2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全04导数及其应用.doc

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1、同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 20092009 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （0404 导数及其应用）导数及其应用） 一、选择题：一、选择题： 1.（2009 安徽文、理）安徽文、理）设b,函数的图像可能是（ C ）a 2 () ()yxaxb 高.考.资.源.网 1. 解析：，由得，当时，取极大值 / ()(32)yxaxab / 0y 2 , 3 ab xa x xay 0，当时取极小值且极小值为负。故选 C。 2 3 ab x y

2、 或当时，当时，选 Cxb0y xb0y 2.（2009 安徽理）安徽理）已知函数在 R 上满足，则曲线在( )f x 2 ( )2 (2)88f xfxxx( )yf x 点处的切线方程是高.考.资.源.网(1,(1)f （A） （B） （C） （D）高.考.资.源.网21yxyx32yx23yx 2. 解析：由得， 2 ( )2 (2)88f xfxxx 2 (2)2 ( )(2)8(2)8fxf xxx 即，切线方程为 2 2 ( )(2)44f xfxxx 2 ( )f xx /( ) 2fxx ，即选 A12(1)yx 210xy 3. （2009 安徽文）安徽文）设函数 32 si

3、n3cos ( )tan 32 f xxx ，其中 5 0, 12 ，则导数 (1) f 的取值范围是 A. 2,2 B. 2, 3 C. 3,2D. 2,2 3.【解析】 2 1 (1)sin3cos x fxx sin3cos2sin() 3 ，选 D。 52 0,sin(),1(1)2,2 1232 f 4. (2009 福建理福建理)等于 2 2 (1 cos )x dx A B. 2 C. -2 D. +2 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 4 解析.故选 D 2 sin(sin)s

4、in()2 2222 2 x xx x 原式 5. (2009 广东文广东文)函数的单调递增区间是 x exxf)3()( A. B.（0，3） C. （1，4） D. ,22, 5解：，令，解得 x2,故答 D。 xxx exexexf)2()3()(0)( x f 6(2009 广东理广东理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线）行驶甲车、乙 车的速度曲线分别为（如图 2 所示） 那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的vv乙 甲和01 tt和 是 A在时刻，甲车在乙车前面 1 t B时刻后，甲车在乙车后面 1 t C在时刻，两车的位置相同 0 t D时刻后，乙车在甲车

5、前面 0 t 6. 解：因为速度函数是路程函数的导函数，即)(tv)(ts)()(tvts ，所以，dttvts t 0 )()( 根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与 x 轴及直线，vv乙 甲和0 tt 1 tt 围成的图形的面积，即可看出，应选 A。 7. (2009 湖北理湖北理)设球的半径为时间 t 的函数。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的 R t 增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C 7. 【解析】由题意可知球的体积为，则，由此可得 3 4 ( )( ) 3 V tR

6、 t 2 ( )4( )( )cV tR t R t ，而球的表面积为， 4( ) ( )( ) c R t R t R t 2 ( )4( )S tR t 所以， 2 ( )4( )8( )( )vS tR tR t R t 表 即，故选 D 22 8( )( )2 4( )( )( ) ( )( )( ) cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 8(2009 湖南文湖南文)若函数( )yf x的导函数在区间 , a b上是增函数， 则函数( )yf x在区间 , a b上的图象可能是【 A 】 y ababa o x o x y ba o x y o x y

7、b 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 A B C D 8. 解: 因为函数( )yf x的导函数( )yfx在区间 , a b上是增函数，即在区间 , a b上 各点处的斜率k是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中yk 为常数噢. 9. (2009 湖南理湖南理) 设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数 K，定义函数( )yf x ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xK fx K f xK 取函数=。若对任意的，恒有=，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x

8、1 2xe(,)x ( ) k fx( )f x AK 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2 CK 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 【D】 9.【解析】由知，所以时，当时，( )10, x fxe 0x (,0)x ( )0fx (0,)x ，所以即的值域是，而要使在上恒成立，( )0fx max ( )(0)1,f xf( )f x(,1( )( ) k fxf xR 结合条件分别取不同的值，可得 D 符合，此时。故选 D 项。K( )( ) k fxf x 10(2009 江西文江西文)若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 (1,0) 3 yx 2 15 9 4 yaxxa

