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1、天台乡中心校 向小林 想一想： 如图：图中是一个下水道的横截面。为了测量下 水道的水深，先测得了水管的直径为10m,然后又测得 了水面的宽度为8m，你能根据所提供的数据求得水深 吗？ O A B C D （1） （2） （3） （5） 一、复习： 下列图形中哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如果是， 请你找出对称轴或对称中心。 . . （4）（6） 从刚才的观察中可知： 圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线； 圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。 . A B 下面我们来观察图形： AB 若AB是弦， CD是圆O的直径， 且CDAB于E，C D 那么你能得到哪些结论？ E AE=BE 如何用
2、语言叙述上面的命题？ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 AD=BDAC=BC CD是直径 CDAB AE=BE AD=BD AC=BC 。 O AB E D C 垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 CD是直径 CDAB，垂足为E AE=BE AC=BC AD=BD 上面定理可用数学语言表述： CD是直径 CDAB，垂足为E AE=BE AC = BC AD = BD 下面我们来看看如何证明这个命题？ 已知：在O中， AB是弦， CD是直径，CDAB于E 求证：AE=BE， AC=BC ， AD=BD 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 练习：
3、 已知：在O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦， ODAB，OEAC，D、E为垂足。 求证：四边形ADOE为正方形。 三、计算： 已知：在O中，弦ABCD于点P，O的半径为5，AB=8，CD=6， OEAB，OFCD，E、F是垂足。 求：四边形OEPF的周长。 4 3 5 5 3 4 已知：AB和CD是O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm， O的半径为5cm。 思考： （1）请根据题意画出符合条件的图形。 （2）求出AB与CD间的距离。 （1）（2） 垂径定理的推论 n如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗 ? n老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: O AB C
4、D 1.两条弦在圆心的同侧 O AB CD 2.两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等. M M 小结： 1、圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 2、垂径定理： 直线过圆心 直线垂直于弦 直线平分弦 直线平分弦所对的优弧 直线平分弦所对的劣弧 3、在涉及圆的弦的问题时，通常要做过圆心的弦的垂线从而利用 垂径定理来解决问题。 4、请大家下去思考这样一个问题：在垂径定理的题设和结论共5个 条件中，若换成其它两个条件作为题设，还能得到剩余的三个吗？ 。 O AB E D C （1）若 ， 则 （2）若 ， 能得到 吗？ 。 O A B D C （3） 若 ， 能
5、得到 吗 ？ CD是直径 CDAB，垂足为E AE=BE AC=BC AD=BD 逆定理 平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧； 逆定理 弦的垂直平分线经 过圆心,并且平分弦所对的两条 弧。 。 O AB E D C 你还能说出哪些与上述不同的逆定理？ CD是直径 CDAB，垂足为E AE=BE AC=BC AD=BD （4）若 ，则 （5）若 ，则 （6）若 ，则 （7）若 ，则 （8）若 ，则 （9）若 ，则 （10）若 ，则 垂径定理及逆定 理 O AB C D M 条件 结论结论命 题题 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直
6、于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平 分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦 ,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. CD是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC, AD=BD. 填空： 1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _ ，则CE=DE。（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm，
7、ABO=300，则O到 AB的距离是_cm，AB=_cm. 。 O A E DC B 。 O A B 第1题图第2题图 ABCD（或AC=AD，或BC=BD） 24 E 阅读与思考： 如图：若AB、CD是O的两条平行弦，那么AC与 BD相等吗？若相等，请你证明；若不相等，请说 明理由。 。 O C D BA M N CD AB， OMCD，CM=DM。 从而，AMCM=BMDM ， 即AC=BD 过O作OM AB，交O于M， 则AM=BM. 证明： 推论 两条平行弦所夹的弧相等。 数学语言：ABCD AC=BD n3、已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求O 的半径OA. 例2已知：在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C,D两点。求证AB=CD ABC D O E