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1、导数的应用,导数的应用举例 1,解: (1)由已知 f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于 f(x) 在 -1, 2 上的最大值小于 m.,f(2)=7,f(x) 在 -1, 2 上的最大值为 7.,7m.,故实数 m 的取值范围是 (7, +).,导数的应用举例 2,解: (1)函数 f(x) 的定义域为 (-1, +).,当 a0, f(x) 在 (-1, +) 上为增函数;,当 a0 时, 令 f(x)0 得 -1x4a2-1;,令 f(x)0 得 x4a2-1.,当 a0 时, f(x) 在 (-1, 4a2-1) 上为减函数,在 (4a2-1, +) 上为增函数.,综上所述, 当
2、 a0 时, f(x) 的单调递增区间为 (-1, +);,当 a0 时, f(x) 的单调递减区间为 (-1, 4a2-1),单调递增区间为 (4a2-1, +).,导数的应用举例 2,由(1)知 g(x) 在 (-1, 3) 上为减函数,=2-ln40.,g(x)g(3)0.,在 (3, +) 上为增函数,导数的应用举例 3,解: (1)由已知 f(x)=-x2+4ax-3a2,0a1, a3a.,令 f(x)=0 得 x=a 或 x=3a.,当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:,由上表可知, f(x) 的单调递增区间是 (a, 3a), 单调递减区间是(-, a)
3、和 (3a, +).,当 x=a 时, f(x) 取极小值 f(a),当 x=3a 时, f(x) 取极大值 f(3a)=b.,导数的应用举例 3,解: (2)0a1, 2aa+1.,f(x)max=f(a+1)=2a-1,f(x)=-x2+4ax-3a2 在 a+1, a+2 上为减函数.,f(x)min=f(a+2)=4a-4.,当 xa+1, a+2 时, 恒有 |f(x)|a, 即,-af(x)a 恒成立.,4a-4-a 且 2a-1a.,又 0a1,故 a 的取值范围是,已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值, 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(-1,
4、 2). 若曲线 f(x) 在点 P 处的切线与直线 y=2x的夹角为45, 且倾角为钝角. (1)求 f(x) 的解析式; (2)若 f(x) 在区间 2m-1, m+1 递增, 求 m 的取值范围.,导数的应用举例 4,解: (1)曲线 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 过原点, f(0)=0d=0.,f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.,函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=0 处取得极值,f(0)=0c=0.,过点 P(-1, 2) 的切线斜率为 f(-1)=3a-2b, 而曲线 f(x)在 点 P 的切线与直线 y=2x 的夹角为45, 且倾
5、角为钝角,解得 f(-1)=-3.,又 f(-1)=2,3a-2b=-3 且 -a+b=2.,解得 a=1, b=3.,f(x)=x3+3x2.,已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值, 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(-1, 2). 若曲线 f(x) 在点 P 处的切线与直线 y=2x的夹角为45, 且倾角为钝角. (1)求 f(x) 的解析式; (2)若 f(x) 在区间 2m-1, m+1 递增, 求 m 的取值范围.,导数的应用举例 4,解: (2)由(1)知 f(x)=3x2+6x.,又由 f(x)0x0,f(x) 的单调递增区间为 (-, -2 和
6、 0, +).,函数 f(x) 在区间 2m-1, m+1 递增,2m-12m-10.,2m-1, m+1 (-, -2 或 2m-1, m+1 0, +).,导数的应用举例 5,解: (1)由已知 f(x)=3x2-2ax-3.,f(x) 在区间 1, +) 上是增函数,在 1, +) 上恒有 f(x)0,即 3x2-2ax-30 在 1, +) 上恒成立.,解得 a0.,故实数 a 的取值范围是 (-, 0.,由于 f(0)=-30,f(x)=3x2-8x-3.,在 1, 4 上, 当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:,f(x) 在 1, 4 上的最大值是 f(1)=
