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1、小学数学教学典型疑难问题 剖析及解决,汤强 西华师范大学,一个活动,闭眼 将手中的纸对折，再对折 旋转180，撕去右上角 旋转180，撕去左上角 将纸展开，贴在脸上,学习：需要参与 学习：需要动脑、动手、动眼等的合作 学习：需要自己与他人的合作,参与式研讨活动,教学疑难问题的提出 教学疑难问题的典型性分析 部分典型教学疑难问题的解读 ,参与式研讨分组,小数的认识第一组 整数的运算第二组 比与比例（兼顾分数）第三组 解决问题（行程问题）第四组 平面图形的认识第五组 统计与概率第六组,如何参与,第一步：以知识板块为线索，每组每个成员对特定知识内容提出一个教学疑难问题，写在便签纸上 第二步：每组讨论
2、，将本组成员的教学疑难问题进行概括、提炼，写在展示纸上(至少3个) 第三步：各组交换，对交换到本组的特定知识内容的教学疑难问题进行评判（认为具有普遍性的，在问题的题号前画上一个三角形、认为还有其它就补充） 第四步：每组代表解读本组的教学疑难问题 第五步：解决的对策研讨,统计与概率教学困惑举例,学生学习经验的误区（以可能性的学习为例） （1）不承认偶然性。 看下面的一个课堂教学片段:两个学生用“石头,剪刀,布”的方式决定输赢。在游戏前，教师让其中的一名学生猜测谁会赢，这名学生肯定地认为自己会赢。教师进一步询问他为什么一定会赢，他毫不迟疑地回答：“因为我有信心。”认为有信心就能赢，或者认为自己能摸
3、到喜欢颜色的球，都表现出这些学生没有认识到随机现象的存在。,（2）“赌徒”心理 看下面的一个课堂教学片段:盒里有4个红球,分别编号为1,2,3,4;还有1个白球,编号为5，这些球除颜色和编号外都一样。每次摸完球之后再放回。在前面的试验中,已经摸到2次3号球,1次1号球,1次5号球。此时，教师摸出一球,让学生猜他手里可能是几号球。学生1认为该摸到2号球了,因为刚才没摸到；而学生2却认为该摸到3号球,因为刚才摸到2次3号球。这两个学生一个认为没有出现的下次会出现，另一个学生认为出现多的下次还会出现。,（3）机会小就是不发生,机会大就一定会发生 还是上面的例子，学生3认为肯定不可能摸到白球,因为摸到
4、白球的可能性很小。,（4）偶然性是存在一些“必然规律的” 在一次听课中，学生连续两次有放会地从盒中摸球,盒中有黄球也有白球。摸了几次后，一个学生突然举手，声明自己发现了“规律”：这次摸到黄球,下次一定摸到白球，黄白是轮流的。,数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。 感性知识是指具有学生个人意义的过程性知识，也包括学生大脑中那些未经训练的、不那么严格的数学知识 情绪体验是指对数学的好奇心和求知欲、在数学学习活动中获得的成功体验、对数学严谨性与数学结果确定性的感受以及对数学美的感受与欣赏等 应用意识包括“数学有用”的信念、应用数学知识的信心等 与形式化的
5、数学知识相比，它没有明确的逻辑起点，也没有明显的逻辑结构，是动态的、隐性的和个人化的,对策,分析教材 学生活动的预先性 学生活动的针对性 学生活动的多样性 学生活动的系统性,？,错在哪里？ 两种回答： 其一、分子、分母分别向加； 其二、学生对分数意义的理解 怎么办？,分数的多重意义 一对对的数字（比如1/2等 ）或者短语（比如二分之一等）并不是分数 它只是代表分数概念的符号或者语言,一个单位平均分之后中的一份或几份（特殊的分数） 分数是两个整数相除的商（一般的分数） 分数是p与q之比p:q（比的定义） 有序的整数对（p,q） 分数内涵丰富（核心概念） 一个测试题,小学生分数发展的阶段,第一阶段
