】 （1）思考：最值是否一定是极值？ 提示：不一定.如果最值在端点处取得就不是极值. （2）函数f(x)=3x-4x3，x0,1的最大值是_. 【解析】由f(x)=3-12x2=0得x= ， f(0)=0，f( )=1，f(1)=-1，f
6、(x)max=1. 答案：1,（3）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)= _. 【解析】f(x)=3x2+2ax+b，由题意 , 即 ,得a=4或a=-3. 但当a=-3时，b=3,f(x)=3x2-6x+30，故不存在极值，a=4，b=-11，f(2)=18. 答案：18,4.导数的实际应用 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型（函数关系），再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中要时刻注意实际问题的意义.,【即时应用】 （1）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x （
7、单位：万件）的函数关系式为y=- x3+81x-234，则使该生 产厂家获得最大年利润的年产量为_. （2）将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪 成两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值 是_.,【解析】（1）y=-x2+81,令y=0得 x=9或x=-9（舍去），当x9时y0； 当x9时y0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值； 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.,（2）设剪成的小正三角形的边长为x， 则：,令S(x)=0（0x1）,得x= , 当x(0, )时，S(x)0,S(x)递减； 当x( ,1)时，S(x)0,S(x)递增； 故当x= 时，S取得最
8、小值 . 答案：（1）9万件 （2）,利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】 1.导数在函数单调性方面的应用 （1）利用导数判断函数的单调性； （2）利用导数求函数的单调区间； （3）已知函数单调性，求参数的范围.,2.导数法求函数单调区间的一般流程,求定义域,求导数f(x),求f(x)=0在定义域内的根,用求得的根划分定义区间,确定f(x)在各个区间内的符号,得相应区间上的单调性,【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0（或f(x)0）直接得到单调递增（或递减）区间.,【例1】（1）(2011山东高考）函数y= -2sinx的图象大致是( ),（2）设函数f(x)=x(ex-
9、1)-ax2: 若a= ，求f(x)的单调区间； 若当x0时f(x)0，求a的取值范围.,【解题指南】（1）排除法与求导相结合,根据导数与函数单调性的关系判断. （2）当a= 时，函数的解析式是具体的，只需解不等式f(x)0和f(x)0即可得到单调区间；求a的范围时构造函数，对a分类讨论求解.,【规范解答】(1)选C.当x=0时，y=0,排除A. 当x2时，y= -2sinx0，排除D. 由y= -2cosx0得cosx ,在满足上式的x的区间内，y是减函数. 由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个, B不正确，C正确.,（2）a= 时，f(x)=x(ex-1)- x2， f(x)=e
10、x-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当x(-,-1)时,f(x)0; 当x(-1,0)时，f(x)0; 当x(0,+)时，f(x)0. 所以f(x)在(-,-1)和(0,+)上单调递增， 在（-1，0）上单调递减. 故f(x)的单调递增区间为(-,-1),(0,+),单调递减区间为(-1,0).,f(x)=x(ex-1-ax). 令g(x)=ex-1-ax，则g(x)=ex-a. 若a1，则当x(0,+)时， g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)=0， 从而当x0时,g(x)0，即f(x)0.,若a1，则当x(0,lna)时，g(x)0， g(x)为减函数，而g(0)=0， 从而
11、当x(0,lna)时,g(x)0，即f(x)0. 综合得a的取值范围为(-,1.,【互动探究】本例（2）第问中条件改为“若当x0时，f(x)0”，则a的取值范围是_. 【解析】由例题知，若a1，则当x(-,0时，g(x)为减函数，而g(0)=0，g(x)0,f(x)0； 若a1，则当x(lna,0)时，g(x)为增函数，而g(0)=0，g(x)0,f(x)0,不合题意，a的取值范围是1,+). 答案：1,+),【反思感悟】1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域. 2.恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的方法.,【变式备选】已知函数f(x)=x3-ax
12、-1. （1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.,【解析】（1）由已知f(x)=3x2-a, f(x)在（-,+）上单调递增， f(x)=3x2-a0在（-,+）上恒成立， 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只需a0, 又a=0时，f(x)=3x20且只有f（0）=0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数，a0.,（2）由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立， 得a3x2在(-1,1)上恒成立. -1x1,3x23,只需a3. 当a=3时，f(x)=3(x2-1
