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1、第 十 二 章,弯 曲 变 形,单辉祖：材料力学,2,第 12 章 弯曲变形,本章主要研究： 弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计,单辉祖：材料力学,3,第 12 章 弯曲变形,1 引言 2 梁变形基本方程 3 计算梁位移的积分法 4 计算梁位移的叠加法 5 简单静不定梁 6 梁的刚度条件与合理设计,单辉祖：材料力学,4,1 引 言, 弯曲变形特点 挠度与转角,单辉祖：材料力学,5, 弯曲变形特点, 挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交,挠
2、曲轴, 变弯后的梁轴，称为挠曲轴,单辉祖：材料力学,6, 挠度与转角,转角,挠度,挠度与转角的关系,（小变形）,挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移,挠曲轴方程,转角横截面的角位移,转角方程,（忽略剪力影响）,（rad）,单辉祖：材料力学,7,2 梁变形基本方程, 挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程,单辉祖：材料力学,8, 挠曲轴微分方程,（纯弯）,（推广到非纯弯）, w弯矩引起的挠度 smax sp,挠曲轴微分方程,单辉祖：材料力学,9, 挠曲轴近似微分方程,小变形时：,挠曲轴近似微分方程, 小变形, 坐标轴 w 向上,应用条件：,坐标轴 w 向下时：,单辉祖：材料力学,10,3 计算梁位移
3、的积分法, 挠曲轴微分方程的积分与 边界条件 积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题,单辉祖：材料力学,11, 挠曲轴微分方程的积分与边界条件,约束处位移应满足的条件,梁段交接处位移应满足的条件,位移边界条件,位移连续条件,利用位移边界条件与连续条件确定积分常数,单辉祖：材料力学,12, 积分法求梁位移,qA =? EI = 常数, 建立挠曲轴近似微分方程并积分, 利用边界条件确定积分常数,由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得, 计算转角,（）,单辉祖：材料力学,13, 挠曲轴的绘制,绘制依据, 满足基本方程, 满足位移边界条件与连续条件,绘制方法与步骤, 画 M 图, 由位移边界条件确定
4、挠曲轴的空间位置, 由 M 图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的 凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状,单辉祖：材料力学,14, 例 题,例 3-1 用积分法求梁的最大挠度，EI =常数,解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分,AC段,CB段,单辉祖：材料力学,15,3. 最大挠度分析,（）,当 a b 时,位移边界条件：,位移连续条件：,2. 确定积分常数,发生在AC段,单辉祖：材料力学,16,例 3-2 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI = 常数,解：1. 建立挠曲轴近似微分方程,AB段:,CB段:,2. 边界条件与连续条件,位移边界条件：,位移连续条件：,单辉祖：材料力学,
5、17,F=qa,例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状,F=qa,单辉祖：材料力学,18,4 计算梁位移的叠加法, 叠加法 逐段分析求和法 例题,单辉祖：材料力学,19,当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和, 叠加法,方法,分解载荷,单辉祖：材料力学,20,理论依据,上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合,（小变形,比例极限内）,（小变形）,叠加法适用条件：小变形,，比例极限内,单辉祖：材料力学,21, 逐段分析求和法, 分解梁, 分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移, 求位移之和（代数或矢量和）,在分析某梁段的变形在需求位移处
6、引起的位移时，其余梁段视为刚体,单辉祖：材料力学,22, 例 题,例 4-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=?,解：,(),(),单辉祖：材料力学,23,例 4-2,(),(),解：,单辉祖：材料力学,24,例 4-3,解：,(),(),(),单辉祖：材料力学,25,例 4-4,解：,单辉祖：材料力学,26,5 简单静不定梁, 静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法 例题,单辉祖：材料力学,27, 静不定度与多余约束,多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束,多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩,静不定度 未知支反力（力偶）数有效平衡方程数,静不定度多余约束数
7、,4-3 = 1 度 静不定,5-3 = 2 度 静不定,单辉祖：材料力学,28, 简单静不定梁分析方法,选 FBy 为多余力,变形协调条件,物理方程,补充方程,平衡方程,一度静不定,算例,综合考虑三方面,求梁的支反力,单辉祖：材料力学,29, 判断梁的静不定度, 用多余力 代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统, 计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程, 由补充方程确定多余力,由平衡方程求其余支反力,相当系统, 通过相当系统计算内力、位移与应力等,依据综合考虑三方面,关键确定多余支反力,分析方法与步骤,相当系统,单辉祖：材料力学,30, 例 题,例
8、 5-1 求支反力,解：1. 问题分析,2. 解静不定,水平反力忽略不计,2多余未知力,单辉祖：材料力学,31,例 5-2 悬臂梁 AB，用短梁 DG 加固，试分析加固效果,解：1. 静不定分析,单辉祖：材料力学,32,2. 加固效果分析（刚度）,减少 50%,减少39.9%,3. 加固效果分析（强度）,单辉祖：材料力学,33,例 5-3 直径为d 的圆截面梁,支座 B 下沉 d，smax=?,解：,单辉祖：材料力学,34,6 梁的刚度条件与合理设计, 梁的刚度条件 梁的合理刚度设计 例题,单辉祖：材料力学,35, 梁的刚度条件,最大位移控制,指定截面的位移控制,例如滑动轴承处,单辉祖：材料力
9、学,36, 梁的合理刚度设计, 横截面形状的合理选择, 材料的合理选择,使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩 I 的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面,影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选用E 较高的材料,注意：各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同,单辉祖：材料力学,37, 梁跨度的合理选取,跨度微小改变，将导致挠度显著改变,例如 l 缩短 20，dmax 将减少 48.8%,单辉祖：材料力学,38, 合理安排约束与加载方式,增加约束，制作成静不定梁,单辉祖：材料力学,39, 例题,例 6-1 已知 F = 35 kN，l = 4 m，s = 160 MPa ，d = l /500，E = 200 GPa，试选择工字钢型号。,解：,单辉祖：材料力学,40,谢谢 ！,