6、：认识单个事物的几分之几 第二阶段：认识多个事物的几分之几 第三阶段：认识一般意义的分数,教学设计中的分数模型,“面积”模型（部分整体模型） 困难： （1）图形表示转化为符号表示 （2）有比1大的分数存在 （3）“单位”的确定 第一阶段,集合模型（子集全集模型） 把“多个”看成“整体1” “一个工厂有4辆货车，有2辆客车” “整体1”的六种情况： （1）1个物体（1个矩形，平均分成3份，取其中的1份） （2）3个物体（3个矩形，其中的“1个”占“3个”的） （3）3个以上是3个的倍数（9个矩形，平均分成3份，取其中的1份） （4）比1多，比3少（2个矩形，平均分成3份，取其中的1份） （5）比
7、3多，不能被3整除（5个矩形，平均分成3份，取其中的1份） （6）比1小（2/3个矩形，平均分成3份，取其中的1份） 第二学段,除法模型（运算模型） “8个人分3块蛋糕” 困难： （1）与实际有差距 （2）学生认为没有计算完 第三学段,形式化模型 形如 的数 数学的要求,分数概念的教学建议 （1）提供多样的模型 （2）把握学生的抽象水平 （3）关注学生的个体差异（分数学习中，学生的个体差异非常显著）,“三角形的稳定性”,“用三根木条钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状不会改变。可见，三角形具有稳定性。” 教学情景：同桌两人兴奋地拉扯着三角形或四边形，发现“三角形木架不管怎么使劲儿
8、拉，都不变形，而四边形木架不费吹灰之力，就变形了”，于是学生自然地归纳出“三角形具有稳定性，四边形容易变形”。,学生的理解： （1）“这个四边形车架是铁的，所以它也有稳定性。” （2）“四根小棒围成的三角形不稳定”,原因： 学生建立或者利用的活动经验的基础有问题 将“三角形”与“三角形物体”混为一谈：稳定性是三角形的特性，它有时在某些三角形物体身上表现为稳固、不易变形，但这并不说明所有三角形物体都很稳固、不易变形，更不说明不易变形的物体就具有稳定性。,教学改进： 不要仅仅停留在“拉不拉得动” 需要强调“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的
9、稳定性。”,对策,概念教学问题,重感知，轻认知,例如，“圆的认识”，教学仅仅让学生感知到的“圆是由一圈弯弯的线组成的”，“圆没有角，弯弯的，边很光滑” 圆的外部特征并不等于“圆”的本质特征，也不是对“圆”的认知。 因为这些外部特征均不涉及“圆”的“一中同长”的本质。 在概念教学，尤其是几何图形概念教学中，这种现象却不在少数。,感知是人们认识事物不可或缺的心理过程，是对事物外部特征的直接反映，属于认识过程的感性阶段。感知所提供的对事物的认识是简单的、表面的、零散的。感知不等于认知。 这与“数学基本活动经验”不矛盾，因为数学概念教学借助“经验”，但不能停留于“经验”，需要形式化，它是演绎的基础,又
10、如，学习“角”，教师带了很多“角”的物品，让学生看一看、摸一摸，感知角的形状是“尖尖的” ，以锐角的特征去表征角的本质特征；然后画出若干个与锐角形状相关的图形，判断它们是不是角。,重记忆，轻理解,例如，在“倒数”概念教学中，部分教师喜欢从倒数的外部特征（分子、分母上下颠倒位置）入手，类比语文中特殊结构的复名词（“蜜蜂、蜂蜜”“天上、上天”等）引入“倒数”的概念，并且引导学生关注作为倒数的分子、分母互相颠倒这一形式上的特点。 这样教学，效果似乎很好，但却淡忘了“倒数”概念的应用意义与作用，是一种舍本求末的做法。 偏重于学生记忆概念的外部表现形式,概念教学问题,在概念教学中，重记忆、轻理解的现象仍
11、然比较普遍。主要表现为以下两点。 其一、偏重形式记忆 数学中有一些概念是以符号或式子的形式表示其意义的，而且在运用中又往往直接和这些符号或式子打交道。由此造成一些教师在教学中疏于引导学生对概念意义的理解，偏重于学生记忆概念的外部表现形式。,其二、偏重概念复述 概念的定义或描述是对概念本质特征和外延的说明，它是判断、解释、推理和应用的基础。怎样让学生掌握概念？有些教师只是简单地让学生复述一遍概念的定义。结果，学生虽会背概念，但遇到具体问题时，却茫然不知如何用概念，即所谓“死知识”。 衡量学生是否理解和掌握概念，不是看他会不会说概念或背概念，而是看能否在具体情境中做出正确判断、解释和运用。,重枝节
