高中数学全程复习方略34 生活中的优化问题举例(共82张PPT).ppt

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1、3.4 生活中的优化问题举例,1.通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤. 2.会利用导数解决某些实际问题.,1.本课重点是求解有关函数最大值、最小值的实际问题. 2.本课难点是把实际问题转化成抽象的数学问题.,1.优化问题的定义 解决生活中求_、_、_等问题.,利润最大,用料最省,效率最高,2.解决优化问题的基本思路是,优化问题,优化问题的答案,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程,数学建模,1.求函数最值的常用方法有哪些? 提示：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利用导数.,2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体

2、积最 大，则高为_. 【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm，其 体积为V= x(202-x2)(00；,当 x20时，V0， 当x= 时，V取最大值. 答案： cm,3.体积为定值V0的正三棱柱，当它的底面边长为_时，正三棱柱的表面积最小. 【解析】设底面的边长为a，高为h， 则,由S=0得 所以当底面的边长为 时，正三棱柱的表面积最小. 答案：,4.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位 的产品，成本增加100元，若总收入R与年产x的关系是R(x)= +400x(0x390)，则当总利润最大时，每年生产的产 品单位数是_.,【解析】由题意可得总利润P(x)=-

3、 +300x-20 000(0 x390).P(x)=- x2+300， 由P(x)=0，得x=300. 当0x0， 当300x390时，P(x)0， 所以当x=300时，P(x)最大. 答案：300,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)=0； (3)比较函数在区间端点和使f(x)=0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案.,2.解应用题的思路和方法 解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题

4、，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.其思路如下：,实际问题,数学问题,实际问题的结论,数学问题的结论,(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模；将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案.,面积、容积的最值问题 【技法点拨】 解决面积、容积的最值问题的思路 解决面积、容积的最值问题，要正

5、确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.,【典例训练】 1.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为_.,2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,【解析】1.由题意，设矩形边长AD2x，则AB4-x2， 矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(00； 当 x2时，S0.,当x= 时,S取得最大值为 . 即矩形的边长分别是 时，矩形的面

6、积最大. 答案：,2.方法一：设箱底边长为x cm， 则箱子高为h= cm，得箱子容积 V(x)=x2h= (0x60). V(x)=60x- (0x60) 令V(x)=60x- =0， 解得x=0(舍去),x=40. 并求得V(40)=16 000.,由题意可知，当x接近于0或接近于60时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值. 答：当x=40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3. 方法二：设箱子高为x cm，则箱底长为(60-2x) cm，则得箱子容积 V(x)=(60-2x)2x(0x30).(后面同方法一，略) 由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值

7、出现在极值点处.,【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点为最值点.,【变式训练】(2011江苏高考)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE

8、=FB=x(cm).,(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知 得 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800， 所以当x=15时，S取得最大值. (2)V=a2h=2 (-x3+30x2), V=6 x(20-x). 由V=0得，x=0(舍)或x=20.,当x(0,20)时,V0； 当x(20,30)时,V0，所以，当x=20时,取得极大值，也是 最大值,此时 ，即包装盒的高与底

9、面边长的比值为,【误区警示】在导数的实际应用中，除运用导数求函数的单调性之外，还应注意考虑是否符合实际意义.,费用(用材)最省问题 【技法点拨】 费用(用材)最省问题的解题技巧 选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，把实际问题转化为数学问题.正确列出函数关系式，然后利用导数求最值.,【典例训练】 1.一列火车的锅炉每小时消耗的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20 km时，每小时消耗煤的价值为40元，至于其他费用每小时要200元，要使火车从甲城开往乙城时的总费用最省,则火车行驶的速度应为_.,2.设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h，底面半径为r，已知单位面积铝

10、合金的价格是铁的3倍，要使造价最低，应如何确定hr？,【解析】1.设速度为x km/h，甲、乙之间的距离为a km，则总费用为y=f(x)=(kx3+200) =a(kx2+ )(x0)， 40=k203=8 000k， k= ， y=f(x)=a( )(x0)， f(x)=a( )=,令f(x)=0，则 f(x)只有一个极值点， 此点也为最值点， 当火车行驶速度为 km/h时，费用最少. 答案： km/h,2.设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y3mr2m(r22rh). 因为Vr2h，得h ， 所以y4mr2 . 所以y8mr . 令y0，解得 此时,所以当r 时，y0，函数单调递

11、增. 所以r 为函数的极小值点，且是最小值点， 所以当r ，即hr=41时，y有最小值.,【总结】解答题1的易错点与解答题2时的关键点. 提示：(1)解答题1时，注意填空题的规范性，结果容易漏掉单位. (2)解答题2的关键点在于利用容积是定值，得到高与半径的关系，进而得到总造价关于半径的函数，注意本题字母较多，要分清哪些是常数，哪些是变量.,【变式训练】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度 单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球 形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且l2r.假设 该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方 米建造费用为3千元，半球形部分每平方

12、米建造费用为 c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.,(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r.,l,r,r,r,r,【解析】(1)因为容器的体积为 立方米， 所以 解得l= 由于l2r, 因此0r2. 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4r2, 所以建造费用y= -8r2+4cr2,定义域为(0,2.,(2)因为y=- -16r+8cr = 由于c3,所以c-20, 所以令y0得: 令y0得:,当3 时，即 时，函数y在(0，2)上是先减后增的，故建造费用最小时,利润最大(成本最低)问题 【技法点拨】 1.经济生活中优化问题的