9、 A或 B或 C或 D或1 25 - 64 1 21 4 7 4 25 - 64 7 4 7 10. 【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为(1,0) 3 yx 3 00 (,)x x 32 000 3()yxxxx 即，又在切线上，则或， 23 00 32yx xx(1,0) 0 0x 0 3 2 x 当时，由与相切可得， 0 0x 0y 2 15 9 4 yaxx 25 64 a 当时，由与相切可得，所以选. 0 3 2 x 2727 44 yx 2 15 9 4 yaxx1a A 11(2009 江西理江西理)设函数，曲线在点处的切线方程为， 2 ( )( )f xg xx( )y

10、g x(1, (1)g21yx 则曲线在点处切线的斜率为( )yf x(1,(1)f A B C D4 1 4 2 1 2 11.【解析】由已知，而，所以故选 A(1)2 g ( )( )2fxg xx(1)(1)2 14fg 12. (2009 辽宁理辽宁理)曲线 y= 在点（1，1）处的切线方程为 2 x x （A）y=x2 (B) y=3x+2 (C)y=2x3 (D)y=2x+1 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 12.【解析】y,当 x1 时切线斜率为 k2 【答案】D 22 22

11、(2)(2) xx xx 13. (2009 全国全国理理) 已知直线 y=x+1 与曲线相切，则 的值为( B ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m yln()xa (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 13. 解:设切点，则,又 00 (,)P xy 0000 ln1,()yxayx 0 0 1 |1 x x y xa .故答案选 B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 000 10,12xayxa 14. (2009 全国全国理理)曲线在点处的切线方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21 x y x 1,1 A. B. C. D. 20xy20xy450xy4

12、50xy 14. 解解：, 111 22 2121 |1 (21)(21) xxx xx y xx 故切线方程为,即 故选故选 B.1(1)yx 20xy 15(2009 陕西文陕西文)设曲线在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为,则 1* () n yxnN n x 的值为 12n xxx (A) (B) (C) (D) 1 1 n 1 1n1 n n 15. 解析: 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率 1* ()(1) nn yxnNynx 求导得1x ,在点1kn （1，1）处的切线方程为,不妨设,则1(1)(1)(1) nn yk xnx 0y 1 n nn x , 故选

13、B. 12 12311 . 23411 n nn xxx nnn 16. (2009 天津文天津文)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x ,x 下面的不等式在 R 内恒成 2 立的是 A B C D0)(xf0)(xfxxf)(xxf)( 16.【答案】A 【解析】由已知，首先令 ，排除 B，D。然后结合已知条件排除 C,得到 A0x 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析 问题和解决问题的能力。 17. (2009 天津理天津理)设函数则 1 ( )ln (0), 3 f xxx x( )yf x A 在区

14、间内均有零点。 B 在区间内均无零点。 1 ( ,1),(1, ) e e 1 ( ,1),(1, ) e e 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 C 在区间内有零点，在区间内无零点。 1 ( ,1) e (1, ) e D 在区间内无零点，在区间内有零点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 ( ,1) e (1, ) e 17. 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析：由题得，令得；令得； x x x xf 3 31 3 1 )( 0)( xf3 x0)( xf30 x 得，故

15、知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点0)( xf3 x)(xf)3 , 0() , 3 ( 处有极小值；又，故选择 D。3 x03ln1 01 3 1 ) 1 ( , 0 1 3 , 3 1 )1( ee f e eff 二、填空题：二、填空题： 1(2009 北京理北京理)_. 1 lim 1 x x xx x 1.【1.【解析解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本 运算的考查. ，故应填. 2 1111 1 1 limlimlimlim 121 11 1 xxxx xx x xxx xxx xx xx x 1 2 2(2009 北京理北

16、京理)设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为 1，则该曲线( )f x( )yf x(1,(1)f 在处的切线的斜率为_.( 1,( 1)f 2.【2.【解析解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率 的概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 取，如图，采用数形结合法， 2 f xx 易得该曲线在处的切线的斜率为.( 1,( 1)f1 故应填.1 3. (2009 福建文福建文)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 . 2 f xaxInxya 3. 解析解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，0x 1 2fxax x y 故此时斜率为，问题转化为范围内导函