12、，轻本质,例如，关于“角”的认识，许多教师都在角的大小与角的两边长短有无关系上做文章，花很大精力让学生讨论。 实际上，教材中或教师、学生所画的角，不论角的两边画多长，本质上都是射线，是无限长的。 区分这些角，并非看角的两边长短，而是看这两条边的位置关系，看这两条边的张口大小，这才是对角概念的本质把握。,概念教学问题,又如，有些教师总结平行四边形特征时喜欢强调“上下两条边平行，左右两条边也平行” 一些学生误认为对边不在水平位置的平行四边形不是平行四边形。 显然这是因为强调非本质特征造成的 在概念教学中，一些教师虽然重视了概念的理解，但往往关注枝节，从概念的枝节上提问题，忽视对概念的本质理解。,小
13、学数学中的数学概念定义都是严密的吗？,小学数学中的定义有以下几类： 首先，有些概念不能定义， 如点，集合， 线段， 对应等等是原始定义， 自然数1，2，3也是原始的抽象。 第二类概念不用定义， 如关系， 延长，相交，方向， 距离， 交换，结合等等， 照字面意义理解即可。 第三类是描述性定义， 如图形的面积， 数的相等与大小，都不是严格的定义。,最后一类才是在逻辑上严密的“属性”式的定义。如等边三角形定义为三边都相等的三角形。 小学数学中的概念，主要是理解其涵义， 能够把握与运用， 不要求外延十分清楚。以为数学概念的定义越严密越好是不对的。 严谨性必须和学生的年龄特证吻合，也要和人的认知规律相适
14、应。,在教学实践,由于对数学概念的内涵和外延认识不清晰，很容易出现以下问题。 “整数就是自然数和0” 小学教科书里曾说过“自然数和零都是整数”，但这并不是给“整数”下的一个定义，而只是指出自然数和0都属于“整数”的范围。然而，如果以为这就是整数的定义，并把它倒过来理解，这样就把整数这一概念的外延缩小了，因为整数不仅包括自然数和0，而且还包括负整数。,分类都必须“不重不漏”吗？,分类是一个重要的数学思想。 儿童心理学表明， 先有分类， 按类别形成集合， 然后才能形成运算。分类是数学学习一个起点。一个流行的说法是“数学分类必须不重不漏”， 这一要求有逻辑上严格性的价值， 但不能绝对化。分类可以相重
15、。,例如包含式分类： 自然数整数有理数实数复数 等边三角形 等腰三角形 分类可以不必“不漏”。 例如三角形分出等边三角形和等腰三角形就够了， 何必来一个三边都不相等的三角形来？没有什么意义。 再如方程概念， 可以进行部分地分类， 如一元一次方程， 一元二次方程， 却不可能对所有方程一个不漏地分类。 总之， 套桶样的包含式分类也是常见的， 对一部分对象进行分类也是允许的， 要看情况进行处理。,在课堂教学口头评价中，常常听到机械地重复一些套语，如：“你真棒！”“你真了不起！”“真厉害！”可以看出老师缺乏感情，甚至言过其实，缺乏对内容实质性的评价。 教师脱口而出的随意性评价不仅不能给学生产生积极的导
16、向，反而可能导致学生形成浅尝辄止和随意应付的学习态度。,课堂即时评价的困惑,评价缺乏，语言单调,不少老师采用了掌声，如总评价“棒，棒，棒，你真棒！”等模式化语言和加分等的外部奖励方法。 采用这些办法促进孩子们的学习积极性，这本是不可非议的，但在一节课中，教师不停地给“掌声”和“加分”，学生关注的更多的恐怕就不是学习内容了，这样的课堂，教学的有效性必然受到质疑。,教师评价过分注重形式，且形式单一,你真棒！你说得真好！你真聪明！这样的评价，学生从中只能了解一个终极性的结果，究竟好在哪里？棒在何处?聪明在哪里？学生无从知道。 对于孩子的“错误”，我们要教给他们怎么做，这样才有利于他们发展。 所以，课