13、), 在(-1,1)上，有f(x)0, 即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.,利用导数研究函数的极值（最值） 【方法点睛】应用函数极值应注意的问题 (1)注意极大值与极小值的判断. (2)已知极值求参数的值:注意f(x0)=0是函数y=f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. (3)数形结合求参数的范围.利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围.,【例2】(2011重庆高考)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为 f(x),若函数y=f(x)的图象关于直线x=- 对称，且 f(1)
14、=0. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值. 【解题指南】y=f(x)的图象是抛物线，易确定对称轴，从而可求a，b；然后按照求函数极值的步骤求极值即可.,【规范解答】(1)f(x)=6x2+2ax+b=6(x+ )2+b- ，函数 y=f(x)的图象关于直线x=- 对称，所以- =- a=3， 又f(1)=06+2a+b=0b=-12； (2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f(x)=6x2+6x-12，令f(x) =0得x1=-2,x2=1； 所以函数f(x)在(-,-2)上递增，在(-2,1)上递减，在(1,+) 上递增，所以函数f(x)在x=-2处取得极
15、大值f(-2)=21，在x=1处 取得极小值f(1)=-6.,【反思感悟】1.求函数的极值时，一定要注意观察极大值与极小值的情况，否则极易弄混极大值、极小值. 2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，为数形结合解题提供了方便.,【变式训练】(2011北京高考）已知函数f(x)=(x-k)ex. （1）求f(x)的单调区间； （2）求f(x)在区间0,1上的最小值.,【解析】（1）f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1,f(x)与f(x)的变化情况如下： 所以f(x)的单调递减区间是(-,k-1)； 单调递增区间是(k-1,+).,（2）当k-10，即k1时
16、，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k；当0k-11，即 1k2时，由（1）知f(x)在0,k-1)上单调递减，在(k-1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1. 当k-11,即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e. 综上，当k1时，f(x)在区间0,1上的最小值为-k； 当1k2时，f(x)在区间0,1上的最小值为-ek-1； 当k2时，f(x)在区间0,1上的最小值为(1-k)e.,【变式备选】设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR)，已知g(
17、x)=f(x)-f(x)是奇函数. （1）求b、c的值. （2）求g(x)的单调区间与极值.,【解析】（1）f(x)=x3+bx2+cx， f(x)=3x2+2bx+c. 从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0，得c=0，由奇函数的定义得b=3；,（2）由（1）知g(x)=x3-6x，从而g(x)=3x2-6，由此可知， (-,- )和( ,+)是函数g(x)的单调递增区间；(- , )是函数g(x)的单调递减区间； g(x)在x=- 时，取得极大值，极大值为4 ，g(x)在x= 时
18、，取得极小值，极小值为-4 .,导数在实际问题中的应用 【方法点睛】 1.导数在实际问题中的应用 在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数求函数最值的方法加以解决.注意检验结果与实际是否相符. 2.实际问题中的最值 根据实际意义，函数存在最值，而函数只有一个极值，则函数的极值就是最值.,【例3】(2011山东高考）某企业拟建造如图所示的容器（不 计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两 端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且 l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部 分每平方米建造费用为3千元，半球
19、形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.,（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r.,【解题指南】本题为应用题，（1）先求出l和r的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.（2）利用导数求函数的最值.先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值.,【规范解答】（1）因为容器的容积为 立方米， 所以 解得 由于l2r,因此0r2. 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4r2, 所以建造费用定义域为 (0,2.,（2）因为y= -16r+8cr 由于c3,所以c-2
20、0, 所以令y0得: 令y0得:0r ,当3c ，即 2时，函数y在（0，2上是单调递 减的，故建造费用最小时r=2. 当c ，即0 2时，函数y在（0，2上是先减后增 的，故建造费用最小时r= .,【反思感悟】1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题. 2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域，往往是这类题目失分的主要原因.,【变式训练】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时 的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可 以表示为：y= x3- x+8 (0x120).已知甲、乙两地 相距100千米.