17、数存在零点。00x 1 2fxax x 解法 1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当 2g xax 1 h x x 0a 时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当如图 2，此时正好有一个交点，故有0a 0a 应填0a ,0 或是。|0a a 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 1 20ax x 0, 2 1 ,0 2 a x 4. (2009 福建理福建理)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是 3 ( )lnf

18、 xaxxya _. 4. 【答案】：(,0) 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线， 2 1 ( )2fxax x y 所以。 2 3 11 20(0)(,0) 2 axaxa xx 5. (2009 海南、宁夏文海南、宁夏文)曲线在点（0,1）处的切线方程为 。21 x yxex 5 【答案】31yx 【解析】，斜率 k3，所以，y13x，即2 xx xeey20 0 e31yx 6. (2009 江苏江苏)函数的单调减区间为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 ( )15336f xxxx 6. 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。 ， 2 ( )330333(1

19、1)(1)fxxxxx 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。(11)(1)0xx( 1,11) 7. (2009 江苏江苏)在平面直角坐标系中，点 P 在曲线上，且在第二象限内，已xoy 3 :103C yxx 知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 7. 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，又点 P 在第二象限内，点 P 的坐标为（-2，15） 2 31022yxx 2x 8. (2009 辽宁文辽宁文)若函数在处取极值，则 2 ( ) 1 xa f x x 1x a 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网

20、 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 8.【解析】f(x) 2 2 2 (1)() (1) x xxa x f(1)0 a3 3 4 a 【答案】3 9(2009 陕西理陕西理)设曲线在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为,令 1* () n yxnN n x ，则的值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m lg nn ax 1299 aaa 9. 答案：答案：-2 1* 1 1 12991299 () (1)|11(1)(1) 1 1 298 991 .lg.lg.lg2 2 399 100100 n nn x n

21、 yxnN yxynxynynx n x n aaax xx A A AA 解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点， 的导函数为切线是： 令y=0得切点的横坐标： 三、解答题：三、解答题： 1(2009 安徽文安徽文)（本小题满分 14 分） 已知函数 2 ( )1lnf xxax x ，a0， （）讨论( )f x的单调性； （）设 a=3，求( )f x在区间1， 2 e上值域。期中 e=2.71828是自然对数的底数。 1.【解析】(1)由于 2 2 ( )1 a f x xx 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 1 21(0)tytatt x 得 当,即时, 恒

22、成立. 2 80a 02 2a( )0f x 在(,0)及(0,)上都是增函数.( )f x 当,即时 2 80a 2 2a 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 210tat 2 8 4 aa t 2 8 4 aa t 或或 2 8 0 4 aa x 0x 2 8 4 aa x 又由得 2 20tat 2222 8888 4422 aaaaaaaa tx 综上当时, 在上都是增函数.02 2a( )f x(,0)(0,)及 当时, 在上是减函数,2 2a ( )f x 22 88 (,) 22 aaaa 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交

23、友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 在上都是增函数. 22 88 (,0)(0,)(,) 22 aaaa 及 (2)当时,由(1)知在上是减函数.3a ( )f x1,2 在上是增函数. 2 2,e 又(1)0,(2)23 20ffln 22 2 2 ()50f ee e 函数在上的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x 2 1,e 2 2 2 23 n2,5le e 2. （2009 安徽理）安徽理） （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知函数，讨论的单调性. 2 ( )(2ln ),(0)f xxaxa x ( )f x 本小题主要考

24、查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运 算求解的能力。本小题满分 12 分。 2. 解：的定义域是(0,+),( )f x 2 22 22 ( )1. axax fx xxx 设,二次方程的判别式. 2 ( )2g xxax( )0g x 2 8a 当，即时，对一切都有,此时在上是增 2 80a 02 2a0x ( )0fx( )f x(0,) 函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时 2 80a 2 2a 2x ( )0fx0x ( )0fx 在上也是增函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x(0,) 当，即时， 2 80a 2 2a

25、 方程有两个不同的实根,.( )0g x 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0xx x 1 (0,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx+0_0+ ( )f x 单调递增A 极大 单调递减A 极小单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在( )f x 2 8 (0,) 2 aa 22 88 (,) 22 aaaa 上单调递增. 2 8 (,) 2 aa 3(2009 北京文北京文)（本小题共 14 分） 设函数。 3 ( )3(0)f xxaxb a （）若曲线在点处与直线相切，求的值；( )yf x(2,( )f x8y , a

