数学建模与数学竞赛-2012.ppt

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1、数学建模 与数学建模竞赛,欢 迎 大 家 参 加,报 告 人：周 涛 (博士，副教授),要 点,一、数学建模的发展历史 二、关于数学建模 三、数学建模的一般方法和步骤 四、常用数学模型及其分类 五、近几年全国大学生数学建模竞赛题 六、数学建模论文的撰写要点,一、数学建模竞赛的发展,全国大学生数学建模竞赛是由教育部和中国工业与应用数学学会联合举办的一年一届的全国大学生学科竞赛,自1992年举办以来已经连续进行了20届,成为全国高校中规模最大、影响最大的大学生课外科技活动，竞赛有利于培养大学生应用数学方法与计算机技术解决实际问题的能力，有利于培养学生创新精神和综合素质。 竞赛每年9月第三个星期五至

2、下一周星期一（共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（竞赛分甲、乙两组，甲组所有大学生均可参加，乙组只有大专生（包括高职、高专生）可参加）。,竞赛宗旨：创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,2012年:9月19日-9月22日,1、数学建模竞赛的竞争日趋激烈,数学建模竞赛的发展趋势,由于数学建模在创新人才培养中的地位和作用所在，数学建模受到了越来越多的人的重视和关注，特别是引起了更多领导们的重视。 另一方面，也是因为数学建模竞赛有很强的可比性和竞争性，竞赛成绩是反映能力和水平的一个实力型指标,也是高校评估的一个重要指标。2011年有1251所院校、19490个队、5.9万

3、多名大学生参加了本项竞赛,可以称为是目前全国最大规模的科技竞赛活动。,数学建模竞赛的发展趋势,数学建模竞赛二十年来的发展情况：,参加高校： 宁夏大学 宁夏医科大学 北方民族大学 宁夏大学新华学院 宁夏师范学院； 2011年的获奖情况是： 全国二等奖：北方民族大学 4个，宁夏大学1个，宁夏大学新华学院1个； 赛区一等奖：北方民族大学5个，宁夏大学1个，宁夏大学新华学院1个，宁夏师范学院1个，宁夏医科大学2个； 赛区二等奖：宁夏大学4个，宁夏师范学院4个；北方民族大学3个，宁夏医科大学2个；,宁夏地区2011年数学建模参赛情况,2011年全国比赛颁奖情况,“全国大学生数学建模竞赛2011高教社杯颁

4、奖仪式和工作会议” 于2011年12月22日（星期四）在北京人民大会堂举行。,颁奖仪式现场(人民大会堂),全国政协副主席 王志珍院士,全国人大副委员长 中科院院长路甬祥院士,中国工业与数学学会会长 李大潜院士,原清华大学副校长，教育部副部长，中国高等教育学会会长 周远清教授,宁夏医科大学2011年数学建模获奖情况,撰稿人：理学院 周涛,初赛颁奖1,初赛颁奖2,参加全国比赛花絮1,参加全国比赛花絮2,校领导参赛期间看望参赛师生1,校领导参赛期间看望参赛师生2,医学类院校参赛情况,第一军医大学(南方医科大学)生物统计系主办 第二军医大学-基础部、卫勤系主办 第三军医大学-基础部主办 第四军医大学-

5、生物医学工程学院主办 首都医科大学-生物医学工程学院主办 中国药科大学-基础部主办 等国内知名的医学院校全部参加了该项赛事，都取得了不错的成绩。,数学建模竞赛发展情况,1 综合性院校、理工类院校组织校内竞赛；,2 某个区域内院校组织校内竞赛，如东北地区、华东地区、北京地区等；,3 国内举办面向研究生的数学建模竞赛，一年一次；,4 国际大学生数学建模竞赛，美国主办，一年一次；,全国大学生数学建模竞赛网址：http:/ 主办机构：教育部高等教育司 中国工业与应用数学学会(CSIAM) 宁夏地区属联合赛区(由内蒙古、宁夏、西藏、青海等省、区市组成),直接归大赛组委会 (清华大学)领导；,数学建模竞赛

6、的发展趋势,2、数学建模竞赛题目的发展趋势,从近几年的竞赛题目来看，题目的水平在不断提高、难度在增加、实用性在增强;特别是综合性和开放性也在增强，这是一大潮流，从发展趋势上来看，有逐步走向国际化的趋势，同国际接轨是必然的；随着计算机技术和工具软件功能的增强,数据信息量也在逐步地增大，这也是现代应用的特点之一。这些变化都为我们提出了更高的要求，我们应该怎么办，如何应对？值得我们研究和思考!,1. 什么是数学模型？,数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构,二、关于数学建模,简单地说：就是系统的某种特征的本质的

