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1、此幻灯片可在网址 http:/ 上下载,第二十二讲 复习,概率论与数理统计讲义,(1)求导公式,复合函数求导法则：设u=j(x)在x是可导，y=f(u)在对应点u=j(x)处可导，则复合函数y=f(j(x)处可导，且,概率论中用到导数的地方： 1,连续随机变量X的分布函数F(x)与概率密度函数f(x)有关系：,2,在求解最大似然估计时，要求似然函数L(q)的最大值，需要求L对参数q的导数或者偏导.,基本积分公式,(3) 分部积分法：设u(x),v(x)在a,b上有连续的导数，则,概率论中用到积分的地方：如果随机变量X的概率密度函数为f(x), 则它的分布函数为,而X落在区间a,b或a,b)或(
2、a,b或(a,b)的概率为,还有,还有,习题4-1 6. 设随机变量X的分布函数 求E(X), D(X). 解: 首先求出X的概率密度函数,则,计算E(X2),二重积分计算法 1.若D为矩形区域R：axb,cyd, 则,2. 若区域D是由两条直线x=a,x=b及两条曲线y=j1(x),y=j2(x)j1(x)j2(x),axb所围成，则,若区域D是由两条直线y=c,y=d及两条曲线x=y1(y),x=y2(y)y1(y)y2(y),cyd所围成，则,经常遇到的题就是j1(x),j2(x)中有一个是常数, 另一个是直线函数, 经常遇到的概率论中的例子如下面一些图形表示:,二重积分在概率论中的用处
3、： 假设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y), 则(X,Y)落在任何区域里的概率为,此外还有,习题4-3 3. 设二维随机变量(X,Y)在由x轴, y轴及直线x+y-2=0所围成的区域G上服从均匀分布, 求X与Y的相关系数rXY. 解 如图所示, G的面积为2, 所以概率密度函数在此区域内取常数1/2, 即,由x轴, y轴及直线x+y-2=0所围成的区域G, 因此可以确定积分限, 这是最重要的!,y=2-x,x,y,O,则,最后得,样本均值和样本方差的计算,样本方差的简便算法:,一些科学型计算器可以统计样本均值和样本标准差.,第一步:先按这两个键进入stat状态,第二步:然后每按一个
4、数就按DATA键,第三步:然后按x和S键可查看样本均值和样本标准差,第一步:按MODE,2键进入SD状态,并按shift,CLR,1,=键清零,第二步:每按一个数字后按DT键,第三步:按shift,2,1,=键得样本均值, 按shift,2,3,=键得样本标准差,各种科学型计算器计算样本标准差和样本均值的操作办法各不相同, 可在百度上将计算器的型号输入查找, 就可以找到网上的说明书, 主要是背诵并练习几次快速计算样本标准差和样本均值的技术, 这样考试的时候可以节省计算的时间. 尤其要注意当计算样本标准差的时候, 有的计算器是有除以n和除以n-1两种的, 我们需要计算的是后者.,最大似然估计法
5、对离散型总体, 似然函数为,对连续型总体, 似然函数为,求使lnL(q)最大的q值就是q的最大似然估计.,对数的性质: 如果a=eb, 则ln a = b ln ab = ln a + ln b ln ab = b ln a,最大似然估计法的一个经验之谈: 写出似然函数后不要先整理再取对数再求导再令导数等于零, 而是写出似然函数后先取对数再求导再令导数等于零这个时候再整理.,例如, 第156页书上例5, 假设总体的分布为参数是l的指数分布, 要求对l的最大似然估计, 则总体的概率密度为 因此似然函数为 这个时候书上的标准例子经常就进一步写成: 我把这一步叫整理并认为是没有必要做的.,建议的做法
6、, 在得到 之后, 不整理立即就取对数得 不需要进一步整理, 而是立即求lnL的导数,然后令此导数等于0, 给出似然方程并整理: 最后得到,习题7-1 5. 设总体X具有概率密度 (1) 求q的矩估计, (2) 求q的极大似然估计. 解: (1) 总体一阶原点矩为,令它等于一阶样本原点矩A1, 得方程,(2) 求q的极大似然估计. 似然函数 不整理直接取对数得,求导得 令它等于0得似然方程 解得,无偏估计： 有效性 设 和 是q的两个无偏估计量, 如果 则称 较 有效.,单正态总体的抽样分布,常用统计分布 设X1,X2,Xn是取自总体N(0,1)的样本, 则称统计量,服从自由度为n的c2分布,
7、 记为c2c2(n). E(c2)=n, D(c2)=2n.,设XN(0,1), Yc2(n), 且X与Y相互独立, 则称,服从自由度为n的t分布, 记为tt(n).,设Xc2(m), Yc2(n), 且X与Y相互独立, 则称,服从自由度为(m,n)的F分布, 记为FF(m,n), 性质, 若Xt(n), 则X2F(1,n); 若FF(m,n)则,对单正态总体XN(m,s2)作对均值的区间估计的公式(显著性水平a): 当s2已知时: 当s2未知时:,单正态总体的假设检验(XN(m,s2),检验假设H0:m=m0,H1:mm0 , 如s2未知, 接受域:,如s2已知, 则接受域为:,数学期望(均
