深入研读教材领悟基本思想----初中数学思想方法的教学与应用(浙派名师讲座).ppt

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1、深入研读教材 领悟数学思想,丽水市莲都区处州中学 胡军华,引言,日本数学教育家米山国藏曾经说：学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而作为知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。 英国的律师、美国的西点军校至今都要求他们的学员要学高深的数学，这倒并不是因为在他们的的工作中要用到多么深奥的数学知识，而是更看重了数学的思想与方法对他们未来工作所产生的影响。 若把数学知识比喻为金子，那么数学方法 就是“点金术”。,数学教学有两条线,另一条是暗线

2、: 数学思想方法的教学,一条是明线: 数学知识的教学,数学课堂教学的支点：,经验是数学的基础 问题是数学的心脏 思考是数学的核心 发展是数学的目标 思想方法是数学的灵魂 数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养能力相结合的法宝，是学生未来发展的重要基础。数学思想方法已越来越被广大数学教育工作者所关注。,数学课程标准（修订稿）就明确提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，即重要数学知识以及基本的数学

3、思想方法”。数学思想方法就这样再次被明确地列入数学教学的培养目标中。现在，数学思想方法已成为数学教学的具体目标。近年来，相关研究在不断深入和拓展，并成为一项独具特色而又富有深远意义的研究课题。 研究在初中数学教学中渗透数学思想方法有利于深刻地理解数学的内容和知识体系；有利于提高学生的数学素质；有利于对学生进行美育的渗透和辨证唯物主义的启蒙教育；有利于教师以较高的观点处理教材。,一、数学思想方法释义 二、初中教材中隐含的数学思想及其应用 三、初中教材中体现的数学方法 四、数学思想方法的教学案例 五、数学思想方法的教学功能 六、初中数学思想方法的教学策略 七、初中数学教学中渗透数学思想应注意的 几

4、个问题,一、数学思想方法释义 数学思想 数学方法 数学思想方法,1、数学思想的含义 现代汉语中，思想解释为：客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。辞海称思想为理性认识。中国大百科全书认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果。 可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识。 由此推演，数学思想应是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中。,分类的思想 集合的思想 数形结合的思想 “变中有不变”的思想 符号表示

5、的思想 对称的思想 对应的思想 有限与无限的思想,数学抽象：,归纳的思想 演绎的思想 公理化思想 转换化归的思想 联想类比的思想 逐步逼近的思想 代换的思想 特殊与一般的思想,数学推理:,简化的思想 量化的思想 函数的思想 方程的思想 优化的思想 随机的思想 抽样统计的思想,数学建模:,数学审美:,简洁思想 统一思想 和谐思想 对称思想 ,2、数学方法的含义： 方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中，所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征。 方法因问题而生，因能解决问题而存。 数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学

6、内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径。,3、数学方法的层次 第一层次是基本和重大的数学思想方法 模型化方法 微积分方法 概率统计方法 拓扑方法 计算方法 第二层次是与一般科学方法相应的数学方法 类比联想 分析综合 归纳演绎 ,第三层次是数学中的特有方法 数学表示 数学等价 数形转换 第四层次是中学数学中的解题方法和技巧。,宏观的数学方法包括： 模型方法 变换方法 对称方法 无穷小方法 公理化方法 结构方法 实验方法,4、数学方法分为宏观的和微观的两类,微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类： (1)逻辑学中的方法：例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归

7、纳法、穷举法(要求分类讨论)等这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。 (2)数学中的一般方法：例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法代数中常称图象法等），这些方法极为重要，应用也很广泛。 (3)数学中的特殊方法：例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解法以及平移法、翻折、旋转法等。这些方法在解决数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。,5、数学思想与数学方法的关系 数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性； 数学思想是内隐的，而数学方法

8、是外显的； 数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步概括和升华； 如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相当于建筑施工的手段。 数学思想和数学方法又具有相对性，同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作过程时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为数学思想。,数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。 数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段. 初中数学中隐藏的思想和

