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1、第七章 空间问题的基本理论,第七章 空间问题的基本理论,概述 7-1 平衡微分方程 7-2 物体内一点的应力状态 7-3 主应力 最大与最小主应力 7-4 几何方程与物理方程 7-5 轴对称问题的基本方程,概述,弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型，为求解弹性力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经有了广泛的应用，更为重要的是这些方程的建立为有限元、边界元等数值计算提供了基础。 弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下，对问题进行简化，化简方程再进行求解，简化后一般可分为平面问题，轴对称问题、球对称问题。,空间问题的解析解一般只能在特殊边界条
2、件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。,一、球对称问题,，,，,，,，,，,，,当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。,球对称问题,概述,在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数。,概述,如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。,在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标
3、、Z的函数，与无关 。,二、轴对称问题,，,，,，,，,，,，,71 平衡微分方程,71 平衡微分方程,图71,由受力平衡,平衡微分方程,71 平衡微分方程,由力矩平衡,切应力互等,二维,三维,7-2 物体内一点的应力状态,72 物体内一点的应力状态,方向余弦：,（7-2）,受力平衡，得到全应力分量,斜面上的正应力和切应力,（7-3）,（7-4）,方向余弦：,72 物体内一点的应力状态,如果ABC是边界面， 成为面力分量,空间问题的应力边界条件,（7-5）,（在 上）,7-3 主应力，最大与最小应力,设主应力与全应力分量的关系：,73 主应力最大与最小应力,代入（7-2）式：,整理,由于,所以
4、， 不全为零,73 主应力最大与最小应力,（7-6）,（76）即为求主应力公式,与（7-6）式比较，则：,上式为应力状态的三个不变量,（77）,当求得主应力以后，利用下式求主方向,将二式除以,（c）,73 主应力最大与最小应力,同样也可以求出其他主应力的方向余弦。,73 主应力最大与最小应力,7-4 几何方程及物理方程,（78）,74 几何方程及物理方程,空间问题的几何方程,或写称这种形式,空间问题的位移边界条件,（79）,74 几何方程及物理方程,物理方程,（712）,其中：,74 几何方程及物理方程,体积应变：单位体积的体积改变,对于一个平行六面体微元,略去高阶小量,体积应变,用位移表示的
5、体积应变,74 几何方程及物理方程,体积应力,把物理方程（712）的前三项相加,（713）,其中 称为体积模量,74 几何方程及物理方程,物理方程的另外一种表达形式,其中：,（714）,74 几何方程及物理方程,小结：,对于空间问题，们有15个未知函数：6个应力分量，6个应变分量3个位移分量。15个未知函数在弹性体区域内应该满足15个独立的基本方程：3个平衡微分方程，6个几何方程，6个物理方程，此外还要满足位移边界条件和应力边界条件。,75 轴对称问题的基本方程,75 轴对称问题的基本方程,轴对称问题：,在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过这
6、个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。,在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数，与 无关 。,位移分量：,应力分量：,应变分量：,75 轴对称问题的基本方程,问题描述：,图741,如图741，在圆柱（圆筒或半空间）取出一个微元PABC 建立如图所示的坐标系（直角坐标和柱坐标）,75 轴对称问题的基本方程,分析 面上的应力情况，如图742和743所示,由 得,图742,图743,75 轴对称问题的基本方程,化简，并略去微量：,将六面体的受力投影到z轴上得到另外一个平衡方程,化简，并略去微量：,75 轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题的平衡微分方程,（715）,75 轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题的几何方程,通过24和 42中同样的分析，,由径向位移 引起的变形,由轴向位移 引起的变形,将两组应变叠加，得到空间轴对称问题的几何方程,（716）,75 轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题的物理方程（胡克定律）,（717）,75 轴对称问题的基本方程,将前3式相加,其中：体积应变,体积应力,物理方程的另外一种表示形式,（720）,（719）,（718）,没有作业,