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1、1,数学建模实 验,王汝军 河西学院数学与统计学院,,2,实验七 生产计划中的产量问题,王汝军 河西学院数学与统计学院,,实验目的,1介绍无约束最优化方法的一些基本概 2了解几种常见的无约束优化问题的求解方法，如迭代算法、最速下降法（梯度法）、牛顿法（Newton）、拟牛顿法。 3学习掌握用MATLAB优化工具箱中的命令来求解无约束优化问题。,3,实验内容,某公司生产一种产品有甲、乙两个品牌，试讨论产销平衡下的最大利润。所谓产销平衡指公司的产量等于市场上的销量。利润既取决于销量和单件价格，也依赖于产量和单件成本。 按照市场规律，甲种品牌的价格 固然会随其销量 的增长而降低；同时乙品牌销量 的增
2、长也会使甲的价格有稍微下降，根据实际情况，可以确定价格与销量成线性关系，即 乙的价格 遵循同样的规律，有,4,实验内容,甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按实际情况可假设为负指数关系，即有 乙品牌的成本 遵循同样的规律，有 试确定甲、乙两种品牌的产量，使公司获得的总利润最大。,5,实验准备,1无约束最优化 无约束最优化方法是指在没有约束条件限制下，求多变量实值函数极值的方法。无约束最优化问题的数学表达式为 一般f为非线性函数， x是n维实变量，实际上这是一个多元函数无条件极值问题。 由于一个求极大值问题，可以添加负号的方式转化为求极小值问题，因此通常只讨论求极小值问题。 应该注意的是，极值
3、问题的解，即极值点，都是局部最优解，全局最优解只能从局部最优解的比较中得到。,6,实验准备1,如何求解无约束最优化问题的最优解呢？一般是采用迭代方法，即先选择一个初始点，再寻找该点处的下降方向，我们称为搜索方向。在该方向上求极小点，得到一个新的点。这个新的点要优于原来的点，即新点处的目标函数值小于原来点处的目标函数值。然后在新点处再寻找下降方向和该方向上求极小点，如此下去，最终得到最优点。 因此，求解无约束最优化问题需解决两个问题：一是在某些方向上的一维极小点，我们也称为一维搜索；另一个是寻找某些点处的下降方向，这是无约束最优化方法中最重要的一个问题。我们先了解第一个问题最常用的搜索方法。,7
4、,实验准备1,2求一维极小的二点二次插值方法 设 是点 处的一个搜索方向，要在该方向上寻优问题，转化为求一维函数 的求极值问题。 最常用的一维搜索方法是插值法，即用某些点的函数值（或导数值）构造插值函数，用插值函数的极小点来近似函数 的极小点。 这里介绍一种有效的插值方法，称为二点二次插值方法，即用二点处的函数值和一个点处的导数值构造二次函数，反复用二次函数的极小点来逼近函数 的极小点。,8,实验准备1,9,实验准备1,3最速下降法 前面介绍了一维搜索的二点二次插值方法，下面讨论如何选择搜索方向的问题，我们先来看看两个概念。 定义1 称n维向量 为函数 在 处的梯度，记为 定义2 设d是任意的
5、单位向量，若极限 存在，则称该极限为函数 在 处沿方向d的一阶方向导数，简称为方向导数，记为 ，,10,实验准备1,最速下降法的基本思想：选取一点 作为初始点，计算该点的梯度 ，求该点处的最速下降方向，即令 ，再沿 方向前进，寻找该方向上的极小点，得到点 ，再计算 ，令 ，沿 方向前进，得到点 ，如此下去具体算法如下,11,实验准备1,12,实验准备1,在算法中， 为精度要求，即当梯度接近于0时，我们就认为达到极小点，终止计算。这样做的目的是避免算法产生死循环，算法中的一维搜索可用算法1来求解。 最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位。其优点是工作量小，存储变量较少，初始点
6、要求不高； 缺点是收敛慢，效率不高，有时达不到最优解。 下面介绍一种简单而直观的方法Newton法。,13,实验准备1,14,实验准备1,15,实验准备2,16,x = fmin( fun , x1 , x2 ) 求一元函数y = f( x )在 x1 , x2 内的极小值 x = fmin( fun , x1 , x2 , options ) 同上，参数options的定义由表1给出 x , options = fmin( . ) 同上，同时返回参数options的值 fmin函数采用黄金分割法和抛物线插值法，fun可直接用函数表达式表示，也可以是用M文件定义的函数名。,实验准备2,17,x
7、 = fmins( fun , x0 , options ) 求多元函数以x0为迭代初值的局部极小值，参数options的定义由表1给出 x , options = fmins( . ) 同上，同时返回参数options的值 fmins函数采用NelderMeade单纯形搜索法，fun可直接用函数表达式表示，也可以是用M文件定义的函数名。 x = fminu( fun , x0 ) 求多元函数以x0为迭代初值的局部极小值 x = fminu( fun , x0 , options ) 同上，参数options的定义由表1给出 x , options = fminu( fun , x0 , .
8、) 同上，同时返回参数options的值 fminu函数为无约束优化提供了三种算法，由options（6）控制，为步长一维搜索提供了二种算法，由options（7）控制。这里，fminu必须先用M文件定义函数fun。,实验准备2,18,fminbnd替代fmin求解一元函数极值，使用格式、搜索算法与之相同， x , Fval = fminbnd( fun , x0 ,. )同时返回解x处的函数值，而不是参数options的返回值 fminsearch替代fmins求解多元函数（1）极值，使用格式、搜索算法与之相同 fminunc替代fminu求解多元函数（1）极值，使用格式、搜索算法与之相同
9、有关上述命令的详细信息和使用方式可在帮助文件中了解，或在命令框里输入help “命令名”查阅。在MATLAB5.3以上的各种最新版本中fmin、fmins和fminu命令仍然有用，但在MATLAB的未来版本将可能删除这些命令。,实验准备2,（3）命令中参数options的有关定义 在大多数MATLAB优化命令函数中有一个控制参数options，它是一个有18个分量的向量，包含了在优化程序中要用到的参数，以便在计算最优值时控制精度要求、输出形式、搜索算法、迭代次数、步长等等是。在对优化命令函数的第一次调用时，向量options会自动使用缺省值；当然在调用前，可以对options的某些分量进行赋值，以达到控制要求。,19,实验准备2,20,实验准备2,21,命令使用,1MATLAB优化工具箱中解无约束问题的命令和参数options的基本用法,22,23,24,问题分析及模型建立,25,问题求解,26,问题求解,x = 35.8482 54.7380 fval = -1.0015e+004 甲种品牌产量为35.8482，乙种品牌产量为54.7380，最大利润和为1.0015e+004。 用fminu可得到同样结果，同时根据参数options可观察到函数采用拟牛顿的DFP公式并迭代计算了20次。,27,思考与练习,28,