9、方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的，都是相通的，所以初中数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即初中数学思想方法。,（1）生活的需要,6、为什么要重视数学 思想方法的学习,（2）学生发展的需要,（3）课标的要求,（4）高效课堂的需要,二、初中教材中隐含的数学思想及其应用,数形结合思想 分类讨论思想 类比联想 整体思想 转化与化归思想 方程与函数思想,1、数形结合思想,数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即利用形的直

10、观加深对数量关系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识，实现了抽象思维与形象思维的结合与转换。,数与形本是相倚依，怎能分作两边飞； 数缺形时少直观，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事休。 华罗庚,教材体现,数轴 ， 绝对值 平面直角坐标系 函数 空间与图形 勾股定理 平方差公式、完全平方公式的几何意义,1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。 4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。 5、解直角三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。,6、“圆”这一章中，圆的定义，

11、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表来反映数据的分布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据分布情况，发展趋势等。 实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。,应用举例,2、关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 。,1、已知a0，b0，且ab，则（ ） A 、 ba B 、 b C 、a |b| D、 |b| |a|,3、如图是小张用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”。 则搭n条“金鱼”需要火柴 根。,4、若M( ,y1),N( ,y2),P( ,y3)三点都在函数（k0

12、）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A、 y2y3y1 B、 y2y1y3 C 、 y3y1y2 D、 y3y2y1,6、,5、对于二次函数yax2bxc若a0，b0，c 0， 则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（ ） A.只有一个交点 B.有两个，都在x轴的正半轴 C.有两个，都在x轴的负半轴 D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴,2012中考,7、如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示ACCE的长； (2)请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小?

13、(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 的最小值.,此例，以“形”助“数”，又以“数”辅“形”，是运用数形结合典范也是构造法的运用的一例。,2、分类讨论思想,分类讨论思想又称逻辑划分，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想。 当数学问题中的条件、结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。,分类讨论的步骤及原则,1、明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类标准（标准统一，标准不同，结果也不相同）； 2、恰当分类（结果无遗漏

14、，无交叉重复）； 3、逐类讨论（逐级进行，不越级讨论）； 4、归纳总结，综合得出结论。,教材体现,|a |= 实数的分类 三角形的分类 与圆有关的位置关系 三角形判定方法的探索 一元二次方程的解的情况,隐含分类思想方法的教学内容,1、数与式,（1）有理数 有理数的分类 相反数 绝对值 有理数的大小比较 有理数的运算法则,（2）实数 实数的分类 平方根、立方根 无理数的形式,（3）式 整式的分类 分式的加减,隐含分类思想方法的教学内容,2、方程与不等式,方程的分类,不等式的性质,分段函数,一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质,不等式组的解集,3、函数,一元二次方程的解,隐含分类思想方法的教学

15、内容,4、图形的认识,线的分类,面的分类,垂线性质,三角形按边、按角的分类,角的分类,图形的分类,三线八角,三角形高的位置,三角形外心的位置,三角形全等的条件,等腰三角形边和角计算,勾股定理的应用,四边形的分类,弦、弧的分类,与圆有关的位置关系,圆周角定理,隐含分类思想方法的教学内容,5、图形与变换,相似三角形的对应关系,列举法,6、统计与概率,1、等腰三角形的一个角等于30，腰长为20cm，求等腰三角形腰上的高的长； 2、已知直角三角形两边x、y的长满足 ，则第三边长为 ； 3、A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80

16、千米/时，以过小时两车相距50千米，则的值是（ ） A、2或25 B、2或10 C、10或125 D、2或125,教学应用,4、在半径为1的O中，弦AB，AC分别为 和 ，则BAC的度数为 ； 5、已知O的半径为2，点P是O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与O相切的圆的半径一定是（ ） A1或5 B1 C5 D1 6、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是 -5y-2 ，则这个函数的解析式 。,1、对A进行讨论,2、对B进行讨论,3、对C进行讨论,例1、在三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！,应用举例,例2、劳技课上，老

