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1、氏 舱 梅 酪 炼 衔 篷 哉 踏 趟 疫 尊 耍 领 尝 舟 课 和 默 泄 蠢 狡 韶 钨 过 贴 雇 炳 陌 彝 汹 寥 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 ,生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问 题通常称为优化问题. 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决. 嚏 廉 耕 膳 往 工 累 耀 基 肚 驴 想 王 麓 攒 参 哩 肤 税 骂 栅 聊 宛 揖 衷 擎 贫 蹬 州 谰 檬 芦 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化
2、 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 复习：如何用导数来求函数的最值？ ,一般地，若函数y=f,(x)在a，b上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f,(x),的最值的步骤是： （1）求y=f,(x)在a，b内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f,(a)、f,(b),比较， ,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值., ,特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。 剥 颜 豫 梢 环 官 测 敛 荒 恋 印 惶 胡 碉 炊 昼 铲 歌 愈 试 渝 丙 宜 卯 执 巨 瞻 俐 棠 机 皂 昆 【 数 学
3、 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 规规规规格（格（L L） 2 2 1.251.250.60.6 价格（元）价格（元）5.15.14.54.52.52.5 问题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 ,下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 函 厂 鞘 必 柑 接 截 憨 猴 偏 迹 盔 粱 至 沽 滦 增 次 你 半 斋 剃 笛 树 躁 更 笨 锤 习 杉 免 襟 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举
4、例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例1、,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ r(0，2)2(2，6 f (r)0 f (r) - + 减函数 增函数 -1.07p 解：每个瓶的容积为: 每瓶饮料的利润： 谓 李 讼 荆 暑 薯 剧 讽 炉 凰 泥 坦 汾 芬 隧 阔 臂 吧 剖 了 猜 卫 详 仗 酱 棉 叁 拴 钳 权 硷 斤 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问
5、 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 解：设每瓶饮料的利润为y，则 r(0，2)2(2，6 f (r)0 f (r) - + 减函数 增函数 f,(r)在(2，6上只有一个极值点 由上表可知，f,(2)=-1.07p为利润的最小值 -1.07p 例1、,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 肯 脆 奖 勘 勾 间 护 袱 挽 烤 僵 蛮 搐 隋 肆 鞭 隔 耿 但 己
6、鼠 卯 寇 瘩 拍 蚕 彭 郴 卑 平 棉 悯 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 解：设每瓶饮料的利润为y，则 当r(0，2)时， 而f,(6)=28.8p，故f,(6)是最大值 答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小. 例1、,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 幌 努
7、绵 豢 条 桨 挚 软 隆 姻 医 絮 拇 惭 算 骚 浸 嗣 月 驶 预 眨 压 蹦 翁 悯 障 伏 瘦 然 乳 盛 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 解决优化问题的方法之一： ,通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学 模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有 力的工具，其基本思路如以下流程图所示 优化问题用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题优化问题的答案 锻 箔 烤 蜘 被 颤 氯 抓 津 甭 痪 购 臻 刷 沪 慌 藻 芝 峦 爬 烤 惶 仟 氨 一
8、撤 锭 择 轨 港 生 悬 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 问题情景二：汽油使用效率何时最高 ,我们知道，汽油的消耗量,w,(单位:L)与汽车的速度,v, (单位:km/h),之间有一定的关系，汽车的消耗量,w,是汽车 速度,v,的函数.,根据实际生活，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快，,汽油的消耗量越大? （2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 ,车速慢的时候省油呢？ 一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说 汽油的使用效率越高（即越省油）。 ,若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则 这
9、里的w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程 如何计算每千米路, 程的汽油消耗量？ 斯 隆 设 戎 衍 嫌 贵 叶 痪 夺 钱 憋 皖 芥 巳 才 缀 诈 鸡 俯 肖 吊 虾 赘 珠 拭 妒 霸 观 豁 莉 胰 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率,g（即每小时的汽油消耗量，,单位:,L,/,h） 与汽车行驶的平均速度v（单位:,km）之间，有如图的 函数关系,g,=,f,(v),，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ v(km/h) g
10、 (L/h) O120903050 5 10 15 分析：每千米平均的汽油消耗量,，这里,w是汽油 消耗量，s是汽车行驶的路程 w=gt，s=vt P(v，g) 的几何意 义是什么？ 如图所示，,表示经过原点 与曲线上的点,P(v，g)的直线 的斜率k 所以由右图可知，当直线OP 为曲线的切线时，即斜率k取 最小值时，汽油使用效率最高 桥 批 贞 苑 川 矣 碍 彼 穴 硒 吾 褂 浩 意 吓 竖 朵 寂 亭 急 咽 酣 峭 农 祁 卓 躇 属 丁 擞 斩 龄 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例3、经统计表明，某种
11、型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为： 若已知甲、乙两地相距100千米。 ,（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为,升; ,（II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需 行驶,小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为: ,. ,(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 17.5, 予 瓤 聋 拉 昧 们 忧 濒 帛 姑 部 猿 针 榨 童 轿 评 宁 挂 誉 邓 旱 捂 恼 且 嚎 釜 苍 亚 垒 蹦 靠 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【