21、 （1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地 要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升？,【解析】（1）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5小 时， 要耗油( 403- 40+8)2.5 =17.5（升）. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.,（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得 h(x)= (0x120), h(x)=,令h(x)=0,得x=80. 当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数； 当x(80,120时，h(
22、x)0,h(x)是增函数. 当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.,【变式备选】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.,【解析】（1）分公司一年的
23、利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11. (2)L=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）. 3a5,86+ a . 在x=6+ a两侧，由左向右L的值由正变负.,所以当86+ a9即3a 时， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). 当96+ a ，即 a5时， Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)12-(6+ a)2=4(3- a)3. 所以Q(a)=,即：若3a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最
24、大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若 a5，则当每 件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3- a)3(万元).,【满分指导】函数综合题的规范解答 【典例】（14分）(2011湖南高考)设函数f(x)=x- -alnx (aR). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1),B(x2, f(x2)的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存 在，求出a的值，若不存在，请说明理由.,【解题指南】（1）对f(x)求导，就a的取值分类讨论； （2）假设存在a满足条件，判断条件是否满足.,【规范解答】（1
25、）f(x)的定义域为(0,+). f(x)=1+ - = 2分 令g(x)=x2-ax+1,其判别式=a2-4. 当|a|2时，0，f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增. 3分 当a-2时，0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+)上，f(x)0，故f(x)在(0,+)上单调递增. 4分,当a2时，0,g(x)=0的两根为 当0xx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减. 6分,（2）由（1）知，a2. 因为 所以 8分,又由(1)知，x1x2=1.于是 若存在a，使得k=
26、2-a,则 即lnx1-lnx2=x1-x2， 亦即x2- -2lnx2=0(x21)(*) 10分,再由（1）知，函数h(t)=t- -2lnt在(0,+)上单调递增，而 x21，所以x2- -2lnx21- -2ln1=0.这与(*)式矛盾. 13分 故不存在a，使得k=2-a. 14分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011湖南高考）设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( ) (A)1 (B) (C) (D),【解析】选D.由题意|MN|=t2-lnt(t0)，
27、 不妨令h(t)=t2-lnt，则h(t)=2t- ，令h(t)=0, 解得t= ，因为t(0, )时，h(t)0，当t( ,+)时，h(t)0，所以当t= 时，|MN|达到最小.,2.(2012温州模拟）已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数，g(x)=-x3+2x2+mx在(-,+)内单调递减，则实数m=( ) （A）2 （B）-2 （C）2 （D）0 【解析】选B.由f(x)是偶函数知m2-4=0,m=2, 又g(x)=-x3+2x2+mx在(-,+)内单调递减， 所以g(x)=-3x2+4x+m0恒成立， =42+12m0,m- ,m=-2.,3.(2012杭州模
28、拟）定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf(2)+ 15，在闭区间0,m上有最大值15，最小值-1，则m的取值范围是_.,【解析】f(x)=x2+2xf(2)+15, f(x)=2x+2f(2),f(2)=4+2f(2). f(2)=-4, 故f(x)=x2-8x+15 =(x-4)2-1, 又f(x)在0,m上有最大值15,最小值-1, 4m8. 答案：4，8,4.(2011广东高考）函数f(x)=x3-3x2+1在x=_处取得极小值. 【解析】f(x)=3x2-6x=3x(x-2), f(x)的单调递增区间为：(-,0)和(2,+),递减区间为(0,2), f(x)在x=2处取得极小值. 答案：2,