17、师要求学生在一张长17cm，宽16cm的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下所得等腰三角形的面积。,应用举例,例3、在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.,x,y,0,P,A,（1）点T（t，0）是x轴上的一个动点。当t取何值时，TOP是等腰三角形？,情况一:OP=OT,情况二:PO=PT,情况三:TO=TP,T3(-4,0),(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T的坐标?,0,P,A,x,y,0,P,A,(3

18、) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标轴上的一点。以P.O.T 为顶点的三角形与AOP相似,请写出点T的坐标?,例4、 如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）.一次函数yxt的图象l随t的不同取值变化时，正方形中位于l的右下方部分的图形面积为S写出S与t的函数关系式,3、类比联想,类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法,教材体现,相似三角形判定方法的探

19、索 零指数幂和负整数指数幂的性质探索 特殊平行四边形性质和判定的探索 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的探索 整式除法运算法则探索 求多边形内角和 分式,1通过有理数的相反数、绝对值、运算律等得到实数的相反数、绝对值、运算律等知识。 2、不等式的性质，一元一次不等式的解法等内容采取与等式的性质，一元一次方和的解法等做类比。 3 在二次根式加减的运算中，指出“合并同类二次根式与合并同类项”类似。因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。 4 “角的度量、角的比较大小、角的和、差及平分线”，可与线段的相关知识进行类比； 5、度、分、秒的运算可与时、分、秒的运算进行类比。 6 相似多边形的性质

20、和相似三角形的性质类比。,7、有理数的加减法与 整式的加减、二次根式的加减类比； 8、平方根与 算术平方根、立方根的类比 9、一元一次方程与二元一次方程组、一元二次方程的类比 10、有理数的乘除法与整式的乘法、整式的除法、 二次根式的乘除类比 11、一次函数与反比例函数、二次函数的类比,4、整体思想,整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理的思想方法。,教材体现,多项式与多项式相乘的法则探索 二元一次方程组的解法 代数式求值 分解因式 平方差公式；完全平方公式

21、； 整式的相关计算 分式,2、,已知方程组,的解是,，则a+b= .,3、,1、若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x= -1时， 求ax3+bx+7的值.,4、,应用举例,5、如图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要 米。,6、如图，A，B，C两两不相交，且半径都是0.5cm， 则图中的阴影面积为 。,7、 如图，ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，求图中阴影部分的面积。,5、转化与化归思想,化归就是转化与归结的简称，所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题

22、。具体来说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。,教学体现,多边形内角和的探索 整式乘法运算法则探索 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系探索 分式方程的解法、多元方程（组）的解法、一元二次方程的解法 几何实体与其三视图,初中阶段代数方程内容结构框架图可总结如下：,应用举例,1、 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了 .,分析：利用菱形的性质，将三角形ACG的面积转化为三角形ODG的面积，则阴影部份的面积转化为扇形糁OCD的面积。,应用举例,3、如图，正方形

23、ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC 上一动点，则DN+MN的最小值是多少？,4、如图，A是半圆上一个三等分点， B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点， O的半径为1，求AP+BP的最小值。,5、在直角坐标系XOY中x轴上的动点M（x,0） 到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP 和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=?,这类问题，均可“构建对称模型”实现转化化归。,6、方程与函数思想,函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问

24、题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.,教学体现,二次函数求最值 解直角三角形的相关问题 最大利润问题 最佳分配方案问题 空间与图形的相关问题 根据相关信息求函数关系式,1、 如图， 中，BC4， P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时， APD 面积最大？,x,4-x,应用举例,奇妙的求根公式,案例：公式有美吗？,7、审美思想,你认为公式,思考一：观察公式中包含几种 运算？,提