13、解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. 2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润=收入-成本； (2)利润=每件产品的利润销售件数.,【典例训练】 1.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)1 200 (万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为_件时，总利润最大.,2.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单 位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千

14、克 时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大.,【解析】1.设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2 ， 其中k为比例系数.因为当x100时，p50，所以k250 000， 所以 设总利润为y万元，则y 500 275x31 200.,求导数得， 令y0得x25. 故当x0； 当x25时，y0. 因此，当x25时，函数y取得极大值，也是最大值. 答案：25,2.(1)因为x5时，y11， 所以 1011，a2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 10(x6)2. 所以商场每日销售该

15、商品所获得的利润 f(x)(x3) 10(x6)2210(x3)(x6)2， 3x6.,从而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6). 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【想一想】解答题1的关键点与解答题2求导的技巧是什么？ 提示：(1)解答题1时，关键点在于根据已知条件得到反比例系数. (2)解答题2时，求f(x)的导数是关键，把函数f(x)的解析

16、式整理成x的多项式是正确求导的关键.,【变式训练】某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y与x的函数关系式； (2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.,【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1+x)，月平 均销售量为a(1-x2)件，则月平均利润y=a(1-x2)20(1+x)

17、- 15(元)，y与x的函数关系式为y=5a(1+4x-x2-4x3)(00； x1时,y0，,函数y=5a(1+4x-x2-4x3)(0x1)在x= 处取得最大值. 故改进工艺后，产品的销售价为20(1+ )=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.,【规范解答】利用导数解决生活中的优化问题 【典例】(12分)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为 (c为常数，且0c6).,已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元. (1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数； (2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率 100%),【解题

18、指导】,【规范解答】(1)当xc时，p ， y(1 )x3 x 0；2分 当0xc时，p ， y(1 )x3 x 4分,日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为 (c为常数，且0c6). 5分 (2)由(1)知，当xc时，日盈利额为0.6分 当0xc时， ,y ，8分 令y0，得x3或x9(舍去). 当00， y在区间(0，c上单调递增， y最大值f(c) 9分,当3c0，在(3，c)上,y0， y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减. y最大值f(3) .11分 综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最 大；若3c6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大. 12分,【

19、阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)某商场预计2012年1月份起前x个月，顾 客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(xN*,x12).该商品第x月的进货单 价q(x)(单位：元)与x的近似关系是,(1)写出2012年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式； (2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2012年哪个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？,【解题设问】(1)本题需要分类讨论吗？_

20、 (2)若需要，应把哪个变量作为分类的标准？x 分类的第一种情况是_；第二种情况是_.,需要,1x6,7x12,【规范答题】(1)当x=1时，f(1)=p(1)=37，2分 当2x12，且xN*时， f(x)=p(x)-p(x-1) = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x) =-3x2+40x，4分 验证x=1时也符合， f(x)=-3x2+40x(xN*，且1x12).6分,(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为 g(x)= (-3x2+40x)(35-2x)(xN*，且1x6)， (-3x2+40x) (xN*,且7x12)， 6x3-185x2+1 400x(xN

21、*，且1x6)， -480x+6 400(xN*,且7x12). 8分 当1x6，且xN*时，,即g(x)=,g(x)=18x2-370x+1 400，令g(x)=0， 解得x=5，x= (舍去). 当1x0，当5x6时，g(x)0， g(x)max=g(5)=3 125；10分 当7x12，且xN*时， g(x)=-480x+6 400是减函数， 当x=7时，g(x)max=g(7)=3 040，11分 综上，商场2012年5月份的月利润最大，最大利润为 3 125元.12分,1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加 热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x) x3x2 8

22、(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) (A)8 (B) (C)-1 (D)-8 【解析】选C.原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x (x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变 化率取得最小值1.,2.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，则应生产( ) (A)6千台 (B)7千台 (C)8千台 (D)9千台,【解析】选A.设利润为y(万元)，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6).令y0，解得x0或x

23、6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.故选A.,3.建一个面积为512平方米的矩形堆料场,为充分利用已有资源，可以利用原有的墙壁作为一边，其他三边需要砌新的墙壁.要使新砌墙壁所用的材料最省，则长为_米，宽为_米.,【解析】要求材料最省就是要求 新砌的墙壁总长度最短,如图所示, 设场地宽为x米,则长为 米, 因此新墙总长度L=2x+ (x0),则L=2 . 令L=0,得x=16.x0,x=16.经验证当x=16时, L极小值=Lmin=64,堆料场的长为 =32米,宽16米. 答案：32 16,4.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则当弯成圆的一段

24、铁丝长为_cm时，可使正方形与圆的面积的和最小.,【解析】设弯成圆的一段长为x cm，则另一段长为(100 x)cm，记正方形与圆的面积之和为S cm2，则S( )2 ( )2(0x100).S (100x)，令S0， 得x .由于在区间(0,100)内，函数只有一个导数为0 的点，故当x 时，面积之和最小. 答案：,5.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一 栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建 为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位： 元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为 多少层？ (注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购 地费用 ),【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则 f(x)(56048x) 56048x (x 10，xN*)， f(x)48 ， 令f(x)0得x15或x15(舍去)， 当x15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0，因此当x15时，f(x)取最小值，f(15)2 000. 故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.,