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1、单自由度体系 建立振动方程,重 点：建立方程 难 点：达朗贝原理建立方程 柔度系数、刚度系数,单自由度体系的自由振动,自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。,自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,研究单自由度体系的自由振动重要性在于：,1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,自由振动反映了体系的固有动力特性。频率、周期、振型等,应用条件：微幅振动（线性微分方程）,1. 阻尼力,称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反,一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括: 材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 周围介
2、质对结构的阻尼（如，空气的阻力） 节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 通过基础散失的能量,一、刚度法建立振动方程：,考虑质点任意时刻的受力 平衡,阻尼器简介,应用实例,构造说明,2. 弹性恢复力,FE= - K y(t)，K为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反,3惯性力,FI= ，为质点运动加速度，惯性力与运动方向相反,4动力荷载,P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同,5振动方程的建立,例题1:,已知，阻尼系数为C,试建立体系的运动微分方程,解：1）动力自由度为1， 设E处的竖向位移是y(t),2)考虑EFG部分的受力,由MG=0 得：,3）考虑ABDE部分的受力,由MA=0
3、得,由以上两式消去R后整理得,m,yj,yd,质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd,k,力学模型,yd,m,m,W,I(t),重力： W,弹性力：,恒与位移反向,惯性力：,(a),其中 kyj=W 及,上式可以简化为,或,注意：振动方程中的 仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可认为 是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移,例题2 试建立图示结构的振动方程，质点的质量m , EI=常数,原理：任意时刻受力平衡,练习题1,解:振动形态,解:振动形态,建立振动方程，阻尼器的阻尼系数为C,练习题2,例题3-刚度法建立方程 试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是m , EI=常数,
4、质点受力： 1. 惯性力， 2. 刚架的弹性恢复力， 3. 动荷载。,1. 惯性力,负号表示方向向左,刚度法建立方程的依据： 质点在任意时刻受力平衡,2. 刚架的弹性恢复力ky,侧移刚度K: 质点单位侧移需施加的力,要求K, 就要取水平力的平衡,因而，就要确定2个柱的剪力，这就要作出结构在侧移为1 时的弯矩图。,支座水平移动单位位移下 引起的柱间剪力 = K/2,即，“支座移动”结构内力的计算问题,位移法方程：r11+ R = 0 ，解得,柔度法求 K,求刚架在P=1下产生的位移，再取倒数,3. 振动方程,先看一个问题:列出振动方程,质点位移由谁产生？,二、柔度法建立振动方程,例题4 : -柔
5、度法建立方程 EI =常数，质点质量为m,建立结构的振动方程,解：用柔度法建立方程的依据,质点位移 y(t)，由质点惯性力与动力荷载共同产生。,1. 求惯性力为1时质点的位移1,求位移的方法： 用位移法求位移 用变形体系虚功原理,与刚度法对应，弹性恢复力会产生位移吗？,用位移法求位移,R1P=0, R2P= -1 , r11=10 i , r21= r12= 3i/L r22=18i/L2,解位移法方程得：1=10L3/171EI,2. 求动力荷载为1时在质点处产生的位移2,用位移法,解位移法方程得：2= 37L3/1368EI,3. 质点惯性力与动力荷载共同产生的位移 y(t) 为：,能否用刚度法求解?,建立方程的依据： 时刻t 结构体系受力平衡,注意：动荷载不作用在质点上， 怎么考虑受力平衡？,考虑振动过程中,由动载及惯性力产生结点转角与位移， 用位移法的思想建立方程,R1P= -P(t)L/8 , R2P= - P(t)/2 +my/, r11=10 i , r21= r12= 3i/L，r22=18i/L2,当结点转角为，水平位移为y（t）时,练习题3,振动方程：,共同形式的振动方程：,杆长都是L,令 解出K1,