25、醒我们a0,包含了小学到初中所学过的6种运算-加法、减法、乘法、除法、乘方、开方。,思考二：你能一步就写 出以下方程答案吗？,改成,思考三：观察 的解如何？,那么：,的解呢？,思考四：你能把公式编成一个趣味故事吗？,一把剪刀（x ）飞跃大桥（=），一刀刺在一个梨子上（-b），梨子从嘴巴里吐出（ ）一间厂房（ ），厂房下面看到一只鸭子站在梨子上（b2），它正在用一根木棒顶着一把菜刀（-4），拼着命想把一个饼（a ）切开一缺口（c ），可惜这个饼实在不听话，逃到地下室（）向唐老鸭求救（2a ）,思考五：以下方程各有几种解法？,思考六：不准解方程，你能判断方程： 有几个根吗？（说出你的思考方法）,三

26、、初中教材中体现的数学方法,（1）综合法：就是从问题的条件出发，运用已学过的的数学知识，进行一系列正确的逻辑推理，逐步靠近“未知”，最后得出命题的结论。这种由因索果的思考方法叫综合法。 （2）分析法：就是从问题的结论入手，一步步寻找结论成立的条件，一直追溯到这个条件就是已知或已学过的数学知识为止，从而就发现了证明命题的思路，这种执果索因的思考方法，叫分析法。,综合法,分析法,（3）配方法： 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方

27、法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 （4）消元法： 所谓消元，是指通过若干关系式联系着若干个元素，通过有限次变换消去其中某些元素，从而使其中一些元素或元素之间的关系更明朗的一种解题方法。,例3（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3,（5）因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项

28、添项、求根分解、换元、待定系数等等。 （6）换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。,例4：解方程：,例5：解方程,从而求得原方程的解。,分析：这是关于x的三次方程，极不易解决。为此，转变已知和未知的地位，令 = y，视常数y（已知）为未知数，将未知数x看成已知（常数），则原方程变成关于已知数y的方程：,（7）判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根

29、的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 （8）待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。,例6：已

30、知抛物线 中至少有一条与轴相交，求实数a的取值范围。,分析：直接入手很难，从问题的反而考虑则有：,待定系数法,（9）构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。,构造法的运用,证明：原方程组化为：,由此构造一元二次方程：,是此方程的二实根,（10）面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不

31、仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。,（11）反证法 ：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(

32、结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有n个、至多有(n一1)个；至多有一个、至少有两个；唯一、至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与

33、已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。,例10、证明：,用反证法：,依据是排中律,（12）几何变换法： 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括： （1）平移；（2）旋转；（3）对称。,例11 如图1,C为线段AB上一点，ACM,C

34、BN都是等边三角形，,（1）求证：AN=BM; （2）图1中有哪些全等三角形？ （3）连接PQ。说明PQAN; （4）若增加条件ACMCBN， 你能在图1中找到哪些全等三角形？ 看谁找得多,图1,（5）将CBN绕C旋转一定的角度，图2，图3，图4中，结论AN=BM是否成立?,（6）、将CBN固定不动，ACM作如下变换，图5,6,7,8中，结论AN=BM还成立吗？,M,四、数学思想方法的教学案例,教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受，理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质. 张奠宙,案例

35、1：垂 直,体现的数学思想有： 1、对称的思想 2、符号表示的思想 3、数学推理的思想 4、“变中有不变”的思想,99,对称的思想,示范：两条直线相交，交角逐渐变大的过程。 两条直线相交，交角变大为90时，出现对称的情况，并且4个角都是90。这时称为两条直线垂直。 两条直线垂直，一定是“互相”垂直。,100,符号表示的思想,记为 AB CD ; 或者 a b 形象，简洁 符号 的读法 回忆上节课“平行”中的符号 采用适当的符号来表述，在数学中是常见的。,101,数学推理的思想,在实践上，一定要知道相交的4个角都是直角，才能判断“两条直线垂直”吗？ 那么，从相交的4个角中有一个是直角，如何推出其

36、他三个角也是直角？ 对顶角相等；平角减直角 = 直角 数学中的结论，不能仅仅是“看出来的”，必须是“证出来的”，这是数学的游戏规则。,102,数学推理的思想,点评：“过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。”也需要说明它是基本事实。但是课堂上不知为什么没有说。 “直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”也是需要证明的。 数学中的结论，不能仅仅是“看出来的”，必须是“证出来的”，证明的过程，是逻辑推理的过程，这是数学的游戏规则。,103,“变中有不变”的思想,直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 画出“直线外一点与直线上各点连接的多条线段，与垂线段比较长度。”各个线

