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1、4.4 导数的应用（1）,一、函数的单调性,证,应用拉氏定理,得,1。单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,3。定理中的有限区间换成无限区间，结论仍然成立.,6。利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,4。导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,5。区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,2。函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,二、函数的极值及其求法,按此定义，函数的极值点一定是区间的内点。从而区间的端点不可能
2、成为函数的极值点。,极值和极值点,定理1(必要条件),注意:,例如,定理2(第一充分条件),求极值的步骤:,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,定理3(第二充分条件),三、最大值最小值问题,只要函数f(x)在闭区间a,b上连续，它在a,b上必有最大值和最小值。,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例6 铁路线上AB段的距离为100km工厂C距A处为20km，AC垂直于AB为
3、了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3：5为了使货物从供应站月运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处?,例7 横截面为矩形的梁，它的强度与矩形的宽及高的平方的乘积成正比。现在要把直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁若要使梁有最大的强度，问矩形的高和宽之比应是多少?,1.最大利润问题,四、经济应用问题举例,显然，为使总利润达到最大，还应有,解：,解：,解,2. 最大收益问题,解：,解,解,解：,4. 最大税收问题：,可见最大税收问题仍为一元函数的最值问题.,解：,5. 其他方面的应用：,解,解,依题意可知：酒的酿造成本已经结转，又假设 不需支出存储费，所以使利润最大与使销售 收入V最大是一样的.,解：,思考与练习,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性,2. 设,(A) 不可导 ;,(B) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(D) 取得极小值 .,D,提示: 利用极限的保号性 .,3. 设,是方程,的一个解,若,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,试求,解:,4.,故所求最大值为,第六节,