26、b （）求函数的单调区间与极值点。( )f x 3.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析 和解决问题的能力 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 （）, 2 33fxxa 曲线在点处与直线相切， ( )yf x(2,( )f x8y 203 404, 24.86828 faa babf （）, 2 30fxxaa 当时，函数在上单调递增， 0a 0fx ( )f x , 此时函数没有极值点. ( )f x 当时，由， 0a 0fxxa 当时，函数单调

27、递增， ,xa 0fx ( )f x 当时，函数单调递减， ,xaa 0fx ( )f x 当时，函数单调递增， ,xa 0fx ( )f x 此时是的极大值点，是的极小值点. xa ( )f xxa( )f x 4(2009 北京理北京理)（本小题共 13 分） 设函数( )(0) kx f xxek （）求曲线在点处的切线方程；( )yf x(0,(0)f （）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x （）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.( )f x( 1,1)k w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.【4.【解析解析】本题主要考查利用导数研究函数

28、的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合 分析和解决问题的能力 （）, 1,01,00 kx fxkx eff 曲线在点处的切线方程为.( )yf x(0,(0)fyx （）由，得， 10 kx fxkx e 1 0xk k 若，则当时，函数单调递减，0k 1 ,x k 0fx f x 当时，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 ,x k 0fx f x 若，则当时，函数单调递增，0k 1 ,x k 0fx f x 当时，函数单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 ,x k 0fx f x （）由（）知，若，则当且仅当，0k 1 1 k 即时，函数内单调递

29、增，1k f x1,1 若，则当且仅当，0k 1 1 k 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 即时，函数内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1k f x1,1 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是. f x1,1k 1,00,1 5(2009 福建文福建文)（本小题满分 12 分） 已知函数且 32 1 ( ), 3 f xxaxbx( 1)0f （I）试用含的代数式表示；ab （）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x （）令，设函数在处取得极值

30、，记点，1a ( )f x 1212 ,()x x xx 1122 ( ,(),(,()M xf xN xf x 证明：线段与曲线存在异于、的公共点；MN( )f xMN 5. 解法一： （I）依题意，得 2 ( )2fxxaxb 由得( 1)1 20fab 21ba （）由（I）得（ 32 1 ( )(21) 3 f xxaxax 故 2 ( )221(1)(21)fxxaxaxxa 令，则或*( )0fx 1x 1 2xa 当时，1a 1 21a 当变化时，与的变化情况如下表：x( )fx( )f x x (,1 2 )a( 2 , 1)a( 1) ( )fx + ( )f x 单调递增单

31、调递减单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为( )f x(,1 2 )a( 1,) (1 2 , 1)a 由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的1a 1 21a ( )0fx 1x ( )0fx ( )f x 单调区间为 R 当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减1a 1 21a ( )f x(, 1) (1 2 ,)a 区间为( 1,1 2 )a 综上： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；1a ( )f x(,1 2 )a( 1,) (1 2 , 1)a 当时，函数的单调增区间为 R；1a ( )f x 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为1a ( )f x(,

32、 1) (1 2 ,)a( 1,1 2 )a （）当时，得1a 32 1 ( )3 3 f xxxx 由，得 3 ( )230fxxx 12 1,3xx 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为( )f x(, 1) (3,)( 1,3) 所以函数在处取得极值。( )f x 12 1.3xx 故 5 ( 1, ). (3, 9) 3 MN 所以直线的方程为MN 8 1 3 yx 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22 1 3 3 8 1 3 yxxx

33、 yx 32 330xxx 令 32 ( )33F xxxx 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，(0)30,(2)30FF ( )F x(0,2) 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点( )F x(0,2) 0 xMN( )f x,M N 解法二： （I）同解法一 （）同解法一。 （）当时，得，由，得1a 32 1 ( )3 3 f xxxx x 2 ( )230fxxx 12 1,3xx 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在( )f x(, 1) (3,)( 1,3)( )f x 处取得极值， 12 1,3xx 故 5 ( 1, ),(3, 9) 3 MN 所以

