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1、从平面几何的发展看现代数学,谈胜利 二零零四年十二月一日,欧几里得几何（ 公元前 300）,总结了公元前 7 世纪至 4 世纪希腊的几何成果。 研究对象： 直线 和 圆,解析几何（17 世纪初）,笛卡儿和费尔马引进了坐标后 几何问题 代数问题 研究对象： 直线 和 圆锥曲线,射影几何（17 世纪初）,研究对象： 直线 和 二次曲线 的射影性质,坐标几何,Pappus 定理 （公元 300 350）,Pascal 定理 （公元 1640）,Brianchon 定理 （ 1800s）,P,Q,R,P,Q,R,欧氏平面上的二次曲线,椭圆: 与无限远直线 L不相交的二次曲线 抛物线: 与 L 相切的二
2、次曲线 双曲线: 与 L 相交两个点的二次曲线 圆: 与 L 相交于下述两个固定虚点的二次曲线 1, i, 0, 1, -i, 0 平行线: 相交于无限远处的两直线,将P和Q的连线移至无穷远,将过P的切线线移至无穷远,关于圆的定理,A,B,C,b,c,a,三次曲线的研究,牛顿证明在坐标变换下三次曲线有标准方程:,y2=x3+ax2+bx+c,曲线的相交（17 世纪开始） 牛顿 1665 年断言：如果虚点包含在内，m 次曲线 和 n 次曲线有 mn 个交点. f(x,y)=0, g(x,y)=0. 消元法（我国数学家于12世纪发现，Bezout 和欧拉 于 1764 发现明显的算法）： r(x)
3、=f(x,y) u(x,y) + g(x,y) v(x,y). Bezout 定理：牛顿的断言正确。 完整的证明在十九世纪末才找到。,圆锥曲线的定理的推广 Chasles定理：设两三次曲线交9个点，如果第三条三次曲线过其中8个点，那么它一定过第九个点。 这是 Pappus 定理和 Pascal 定理的推广。 欧拉给克莱姆的一封信中提到过此结果。,Cayley-Bacharach定理：设两曲线Cm和Cn交mn个点， 如果第三条曲线Cm+n-3过其中mn-1个点，那么它 一定过剩下的点。 定理（2000）：设两曲线Cm和Cn交mn个点，如果第 三条曲线Cm+n-k过其中mn-(k-2)个点，那么它
4、一 定过剩下的k-2个点。 注意：推广到曲面上。高维时为猜想，等价于代数 几何中著名的Fujita猜想,圆锥曲线和三次曲线的差异,二次曲线可以用有理函数参数化，三次不行。 x=x(t), y=y(t),曲线的复图形不同：,直线和二次曲线的图形是球， 三次曲线的图形是环面。,复曲线的想法来自 Riemann (1851), 他将多项式方程 f(w,z)=0 中的w看成是z的多值函数 w=h(z), 复曲线的图形就是复 z-平面的多层覆盖所形成的Riemann面。这导致了现代数学中流形概念的产生。Riemann面的图形为：,图形中洞的个数g成为亏格,三次曲线又叫椭圆曲线 y2 = 4x3+ax+b
5、 因为它与椭圆积分有联系。椭圆积分大致上就是包含三次或四次多项式的平方根的积分，来自椭圆周长的计算。这种联系是由高斯、阿贝尔、Jacobi于1820年代发现，后来被 Riemann (1850年代）、Weierstrass (1863) 和 Poincare (1901) 进一步明朗化。 例：椭圆曲线可以由Weierstrass的 P函数参 数化。 x = P(u), y = P(u),椭圆曲线上的群结构（点之间可定义加法） P + 0 = P; P + V = 0; P + Q = Q + P; ( P + Q ) + R = P + ( Q + R ) .,椭圆曲线与现代数论,二次曲线上的
6、有理点（坐标为有理数的点）可用参数化的方法完全求出。 Mordell (1950): 椭圆曲线上的有理点组成一个有限生成的交换子群。即从有限个有理点出发，通过 +，- 运算可求出所有的有理点。 Faltings (1986): 亏格 g1 的曲线上最多只有有限个有理点。 费尔马大定理：不存在非零整数 a, b, c 使得 (n2) an + bn = cn,关于费尔马定理的证明,可归结为 n=p4 为素数的情形。设 a, b, c 是其解. G. Frey (1985) 构造了一条椭圆曲线 (Frey 曲线): y2 =x ( x + ap ) ( x bp ). 他证明此椭圆曲线不是“模曲线
7、” (即不能用“模函数” 参数化). Taniyama-Shimura猜测：任何椭圆曲线都是模曲线。 1995 年， Wiles (Taylor) 证明了上述猜测。,代数不变量的研究,十九世纪, 代数几何的一个很重要的研究内容就是 代数不变量理论。 f(x, y) = a0 xn + a1 x n-1 y + + an yn 判别式 D(a0, , an )、结式 R(f, g)、 不变量理论就是研究在坐标变换下“不变”的多项式。 D(a0, , an )=det()p D(a0, , an ),现代几何的研究,现代几何就是研究流形。 M = U1 U2 Un 我们希望通过那些在坐标变换下“不变”的几何量来 研究流形 M, 例如：微分形式。 实际上几何上的不变量都来自代数不变量。反之， 任何代数不变量也给出了几何上的一个不变量。,研究现状,几何上还有很多来自代数的不变量没有得到研究。 不变量理论 = 向量丛理论 Mumford (1960): 研究了部分代数不变量发现了几何现象“向量丛的稳定性”。 造成原因：代数不变量理论被人为地划分为代数的一个分支。,Weyl 的数学哲学,任何几何事实都来自不变量为零； 任何不变量都是张量的不变量。 后者来自有限对称群的表示（1900）。,祝博士生学术论坛 圆满成功 谢谢大家!,