8、值) 离散型:,连续型:,随机变量函数的数学期望(设Y=g(X) 离散型:,连续型:,二维随机变量函数的数学期望 离散型:,连续型:,数学期望的性质 E(C)=C; E(CX)=CE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) 如X,Y独立, E(XY)=E(X)E(Y),方差 D(X)=EX-E(X)2=E(X2)-E(X)2 协方差 cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 相关系数,性质: cov(X,Y)=0称为X,Y不相关. 独立一定不相关,不相关不一定独立. D(C)=0; D(CX)=C2D(X); D(XY)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y)
9、; 特别, 当X与Y独立或者不相关, 必有 D(XY)=D(X)+D(Y) cov(X,X)=D(X); cov(X,Y)=cov(Y,X); cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(C,X)=0; cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); |rXY|1,切比雪夫不等式,n维正态分布的几个重要性质 1. n维正态变量的每一个分量都是正态变量; 如果有n个变量都是正态变量且相互独立, 则它们是n维正态变量. 2. n维正态变量的任意线性组合均服从一维正态分布. 3. n维正态变量线性变换为k维变量,则这k维变量服从k维正态分布. 4. n维正态变量两两不相关
10、等价于它们两两独立.,随机变量的分布函数 X是一个随机变量, 称 F(x)=PXx (-x+) 为X的分布函数, 有时记作XF(x)或FX(x). 性质: 单调非减, F(-)=0, F(+)=1, 右连续.,离散型随机变量的分布率 设离散型随机变量X的所有可能取值为xi(i=1,2,), PX=xi)=pi, i=1,2, 称为X的概率分布或分布密度, 也称概率函数. 常用表格形式来表示X的概率分布:,连续型随机变量及其概率密度 如果对随机变量X的分布函数F(x), 存在非负可积函数f(x), 使得对于任意实数x有,称X为连续型随机变量, 称f(x)为X的概率密度函数, 简称为概率密度或密度
11、函数.,当一个题目给定一连续型随机变量X的分布函数F(x), 却要求随机变量的数学期望时, 需要先对F(x)求导以得到概率密度函数 f(x)=F (x),连续型随机变量函数的分布 设已知X的分布函数FX(x)或概率密度函数fX(x), 则Y=g(X)的分布函数可按下面办法求得: FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXCy. 其中 Cy=x|g(x)y 而,进而可通过Y的分布函数FY(y), 求出Y的密度函数.,尤其是, 设随机变量X具有概率密度fX(x), 在区间a,b外恒等于0, (a可以是-,b可以是+), 假设函数y=g(x)在a,b上恒有g(x)0或恒有g(x)0, 则Y=g(X)的概
12、率密度为,其中h(y)是g(x)的反函数, a=ming(a),g(b), b=maxg(a),g(b).,边缘概率密度 当连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)时, X和Y的边缘概率密度为 当X,Y相互独立时, f(x,y)=fX(x)fY(y),若(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则Z=X+Y的概率密度为,设X1,X2,Xn是相互独立的随机变量, 且具有相同的分布函数F(x)时, M=max(X1,X2,Xn)及N=min(X1,Xn)的分布函数为 Fmax(z)=F(z)n Fmin(z)=1-1-F(z)n,如事件A与事件B互不相容, P(A+B)=P(A)+P(B) 乘
13、法法则 P(AB)=P(A)P(B|A) 如A与B独立 P(AB)=P(A)P(B) 一般的加法法则, 对任何事件A,B P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 这四个事件中知道三个, 就能够算出另一个.,还需要记住,在证明题中常用的不等式: 如AB, 则P(A)P(B), 例如P(A)P(AB) P(A)0, P(A)1, P(A)+P(B)P(AB) 要记住条件概率的定义,由概率的关系通常推导不出事件的关系 如A=, 必有P(A)=1, 如P(A)=1, 未必A=, 如A=, 必有P(A)=0, 如P(A)=0, 未必A=, 如AB, 必有P(AB)=P(B), 如P(AB)=P(B
14、), 未必AB. 但是如果P(AB)=P(A)P(B), 则A,B独立.,全概率公式 定理1 设A1,A2,An,是一个完备事件组, 且P(Ai)0, i=1,2, 则对任一事件B, 有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An)+ 特别地, 对事件A及它的逆组成的完备事件组, 有,定理2 设A1,A2,An,是一完备事件组, 则对任一事件B, P(B)0, 有,上述公式称为贝叶斯公式.,对一个事件A和它的逆组成的完备事件组,贝叶斯公式的形式是,重要的复习题: 第27页习题1-3 12. 13. 14. 第37页总习题 19. 第61页 习题2-5 3. 4. 5. 第75页 习题3-3 5.(1) 第86页 习题3-5 3. 第100页 习题4-1 6. 第110页 习题4-2 14. 第113页 习题4-3 3. 5. 还有数理统计所有出过的作业, 有关查表的题目不用做.,