34、直线的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m MN 8 1 3 yx 由得 32 1 3 3 8 1 3 yxxx yx 32 330xxx 解得 123 1,1.3xxx 12 3 312 11 3 511 9, 33 xx x yyy 所以线段与曲线有异于的公共点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m MN( )f x,M N 11 (1,) 3 6、(2009 福建理福建理)（本小题满分 14 分） 已知函数,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 1 ( ) 3 f xxaxbx( 1)0f (1) 试用含的代数式表示 b,并求的单调区间；a( )f x （2）令,

35、设函数在处取得极值，记点 M (,)，N(,)，P(1a ( )f x 1212 ,()x x xx 1 x 1 ()f x 2 x 2 ()f x ), ,请仔细观察曲线在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解,( )m f m 12 xmx( )f x 释以下问题： （I）若对任意的 m (, x)，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值， 1 x 2 并证明你的结论； （II）若存在点 Q(n ,f(n), x n1 时, 121a 当 x 变化时，与的变化情况如下表：( )fx( )f x x(,1 2 )a(1 2 , 1)a( 1,

36、) ( )fx+ ( )f x单调递增单调递减单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。( )f x(,1 2 )a( 1,) (1 2 , 1)a 当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单1a 1 21a ( )0fx 1x ( )0fx ( )f x 调增区间为 R 当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减1a 1 21a ( )f x(, 1) (1 2 ,)a 区间为( 1,1 2 )a 综上： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；1a ( )f x(,1 2 )a( 1,) (1 2 , 1)a 当时，函数的单调增区间为 R；1a ( )f x 当时，函数的单调

37、增区间为和，单调减区间为.1a ( )f x(, 1) (1 2 ,)a( 1,1 2 )a ()由得令得1a 32 1 ( )3 3 f xxxx 2 ( )230f xxx 12 1,3xx 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处( )f x(, 1) (3,)( 1,3)( )f x 取得极值，故 M（）N（） 。 12 1,3xx 5 1, 3 3, 9 观察的图象，有如下现象：( )f x 当 m 从-1（不含-1）变化到 3 时，线段 MP 的斜率与曲线在点 P 处切线的斜率之差( )f x( )f x Kmp-的值由正连续变为负。( )fm 线段 MP 与曲线是否有异于

38、 H，P 的公共点与 Kmp的 m 正负有着密切的关联；( )fm Kmp=0 对应的位置可能是临界点，故推测：满足 Kmp的 m 就是所求的 t 最小值，( )fm( )fm 下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线在点处的切线斜率；( )f x( ,( )P m f m 2 ( )23fmmm 线段 MP 的斜率 Kmp 2 45 3 mm 当 Kmp=0 时，解得( )fm12mm 或 直线 MP 的方程为 22 454 () 33 mmmm yx 令 22 454 ( )( )() 33 mmmm g xf xx 当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调2m 2 ( )2g xxx(

39、1,2)0x ( )f x( 1,0) 递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段 MP 与(0,2)( 1)(2)0gg( )g x( 1,2) 曲线没有异于 M，P 的公共点。( )f x 当时，.2,3m 2 4 (0)0 3 mm g 2 (2)(2)0gm 所以存在使得0,2m( )0g 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 同城交友 QQ 同城交友网 同城交友网 牵手交友 QQ 交友中心 即当MP 与曲线有异于 M,P 的公共点2,3,m时( )f x 综上，t 的最小值为 2. （2）类似（1）于中的观察，可得 m 的取值范围为1,3 解法二

40、： （1）同解法一. （2）由得，令，得1a 32 1 ( )3 3 f xxxx 2 ( )230fxxx 12 1,3xx 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极( )f x(, 1) (3,)( 1,3) 值。故 M().N() 5 1, 3 3, 9 () 直线 MP 的方程为 22 454 . 33 mmmm yx 由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得 3222 3(44)40xxmmxmm 线段 MP 与曲线有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数( )f x 上有零点. 3222 ( )3(44)4g xxxmmxmm在(-1, m ) 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.( )g x( )g x 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极( 1)( )0gg m( )g x( 1,)m( )g x( 1,)m 小值点,即内有两不相等的实数根. 22 ( )36(44)0(1,)g xxxmmm 在 等价于