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1、重庆城市管理职业学院 信息工程系,数学建模 第四讲 案例分析 雨量分析、公平分配席位 主讲 李华平,一 雨中行走问题,一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。,1 问题分析 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度
2、最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度,2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。,3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。,2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。,3 模型建立与求解,1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。,淋雨的面积,雨中行走的时间,降雨强度,模型中,结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。,从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知
3、你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。,原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。,2）考虑降雨方向。,人前进的方向,若记雨滴下落速度为 （米/秒）,雨滴的密度为,雨滴下落的反方向,表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。,所以，,因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。,顶部的淋雨量,前表面淋雨量,总淋雨量（基本模型）,可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。,情
4、形1,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形2,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形3,此时，雨滴将从后面向你身上落下。,出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。,当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即,这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是,淋雨总量为,再次代如数据，得,结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。,若雨滴是以 的
5、角度落下，即雨滴以 的角 从背后落下，你应该以,此时，淋雨总量为,这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。,当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即,你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是,淋雨总量为,4 结论,若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。 5 注意 关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。 雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。,二 席位分配问题,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代
6、表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题的提出,20个席位的分配结果,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）,为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,11,7,3,现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,2
7、问题分析,目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,一般地，,当,席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,C,D的不公平程度大为改善！,2） 相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”,对A 的相对不公 平值；,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,对B 的相对不公 平值；,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,3 建立模
8、型,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不失一般性，,有下面三种情形。,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单 位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,则这一席位给A 单位，否则给B 单位。,结论：当（1）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。,记,则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。,这样的分配席位的方法称为Q值方法
9、。,若A、B两方已占有席位数为,4 模型分析、推广 有m 方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大的一方。从,开始，即每方,至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）,5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,练习,学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用如下方法分配各宿舍
10、的委员（1）惯例分配方法（按比例分配名额后，剩下的名额按惯例分给小数较大者） (2)Q值方法，并与(1)比较结果。 (3)当委员数从10人增加到15人，重新做上两小题。 介绍(dHondt方法),dHondt方法,有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,假设,热量传播只有传导，没有对流,T1,T2不变，热传导过程处于稳态,材料均匀，热传导系数
11、为常数,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差, d材料厚度, k热传导系数,三、双层玻璃窗的功效,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，,取k1/k2 =16,建模,模型应用,取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。,结果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,