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1、21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,吴治艳,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：,x=,(b2-4ac 0),算一算,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(3) 2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-2,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2=,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对
2、方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,一元二次方程根与系数关系的证明：,X1+x2=,+,=,=,X1x2=,=,=,=,如果方程x2+px+q=0的两根是 x1 ，x2，那么x1+x2= , x1x2=,P,q,推论,解：
3、,我能行1,原方程可化为：,二次项不是1，可以先把它化为1,原方程可化为：,想一想，还有其他方法吗？,还可以把 代入方程的两边，求出,解：,又,我能行2,解：,我能行3,所求的方程是：,解：,我能行4,即：,或：,（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？,知识在于积累,开启 智慧,知识在于积累,（4）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：,；,根与系数关系小结,1、已知方程的一个根求另一个根及未知数,（也可以用根的定义求解）,对于一元二次方程 的两根,2、求关于两根的代数式的值,如:两根的平方和、两根的倒数和等,3、以x1、x2 为根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,
4、拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去。, k=0,