《同济高等数学第一章第一节课件PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济高等数学第一章第一节课件PPT课件.ppt（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一、集合,二、映射,三、函数,1.1 映射与函数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.,一、集合,下页,集合的表示 列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 Mx | x具有性质P . 例如
2、M(x, y)| x, y为实数, x2y21.,下页,几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.,子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.,下页,2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并). ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交). ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差). ACIAx|xA为称
3、A的余集或补集, 其中I为全集.,提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集.,下页,数集x|axb称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb.,a, b=x|axb闭区间.,a, b)=x|axb半开区间, (a, b=x|axb半开区间.,有限区间,上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.,下页,3.区间和邻域,(-, b= x|xb,(-, +)= x| |x|+.,a, +)= x|ax,无限区间,(-, b)= x|xb,(a, +)= x|ax,下页,3.区
4、间和邻域,邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设0, 则称 U(a, )=(a-, a+)=x| |x-a| 为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.,去心邻域,首页,二、映射,1.映射的概念,设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY.,定义,y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x),X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即 Rf f(X)f(x)|xX.,元素x
5、称为元素y(在映射f下)的一个原像;,集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX.,下页,二、映射,1.映射的概念,设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY.,定义,(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.,需要注意的问题,下页,二、映射,1.映射的概念,设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f,
6、 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY.,定义,需要注意的问题,(2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个子集, 即Rf Y, 不一定RfY .,下页,说明:,Rf 是R的一个真子集. 对于Rf中的元素y, 除y0外, 它的原像不是唯一的. 如y4的原像就有x2和x2两个.,例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf y|y0.,例2 设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每
7、个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.,说明:,在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间1, 1上.,下页,例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf y|y0.,例2 设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.,下页,满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf
8、 Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).,讨论: 下述三个映射各是什么映射？,(1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2.,(2)设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,下页,满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射
9、; 若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).,讨论: 下述三个映射各是什么映射？,下页,2.逆映射与复合映射,设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射g, 即 g : R f X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f 1, 其定义域为Rf , 值域为X .,逆映射,讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？,(1) f : RR, 对每个xR,
10、f(x)x2.,(2)设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,下页,2.逆映射与复合映射,设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射g, 即 g : Rf X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f 1, 其定义域为Rf , 值域为X .,逆映射,讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？,下页,说明:,映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域Rg必须包含在f的定
11、义域内, RgDf . 否则, 不能构成复合映射.,说明:,映射的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f 也有意义. 即使它们都有意义, f o g与g o f也未必相同.,2.逆映射与复合映射,设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成fg(x)Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: XZ, (f o g)(x)fg(x), xX .,复合映射,下页,例4 设有映射 g : R1, 1, 对每个xR,
12、g(x)sin x,则映射g和f构成复映射f o g: R0, 1, 对每个xR, 有,首页,说明:,记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值.,说明:,为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“yf(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .,说明:,函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、 yF(x)、y(x)等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.,三、函数,设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数,
13、 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.,1.函数概念,定义,下页,构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.,函数的两要素,函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.,函数的定义域,对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域.,求函数的定义域举例,下页,单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总
14、是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,下页,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,下页,表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 P(x, y)|yf(x), xD 称为函数yf(x), xD的图形.,函数的表示法,此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =0, + ).,例6,例5
15、函数 y=2. 这是一个常值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =2.,下页,函数举例,此函数称为符号函数, 其定义域为D=(-, +) , 其值域为Rf =-1, 0, 1.,例8 函数y=x.,例7,下页,注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作x.,此函数称为取整函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =Z.,例9,此函数的定义域为D=0, 1(0, +)=0, +).,f(3),=1+3=4.,分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.,下页,设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在
16、数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在X上有上界.,(1)函数的有界性,如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x)在X上有下界.,如果存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界.,下页,2.函数的几种特性,f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.,所以函数无上界.,下页,函数的有界性举例,设函数y=f(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意两点, 且x1x2.,如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调增加的.
17、,(2)函数的单调性,如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调减少的.,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.,下页,设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数.,(3)函数的奇偶性,奇偶函数举例 y=x2, y=cos x都是偶函数. y=x3, y=sin x 都是奇函数.,下页,奇函数的图形对称于原点,偶函数的图形对称于y轴,奇偶函数的图形特点,下页,设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在
18、D上有f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数.,(3)函数的奇偶性,(4)函数的周期性,设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有(xl)D, 且f(x+l)=f(x), 则称f(x)为周期函数, l称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点,下页,下页,3.反函数与复合函数,反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数.,按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D).,例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为,函数yx3, xR的
19、反函数是,提问: 下列结论是否正确？,3.反函数与复合函数,反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数.,按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D).,若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f 1必定存在, 而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数.,下页,相对于反函数yf 1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的.,3.反函数与复合函数,反函数 设函数 f : Df(D)是
20、单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数.,按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D).,下页,3.反函数与复合函数,设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 则由 yfg(x), xD 确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量.,复合函数,函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)fg(x).,说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域
21、Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数.,例如,下页,4.函数的运算,设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;,下页,例10 设函数f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x).,提示:,如果f(x)g(x)h(x), 则f(x)g(x)h(x), 于是,证,则 f(x)g(x)h(x), 且,下页,基本初等函数
22、幂函数: yx (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x;,5.初等函数,下页,反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . ,5.初等函数,初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.,都是初等函数.,例如, 函数,下页,非初等函数举例:,符号函数,取整函数,双曲函
23、数 应用上常遇到的双曲函数是:,双曲正弦:,双曲余弦:,双曲正切:,下页,双曲函数与反双曲函数,双曲函数与反双曲函数,双曲函数的性质,比较 sin(xy)=sin x cos ycos x sin y.,sh(xy)=sh x ch ych x sh y, ,ch2 x- sh2 x=1,ch(xy)=ch x ch ysh x sh y,sh 2x=2sh x ch x,ch 2x=ch2x+sh2x.,下页,双曲函数与反双曲函数,反双曲函数,双曲函数 y=sh x, y=ch x, y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切: y=arth x. 可以证明,结束,堂上练习,1. 求,的反函数及其定义域.,2. P17 第 11题,3. P17 第 12题,1. 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,