7、数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律,数学模型(Mathematical Model) 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模(Mathematical Modeling) 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,数学模型与数学建模关系,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要

8、的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。,三、数学建模的一般方法和步骤,有一市政府建设工程，若有甲乙工程队合做，则需要12个月完成：若甲队先做5个月，剩余部分有甲乙两队合做则还需要9个月才能完成 （1）求甲乙两工程队单独完成此项工程的时间 （2）已知甲队每个月施工费用5万元，乙队每个月施工费用3万元，要使该工程施工费用不超过95万元，则甲工程

9、队至多施工多少个月？,回到中学看建模,解：设甲、乙两队单独完成此工程分别需要x、y个月。 依题意得：1/x+1/y=1/12; (5+9)/x+9/y=1 . 解这个方程组得：x=20 ; y=30 . 经检验它们是原方程组的解，且符合题意。,数学模型的分类,模型,四、常用数学模型及其分类,数学模型的分类： 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等,五、近几年全国大学生数学建

10、模竞赛题,2011年全国大学生数学建模竞赛题,A题:城市表层土壤重金属污染分析 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘

11、米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。 现要求你们通过数学建模来完成以下任务： (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，

12、确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？,B题:交巡警服务平台的设置与调度 “有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。 试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型

13、分析研究下面的问题： （1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位

14、置。 （2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。 如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。,从实际问题的角度大体上可以分为工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。 工业类：电子通信、机械加工与制造、机械设计与控制等行业。共有8个题，占33.3%。 农业类：个题，占4%。 工程设计类：个题，

15、占12.5%。 交通运输类：3个题，占12.5%。 经济管理类：2个题，占8.3%。 生物医学类：4个题，占16.7%。 社会事业类：3个题，占12.5%。 注：有的问题属于交叉的，或者是边缘的 具有即时性的问题有个：1993B、1998B、2000A、2000B、2001B、2002B、2003A，对于即时性的问题往往都会产生一定社会效应和应用价值。,近几年全国大学生数学建模竞赛题涵盖领域,1. 如何预报人口？,要预报未来若干年的人口数，最重要的影响因素是今年的人口数和今后这些年的增长率（即人口出生率减死亡率），根据这两个数据进行人口预报是很容易的 记今年人口为 ，k 年后人口为 ，年增长率

16、为r，则预报公式为： 预报正确的条件： 年增长率r保持不变,五、数学建模实例,1. 指数增长模型（马尔萨斯人口模型）： 英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出。,2. 阻滞增长模型（logistic模型）,3. 更复杂的人口模型 随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等,可见数学模型总是在不断的修改、完善，使之能符合实际情况的变化,人口模型,六、数学建模的论文写作方法,1. 摘要:问题、模型、方法、结果 2. 问题重述 3. 模型假设 4. 分析与建立模型 5. 模型求解 6. 模型检验 7. 模型推广 8. 参考文献 9. 附录,题目 题目是给评委的第一印象，建议

17、将论文所用模型或者算法加入题目中，例如用*方法解决XXXX问题。,摘 要 摘要无疑是论文中最重要的部分。摘要应该最后书写。再重申一遍：在论文的其它部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。一个理想的时间安排是把交卷前4个小时时间拿出来书写摘要。 摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要思想。如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。进一步，你必须把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终算法执行效率较一个简单的贪婪算法提高67.5 ，较随机选择算法提高123.3 ” 。 理想的摘要长度是很难确定的。你必须把所有的核心观点包含在摘要里面，但是简洁是非常重要的。一般情况下半页左右比较合适

18、，绝对不要超过2/3页 。 摘要（甚至是整篇文章），应该由整个团队合作完成。一种实现方式是，每个队员单独地花一个小时（至少）时间写一个他们认为最好的摘要。然后，大家聚到一起，相互阅读这些摘要。,摘要一般分三个部分： 1、 概述：用三句话表述整篇论文中心。不要超过5行内容。 第一句，用什么模型，解决什么问题。 第二句，通过怎样的编程思路来解决问题。 第三句，通过怎样的模型检验来验证结果的精度。说白了就是给个结果。 2、 分问题表述： 一般国内的竞赛的题目，分3-4个问题。而第一个问题建立的模型基本上是整篇论文的精髓。下面的问题是对第一问题的检验及深入。所以在分问题表述上第一问最好写一下解题的思考