37、段在变化，但是“变中有不变”的是，总是垂线段最短。这是“看出来的”，能否“证出来”？ “直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”如何证明？ 三角形大角对大边； 直角大于锐角。,104,案例2：二元一次方程组的图像解法,体现的数学思想有： 1、有限与无限的思想 2、数形结合的思想 3、一一对应的思想 4、方程的思想,105,有限与无限的思想,你会解二元一次方程 x y + 5 = 0 吗？ 过去学过列表法，解析法 列表，给出“解集合”（由许多“有序数对”组成） 点评：容易误解“解的子集合”； 应添加 x = ，y = + 5 这种“不定方程”一般都有无穷多解。,106,数形结合的思

38、想,你能在直角坐标系中标出以上述方程的解为坐标的点吗？ 这些点的集合构成什么图形？ 可以联系过去学的一次函数的图像，是直线。 数形结合，我们可以把求出该直线称为上述方程的图像解法。 数形结合，我们能否想象出二元一次方程组的图像解法？ 两条直线交点的坐标是该方程组的解。（形数）,一一对应的思想,二元一次方程的解对应着一条直线 有一个二元一次方程，就有一条直线 不同的二元一次方程，就有不同的直线 这就是说，二元一次方程与直线一一对应。,108,解方程的思想,凡是讨论解方程的内容，都需要讨论以下三点： 该方程有没有解？ 如果有解，有多少解？ 解的表示形式如何？ 每次课上遇到解方程的内容，都重复说这三

39、句话，潜移默化地，学生对于“解方程”的素养，就慢慢培养出来了。 今天讨论的二元一次方程组， 无解、有唯一解、有无穷多解的情况，在图像上的反映如何？,109,方程的思想,为了求出某一个未知量，能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，并且能够通过解方程得到该应用问题中未知量的值。 今天讨论的二元一次方程组， 没有涉及到应用问题，所以没有体现上述思想。,110,案例3： “圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”,以上课例说明：理论与实践相结合，“课标”的理念与课堂的教学相结合，是十分重要的。教学改革，说到底，是实践的问题。 全面掌握和准确理解“

40、课标”以后，要有意识地把新课标教学理念运用到教学实践中去。,112,五、数学思想方法的教学功能,1数学思想方法是教材体系的灵魂。 在现行的数学教材中，无论是哪个版本都存在着两条主线：一条是明线即数学知识，一条是暗线即数学思想方法。 从长远目标来看，数学思想方法比形式化的数学知识更具有普遍性，在学生未来的工作和生活中有更加广泛的应用；从近期目标来看数学思想方法是从事数学活动及其他活动的思维方式和手段，它对培养和提高学生数学学习能力起到了非常重要的作用。因此，形成和发展学生的数学思想方法是数学教育的主要核心目标之一。,2数学思想方法是教学设计的指导思想。 数学课堂教学设计应分宏观设计、微观设计和情

41、境设计三个层次进行。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想方法的飞跃和创造。 一个好的教学设计，应当是历史上数学思想方法发生、发展过程的模拟和简缩。有了深刻的数学思想方法作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能培养出有创造性的人才。,3数学思想方法是构建高效课堂的重要因素。 有效教学的核心是以学生有无进步与发展作为衡量教学效益的唯一标准。高效课堂的核心则是精妙的教学及学习过程。 “重视对数学思想方法的领悟将能唤起数学学习者潜在的