17、堂即时评价要有指向性，使学生从中能找到努力的方向。,对学生一味表扬，不正视学生的错误,对策,充分认识“评价的目的不是为了检查学生的表现，更不是筛选，而是为了全面了解学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展”。 积极探索评价的途径和方法，发挥评价的功能，如学生的表现评定、档案袋方法等 表扬与批评都应该在教育教学中发挥其共有的作用。适当的批评不仅不会挫伤学生的积极性，还能让学生认识到今后改如何改正，认清前方的路。,关于“应用多媒体”的困惑,奇怪现象： 现在的课堂教学，似乎没有现代化手段就是一节不成功的课。所有的优质课比赛中，没有不使用多媒体课件的。大多数老师都会认为课件用的越花哨，课
18、就是成功的。,困惑： 课堂教学中老师能代替的、生活中有实例的，有时候只需要一块小黑板就可以达到目的，需要用多媒体吗？是否应该把“应用多媒体”作为评价一节课好坏的一项标准？在课堂教学中怎样对待多媒体？多媒体在哪些情况下适合为教学服务呢？,“三无”现象,无看书 学生只看屏幕，课堂上学生的数学书始终没有打开过，有的甚至一上课教师就说“同学们，请把书合上，这一节课我们讲”还有的课堂从开始到结束根本就见不到有数学书。,无板书 一些公开课和观摩课，大多采用多媒体计算机辅助教学。多媒体课件的确给教学带来了一场革命，它的特点是形式多样、色彩鲜艳、富有动感。可我们也发现常常是课件牵着教师走，教师牵着学生走。课堂
19、上教师被课件所累，学生成了课件的观众。课件里不断呈现精美的板书，但一幅画面闪过之后，很快又到下一幅画面，一堂课下来黑板上仍旧是空无一字。,无作业 最近参加某市小学数学课堂教学观摩活动，听了21节课，竟有15节课学生整堂课不写一个字，占听课总数的71%。有1节课教师虽然布置了课堂作业，可是学生刚拿起笔，下课铃就响了。,对策,做到“适当运用” 做到“互补运用” ,过程比结果重要吗？,对“过程”与“结果”关系的认识，有以下三种观点： 第一种观点：只要结果，不要过程； 第二种观点：重视过程，但重视过程的目的，是为了更好地掌握知识与技能，过程本身的价值被忽略； 第三种观点：过程本身就是一个教学目标,事实
20、上，结论与过程是教学过程中一对十分重要的关系。从教学角度来讲，所谓教学的结论，即教学所要达到的目的或需要获得的结果；所谓教学的过程，即达到教学目的或获得所需结论而必须经历的必要程序。如果说结论是数学课程的“肉体”，那么过程就是数学课程的“灵魂”。,“数”的过程 “数”的结果 概念的二重性 （比如，自然数、分数等） 关注学生数学认知的二重性,对策,思考“如何做到既关注过程，又关注结果”？ 尽量做到学生“亲身”经历 “告知”方式的恰当使用 ,优差学生共进难？,在应试教育下，班级授课制，优差学生共进难，体现在以下几点： 1.课前预习不同步， 2.课上接受能力不同步， 3.作业完成质量不同步， 4考试
21、成绩不同步。 即浪费了优生的时间，又使差生承受了揠苗助长之苦，在数学教学中，究竟该如何让所有的学生都能共同进步，得到全面的发展呢？,转变一个差生比培养一个优生更重要 转变差生关键在于教师，其实学生学得死板、不主动、思维品质差与教师的引导有很大关系。转变差生，首先要转变他的思想品质和行为习惯，教师要站在为学生全面发展，对学生终身负责的高度，把每节课甚至每个例题当作形成学生正确的思想方法，提高学习能力，完善个性品质的一个步骤和手段。 “分层教学，因材施教，分类指导，培优辅差”,对策,教材在“问题”的处理上与原来教材相比有了很大变化，条件的呈现大多以“情境信息图”的形式出现，色彩鲜艳，生动形象，富有
22、情趣和童趣，不仅条件多了、活了，而且问题大多由学生自己提出并解决。 由于受到学生思维水平和生活经验的限制，学生的有效学习了受到了一定的阻碍，给教师的教学也带来了一些困惑：,教材中“情境图”的运用困惑,困惑1：信息呈现多、散，学生不能正确理解情境图的意思，给学生解题增添了难度。,困惑2：情境图引起学生一些歧义，给学生顺利解决问题留下了隐患。,困惑3：学生不能准确理解情境图的意思，从而出现理解错误。,困惑4：数学教材中有部分情境图与学生所学知识有出入，情境图不能更好的体现出“数学来源于生活并服务与生活”的理念，尤其是对于缺乏现代生活体验的乡村孩子,对策,深入分析教材“情境图”设置的意图 适当“替换” ,谢谢！,,