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1、1,1. 对称操作,一几何体在旋转、反演、镜面反映等变换下不变，则该变换就称为几何体的对称操作,1.2. 0 晶体的对称性,反演,2,2. 晶体许可的旋转对称轴,设绕通过格点B垂直于纸面的轴旋转a角度为对称操作,C C,根据格点的等价性，绕通过C点垂直于纸面的轴旋转-a角度也为对称操作,B B,BC / BC,BC = m BC, m Z,BC = BC1+2cos(p-a),3,如绕轴旋转2p/n角度及其整数倍为对称操作，则称该轴为 n 度轴（n 重轴）. n=1，称为不变操作，旋转2p角度相当于不动,m BC= BC1+2cos(p-a),cosa = (1-m)/2,-1m3,结论：晶体
2、中不存在5度轴，也不存在7度以及7度以上的对称轴,4,3. 反演,对原点O的反演，使 的操作称为中心反演，用符号 i 表示,4. 旋转反演,旋转与反演的结合的对称操作，称为 n 度旋转反演对称,受周期性制约，同样不存在5度、7度及7度以上的旋转反演轴,5,5. 立方体的对称操作,总的对称操作数： 24+24=48,6,6. 正四面体的对称操作,总的对称操作数： 12+12=24,7,7. 对称操作的标记,1、2、3、4、6度轴可用数字1、2、3、4、6表示；1、2、3、4、6度旋转反演轴，可用 、 、 、 、 表示；镜面反映用m表示,注意： n 度旋转代表所有的绕轴旋转(2p/n)s 的操作，
3、s 为任意整数,显然：,8,8. 群,一组定义了群乘运算的元素的集合G，如果满足以下条件，就称为群，群元的个数称为群的阶,单位元存在，设为E，有 AE=EA=A，AG 逆元存在，BA=AB=E, 记 B=A-1, A,BG 满足结合律 (AB)C=A(BC), A,B,CG 具有封闭性, 若A,B G，则 AB=C G,9,9. 点群,晶体的对称操作满足群的性质，因此常用对称性群来描述晶体的宏观对称性，对称操作即为群的元素,上述晶体的宏观对称操作都不改变一个特殊点的位置，即选定的原点，常称晶体宏观对称性群为晶体点群。晶体点群共32种。,10,32个点群（熊夫利符号记法）,1. 只含一个元素（不
4、动），用C1标记，表示没有任何对称的晶体，1个,2. 只包含一个旋转轴的点群称为回旋群，标记为 C2， C3， C4， C6 ，共4个,3. 包含一个 n 度轴和 n 个与之垂直的2度轴的点群称为双面群，标记为 D2， D3， D4， D6 ，共4个,11,4. C1群加上中心反演组成 Ci 群； C1群加上镜面反映组成 Cs 群，2个,5. Cn群加上与 n 度轴垂直的镜面反映组成 Cnh 群，共4个； Cn群加上 n 个含 n 度轴的镜面反映组成 Cnv 群，共4个,6. Dn群加上与 n 度轴垂直的镜面反映组成 Dnh 群，共4个；Dn群加上通过 n 度轴及两2度轴角平分线的镜面反映组成
5、 Dnd 群，只有D2d、D3d，共2个,12,7. 只包含旋转反演轴的点群，标记为Sn 群，但S1=Ci， S2=Cs， S3=C3h，只有S4，S6群，共2个,8. 立方对称的48个对称操作称为立方点群，用Oh标记；正四面体的24个对称操作，称为正四面体群，用Td 标记。共2个,9. Oh 群中的24个纯转动操作组成 O 群；Td 群中的12个纯转动操作组成 T 群； T 群加中心反演组成 Th 群。共3个,13,1. n/m表示有一垂直于Cn轴的镜面,点群的国际符号记法的一些说明,2. mm，mmm 表示有两组或三组不等价的镜面,14,1. 斜方,布拉维格子：简单斜方,1.2. 2 二维
6、晶格的分类,四大晶系和五种布拉维格子,15,2. 长方,简单长方,有心长方,16,3. 正方,简单正方,17,4. 六角,简单六角,18,二维晶格的晶系和布拉维格子,19,1.2. 3 三维晶格的分类,1. 三斜,布拉维格子：简单三斜,七大晶系和十四种布拉维格子,20,2. 单斜,布拉维格子： 1. 简单单斜 2. 底心单斜,21,3. 正交,布拉维格子： 1. 简单正交 2. 底心正交 3. 体心正交 4. 面心正交,22,4. 四方,布拉维格子： 1. 简单四方 2. 体心四方,23,5. 立方,布拉维格子： 1. 简单立方 2. 体心立方 3. 面心立方,24,6. 三角,布拉维格子：三角,25,7. 六角,布拉维格子：六角,26,三维维晶格的七大晶系和十四种布拉维格子,27,