42、数学天赋，提高其数学素养从而提高学习效益和质量”。数学思想方法性高的教学设计，是进行高质量教学的基本保证。 一堂课有无数学思想方法渗透，也是衡量高效课堂的标准之一。,六、初中数学思想方法的教学策略,1、在教学目标中明晰 首先，数学思想方法是更隐性的更本质的知识内容，它蕴含于教材的整个体系之中 上课前必须要认真钻研教材，挖掘教材中所蕴含的数学思想方法，从数学思想、方法的角度对教材的体系进行认真的分析，弄清教材每一部分的内容所要解决的问题，集中反映或附带反映了哪些数学方法。 其次，数学思想方法的教学目标应具有层次性。 根据学生的实际情况，结合教材中的数学思想方法，考虑应渗透、介绍或强调哪些数学思想

43、，要求学生在什么层次上把握数学思想等，然后进行合理的教学设计，做到有意识、有目的地进行数学思想方法的教学。,2、在知识形成中落实 （1）体验数学思想方法，培养数学思维的意识。 （2）理解数学思想方法，学会数学的思维。 （3）运用数学思想方法，培养数学思维的能力。,3、在训练中巩固 数学思想方法的形成同样有一个循序渐进的过程，只有经过反复训练才能使学生真正领会并得到巩固。 首先，在教学中渗透了某种数学思想方法后，教师应安排科学的数学思想方法的训练，使学生能做到举一反三，在训练中不断地提炼方法、归纳方法、开拓思路、完善自我。 其次，数学思想的训练不仅局限于练习中，在同一知识网络的知识新授过程中教师

44、可以采用点拨的方式，引导学生利用前面学习的数学思想方法解决或学习新的知识。,4、在概括总结中升华 在数学中渗透数学思想方法教学的最终目的是要提升学生的数学思维的品质，让他们在数学学习的过程中，形成思维的深刻性、灵活性、整体性、严密性。 教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象；使学生逐步体会数学思想方法的优越性，并在学习和生活中自觉地运用；要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，并帮助学生在中、高年级逐步建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这样才能把数学思想、方法的教学落到实处。,七、初中数学教学中渗透数学思想应 注意的几个问题,1、渗透的自觉性 作为教

45、师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，教师在制定教学计划时，要充分了解这一册教材中可以结合哪些内容进行什么数学思想方法的渗透，再结合后续的教学整理出数学思想方法教学的系统。,2、渗透的可行性,数学思想方法的渗透要由浅入深，不能随意性太强，对一种数学思想方法挖掘到什么程度，学生能理解到什么程度，教师要心中有数。 因此，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，教师要通过精心设计的教学过程，有意识的引导学生潜

46、移默化地领会蕴含其中的数学思想和方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。具体组织教学时，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机概念形成的过程、结论推导的过程、方法思考的过程、思路探索的过程、规律揭示的过程等。,3、渗透的反复性,数学方法属于逻辑思维的范畴，学生对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级”的认知过程。 数学思想方法不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征、学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。 为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，

47、因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。如通过分数和百分数应用题有规律的对比板演，指导学生小结解答这类问题的关键，找到具体数量的对应分率，从而使学生自己体验到对应思想和化归思想。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。,4、渗透的合理性,数学教师应对数学思想方法具有敏感性和自觉性，充分挖掘教材中的数学思想方法 以数学知识为载体，将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中 重视课堂教学实践，在知识的引进、消化和应用过

48、程中促使学生领悟和提炼数学思想方法 通过范例和解题教学，综合运用数学思想方法，巩固和深化数学思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识,数学思想方法具有过程性的特点，它蕴含于数学知识的发生发展过程中，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的载体，没有“过程”就没有“思想”。数学思想方法还具有活动性的特点，学生头脑中的数学思想方法也是在数学学习活动中逐步形成的，数学思想方法的学习重在体验和领悟，逐步形成用这些思想方法进行思维的习惯。,在数学实践中，我们深深地体会到，只有用数学思 想武装起来的学生解决问题才有远见和洞察力；只 有把人类积累的思想财富运用于课堂教学的始终， 才能使我们的教学朝气蓬勃、充满生机，才能叩开学生思维的大门，培养他们的创造意识，才能把课堂变成同学们吐露才华的幸福乐园。如果说教学是一门艺术，那么在教学中渗透思想方法那更是艺