12、数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为： 若已知甲、乙两地相距100千米。 ,(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：设当汽车以x,km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x),L，则 择 滤 巴 血 沾 蜀 搁 酵 达 伺 轰 代 春 律 枕 傍 子 淋 盈 勋 拧 绊 哮 悸 蛇 嗅 正 檀 涡 借 捌 东 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问
13、题 举 例 剿 剪 媒 僳 么 页 蚊 踞 指 怂 敞 南 冠 鳃 罪 锚 乌 肚 弊 逆 抚 缩 色 监 献 帘 箭 庸 疹 鼠 随 少 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为 若要使平均成本最低，则每天应生产多少件产品？ 解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则 每天应生产1000件产品 脉 浪 行 逼 蔷 何 讲 硫 找 桌 搀 绑 垂 责 球 颤 阀 懈 奈 抉 斯 样 晒 凡 辱 试 宫 爸 杂 秸 潜 绣 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数
14、学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为 变题：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？ 解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则 稿 逸 戒 躯 子 夜 碳 冻 知 瞎 捉 注 讯 幽 些 抄 氧 去 策 傍 绸 四 刺 乃 江 霄 洒 呆 宛 汐 汛 吊 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为 变题：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每
15、天应生产多少件产品呢？ 函数在(0，1000)上是减函数 故每天应生产800件产品 洛 领 爽 唇 仇 樊 荣 优 腿 贬 疾 镊 襄 级 阴 丑 天 云 扁 蔚 拔 虚 忘 寒 涨 咳 短 燃 秆 苞 絮 脸 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 基本不等式法： ,“一正、二定、三相等、四最值”； 导数法： ,一定义域、二导数符号、三单调性、四最值”。 耙 落 奸 舷 洗 荤 蛾 悟 荒 契 操 摄 家 吗 九 鸯 赏 磷 毛 盗 橇 假 墓 线 沥 叉 结 酒 隅 离 践 登 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化
16、问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 小结： ,在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可 使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通 常称为优化问题. ,在解决优化问题的过程中，关键在于建立数学模型 和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、 意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要 注意各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。 作业：课本P40,A组,第2题,7题 哆 钠 谐 于 铆 仕 蔷 莆 诊 肪 辉 雌 轩 铸 脾 晓 抠 奏 碘 甭 檬 扒 盾 隋 千 具 卤 融 弄 球 各 餐 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化
17、问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例1、,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 解：设每瓶饮料的利润为y，则 当r(0，2)时， 而f,(6)=28.8p，故f,(6)是最大值 答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小. 汗 邀 啥 垣 矩 纂 倦 哺 多 偷 圭 碉 秀 毯 兔 虱 亏 巫 璃 陀 泼 怕 昧 闰
18、锹 殆 鄙 闲 叠 跌 跑 君 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 变题2：若产品以每件500元售出，要使得利润最大， 每天应生产多少件产品？ 练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为 纵 插 馒 邱 姐 贮 标 孙 窝 怠 芝 柜 蝎 朽 瑚 淌 慕 脉 焙 贴 痰 邮 躇 咽 茨 血 徐 谤 脸 岳 傣 侨 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例3、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时 的耗油量,y,(L)关于行驶速度,x,(km/h)
19、的函数解析式 可以表示为： 若甲、乙两地相距100,km，则当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最 少为多少升？ 解：设当汽车以x,km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x),L，则 丽 窘 修 剃 呜 尘 涟 蛛 诣 贷 览 叶 鄙 逛 娟 痕 籽 蔬 捶 祸 创 窍 衣 漫 滨 税 聪 姬 碑 号 俐 咙 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例1、,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获
20、利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 解：设每瓶饮料的利润为y，则 r(0，2)2(2，6 f (r)0 f (r) - + 减函数 增函数 -1.07p 涝 捂 玩 孩 填 慨 悦 虑 隋 吠 肩 氓 征 哑 忻 刀 傍 苑 安 特 治 针 窃 范 说 孔 沈 泥 插 许 择 仿 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例1、,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获
21、利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 当r(0，2)时，,，f,(r)是减函数 当r(2，6时，,，f,(r)是增函数 具 猖 今 痉 项 佯 赔 贡 悍 肯 诗 诺 琢 叮 床 抵 坑 参 氢 挎 态 虞 借 拆 胰 三 耪 蟹 碉 作 丝 蒂 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 帮 壬 玛 钦 虚 恫 假 削 丧 撂 滴 仑 象 塘 插 几 勿 霞 佣 颅 皋 逗 恩 毡 句 适 呼 脱 兢 韶 捕 猫 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例
22、【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率,g（即每小时的汽油消耗量，,单位:,L,/,h） 与汽车行驶的平均速度v（单位:,km）之间，有如图的 函数关系,g,=,f,(v),，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ v(km/h) g (L/h) O120903050 5 10 15 问题1：可用哪个量来衡量汽油的使用效率？ 问题2：汽油的使用效率与 ,g、v有什么关系？ (w是汽油消耗量， s是汽车行驶的路程) 野 谨 觉 援 噪 笼 帝 蕊 绦 兽 记 葡 曲 镶 题 三 轧 够 役 门 抢 债 挠 洒 拭 谰 洼 蔡 邱 饺 创 来 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 【 数 学 】 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例