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1、19.9勾股定理上海市洪山中学 杨燕一、教学目标：1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理2.初步掌握勾股定理，能用勾股定理解决基本的有关证明或计算问题。3.经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想二、教学重点、难点1.探索和验证勾股定理2.在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理三、教学流程这节课，我们来继续研究直角三角形观察下图，并回答问题：（1）观察图1正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_个单位面积；正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_个单位面积；正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_个单位面积（2）在图2、图
2、3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1图2图3A，B，C的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的那么，（3）的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流生C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方根据A，B，C的面
3、积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？2做一做（1）观察图4，图5，并填写下表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图4图5你是怎样得到上面结果的？与同伴交流（2）三个正方形A，B，C的面积之间的关系？（让学生先独立思考，然后填写上面的表格最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法）A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）41692554913我们先来观察图4，
4、不难看出A，B分别含有16个小方格，9个小方格，所以A、B的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：第一种方法：将正方形C分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C的面积为4（34）+1=24+1=25个单位面积第二种方法：直接数正方形C中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形、和一个小方格，其中直角三角形、可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理、也可拼凑成12个小方格，所以正方形C中共有12+1
5、2+1=25个小方格即C的面积为25个单位面积第三种方法：可将直角三角形、沿正方形C的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C的面积就为（491）2+1=25个单位面积图5与图4同理我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C的面积=A的面积+B的面积正方形A，B，C的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方由图5我们也可得出同样的结论在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下例如，作一
6、个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？1作一个直角MCN；2以C为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM、CN于点A，B；3连结AB用刻度尺量出斜边AB的长度（强调注意测量的误差）为13厘米经检验斜边AB2=132=169，两直角边平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169即两直角边的平方和等于斜边的平方通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于
7、斜边的平方读一读：古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载我国是最早发现勾股定理的国家之一早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次
8、空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜但因此也引发了数学的第一次危机边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智例题巩固：例1.求边长为1 的等边三角形的面积已知：如图，在ABC中，AB=BC=CA=1. 求：试一试：例2在ABC中，C=90（1）若a=8，b=6，则c=_；（2）若c=20，b=12，则a=_；（3）若a：b=3：4，c=10，则a=_，b=_课堂小结先由学生自己总结，然后师生共同完成这节课我们主要研究：1从特例猜想出勾股定理；2用特例检验了勾股定理；3简单了解了勾股定理的历史，应用