19、过程，比如“我们通过大量不同模型的晒选，发现XX模型很好的解决该问题云云”。这些表述会增加评委对论文的好感度。下面的几个问题，主要简单写一下解题过程及结果即可。 3、最后总结：“我们对此模型在XXX的验证过程中发现了一些不足之后，并在模型评价上提出了N点建议。（N，不要超过4个）,问题重述（引言） 在引言中，你可以按照你自己的理解重述问题。从一个建模问题中，几乎每一个参赛队都可以找到一个不同的“模型”来进行解决。赛后当你阅读其他参赛队的论文的时候，你会惊讶地发现你们解决问题的方法非常不一样，甚至，有的时候你会发现你们解决的问题也是截然不同！因此你在引言中要将你对问题的理解以及你的工作所要解决的

20、问题表述清楚。在这里你也可以阐述一些问题的背景，或者展示一些你在研究问题过程中学到的东西。 引言通常应该在星期五下午首先书写。它可以帮助确保团队所有成员的工作同步。,模型 这是论文中的第一个大的段落。 每一个问题，都可细分为三个部分：模型，解决方案和验证方法。模型可以用来生成数据，基于这些数据你可以测试你的解决方案。 一般来说，模型将出现在电脑中，所以我们面临的挑战是将程序代码翻译成文字，使得每一步都能自圆其说。 对于连续问题的建模； 对于离散问题的建模； 队员应该在周五下午选择构建这些模型，所以这一部分的草稿应该星期六完成。,解决方案 论文的第二个大段落。在这个部分，我们描述数据处理方法，用

21、于处理由第一部分产生的数据。这一部分实际上说明了我们是如何解决问题。 你必须有一个以上的解决方案。再提醒一遍：一个以上的解决方案。 为了证明你有一个漂亮算法，你需要有一个底线，一些可以与你的解决方案相比较。你可以先从最简单，最常见的算法入手，然后逐步提炼，完善它，直到得到你的最好的解决方案。 一般情况下，对于离散的问题，最简单的解决方案可能就是随机选择。在这一部分中，你需要证明你已经对问题进行了彻底的探讨，并且你已经尝试了许多不同的解决方案。 即使你一开始就使用了最佳解决方案，然后尝试了一些其它的方案，在论文的书写中，你仍然应该表示从最根本的解决方案入手，然后逐步细化，最终达到你的最佳解决方案

22、。 如果你尝试了更先进的算法，但它的效率并不理想？ 也要把它放在论文中！ 用来表示你已经从不同的角度进行了尝试，即使你最好的解决方案并不是最复杂、最有趣的一个。在现实生活中，情况往往就是这样！,模型验证 有的时候，问题中会清楚地描述目标要求，以便于你构建算法的验证方法。 对于很多问题来说，会有很多方法来比较不同的算法，最好用多种方法来评价它们。评价方法应该由大家一起自由讨论，可以持续整整一天。,结 果 在这里，你需要表述测试结果。这一部分应该被特别关注，因为你将论文的其它部分表述完成了。如果可能的话，你可以提供大量的数据来支持你的结论。你的模型是不是将不同类型的数据集进行了整合？你的算法是如何

23、做的？ 一般来说，这一部分将会以一些用到的参数结尾，这些参数出现在模型、算法和测试方法中。 你应该尝试尽可能大的参数空间。在这一部分你要证明你已经采用了一个成熟的算法来处理问题，并且你已经尽可能地考查了问题的所有方面。具体数据的展示是比较困难的。提供一些图表是最好的手段。 但最终如果你彻底探讨了模型，算法和测试方法中出现的每一个参数，你将会有大量的数据需要罗列。 你应该以表格的形式来罗列数据，但不要指望评委会看这些表格。你需要在表格下面写一段解释性的文本，指出数据的总的发展趋势，异常情况和整体结果。 重要提示：许多参赛队仅仅建立了一个模型，提出了一种解决方案，运行了一个检测方法，给出了结果后就

24、结束了。你必须要进行多次地测试！你必须要确定你的解决方案是稳定的！它可以适应一些微小的环境变化，你可以给参数一个微小的变化，调试你的代码，使它依然能返回正确的结果。让评委看到你的解决方案是灵活和稳定的，或者诚实地承认你的算法在一些特殊的情况下不能使用。这样你的论文会显得非常的全面。,数学建模的十大算法,1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、

25、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）,4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）,7、网格算法和穷举法

26、 （网格算法和穷举法都是贪心搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）,9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）,一次参加，终生受益,希望大家能踊跃参加！,谢谢大家！,