7、-6.,(3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点,即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有三个不等实根.,解得 a=4.,x=0 是方程一个的根,方程 x2-4x-3=b 即 x2-4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根.,=16+4(3+b)0 且 3+b0.,解得 b-7 且 b-3.,故实数 b 的取值范围是 (-7, -3)(-3, +).,已知函数 f(x)=x2eax, 其中 a0, e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x) 的单调性; (2)求函数 f(x) 在区间 0, 1 上的最大值.,导数的应用举例 6,解: (1)f(x)=x2eax,f(x)=2x
8、eax+x2eaxa,=(ax2+2x)eax.,a0, 对函数 f(x) 的单调性可讨论如下:,当 a=0 时, 由 f(x)0 得 x0.,f(x) 在 (-, 0) 上单调递减, 在 (0, +) 上单调递增;,已知函数 f(x)=x2eax, 其中 a0, e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x) 的单调性; (2)求函数 f(x) 在区间 0, 1 上的最大值.,导数的应用举例 6,解: (2)由(1)知当 a=0 时, f(x) 在区间 0, 1 上为增函数;,当 a=0 时, f(x) 在区间 0, 1 上的最大值为 f(1)=1;,当 -2a0 时, f(x) 在区间
9、0, 1 上为增函数;,当 a-2 时, f(x) 在区间 0, 1 上的最大值为:,当 a-2 时, f(x) 在区间 0, 1 上先增后减,当 -2a0 时, f(x) 在区间 0, 1 上的最大值为 f(1)=ea;,导数的应用举例 7,证: (1)xe2,当 x1 时, g(x)0,g(x) 在 (1, +) 上为增函数.,又 g(x) 在 x=1 处连续,f(x)=lnx2.,只要证明 x(2-lnx)2+lnx,g(x)g(1)=0.,导数的应用举例 7,证: (2)由(1)知对任意的 x(1, +),h(x) 在 (1, +) 上为减函数.,0,h(x)h(1)=0.,对任意的
10、x(1, +), 都有,导数的应用举例 8,1mxn2,x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,导数的应用举例 8,1mn2, xm, n),2,导数的应用举例 8,对任意的 x1, x2m, n), 有,导数的应用举例 9,解: (1)设平均成本为 y(元),当且仅当 x=1000 时取等号.,故要使平均成本最低, 应生产 1000 件产品.,令 L=0 得 x=6000,当 x0;,当 x6000 时, L0,当 x=6000 时, L 取得最大值.,故要使利润最大, 应生产 6000 件产品.,导数的应用举例 10,解: 设每月生产 x 吨的利润为 y 元, 则 x0, 且,x=200(
11、-200舍去).,在 0, +) 上只有一个点 x=200 使 y=0,它就是最大值点, 且最大值为,=3150000(元).,故每月生产 200 吨产品时利润最大, 最大利润是 315 万元.,导数的应用举例 11,若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格): (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数, 并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元), 在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入, 应向乙方要求的赔付价格最大是多少?,解: (1)赔付价格为 s 元/
12、吨,乙方实际年利润,另解: 赔付价格为 s 元/吨,乙方实际年利润,当 t0;,当 tt0 时, w0,当 t=t0 时, w 取得最大值.,(2设甲方净收入为 v 元, 则 v=st-0.002t2,令 v=0 得 s=20.,当 s0;,当 s20 时, v0,当 s=20 时, v 取得最大值.,故甲方应向乙方要求的赔付价格为 20 元/吨.,某地政府为科技兴市, 欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.,导数的应用举例 12,已知 ABBC, OA/BC, 且 AB=BC=2AO=4 km, 曲线段 OC 是以O为 顶点且开口向右的抛物线的一段.,如果要使矩形 的相邻两边分别落在 AB、BC 上, 且一个顶点落 在曲线段 OC 上, 问应如何规划才能使矩形工业 园区的用地面积最大? 并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2).,解: 以 O 为原点, OA 所在直线为 y 轴, 建立 直角坐标系, 如图所示.,依题意可设抛物线方程为 y2=2px(p0), 且C(4, 2).,22=2p42p=1.,曲线段 OC 的方程为 y2=x(0x4, y0).,9.5.,当 x=0 时, S=89.5,Smax9.5(km2).,最大面积约为 9.5 km2.,