《2015高考数学总复习专题系列——统计.板块二.频率直方图.学生版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015高考数学总复习专题系列——统计.板块二.频率直方图.学生版.doc（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、板块二.频率直方图知识内容一随机抽样1随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：简单随机抽样：从元素个数为的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样抽出办法：抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表表中每一位置出现各个数字的可能性相同随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定
2、的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法抽出办法：从元素个数为的总体中抽取容量为的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设，先对总体进行编号，号码从到，再从数字到中随机抽取一个数作为起始数，然后顺次抽取第个数，这样就得到容量为的样本如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方
3、法叫做分层抽样分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛2简单随机抽样必须具备下列特点：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的简单随机样本数小于等于样本总体的个数简单随机样本是从总体中逐个抽取的简单随机抽样是一种不放回的抽样简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为3系统抽样时，当总体个数恰好是样本容量的整数倍时，取；若不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等，为二频率直方图列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：计算极差：找出
4、数据的最大值与最小值，计算它们的差；决定组距与组数：取组距，用决定组数；决定分点：决定起点，进行分组；列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图，知小长方形的面积组距频率频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体密度曲线精确地反映了一个
5、总体在各个区域内取值的规律三茎叶图制作茎叶图的步骤：将数据分为“茎”、“叶”两部分；将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出 四统计数据的数字特征用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差数据的离散程序可以用极差、方差或标准差来描述极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；样本方差描述了一组数据平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根一般地，设样本的元素为样本的平均数为，定义样本方差为，样本标准差简化公式：五独立性检验1两个变量之间的关系；常见的有两类：一类是确定性的函数
6、关系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系2散点图：将样本中的个数据点描在平面直角坐标系中，就得到了散点图散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系3如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关此时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系4统
7、计假设：如果事件与独立，这时应该有，用字母表示此式，即，称之为统计假设5（读作“卡方”）统计量：统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为，用它的大小可以用来决定是否拒绝原来的统计假设如果的值较大，就拒绝，即认为与是有关的统计量的两个临界值：、；当时，有的把握说事件与有关；当时，有的把握说事件与有关；当时，认为事件与是无关的独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立的1独立性检验的步骤：统计假设：；列出联表；计算统计量；查对临界值表，作出判断2几个临界值：联表的独立性检验：如果对
8、于某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个情况，这样排成一张的表，如下：状态状态合计状态状态如果有调查得来的四个数据，并希望根据这样的个数据来检验上述的两种状态与是否有关，就称之为联表的独立性检验六回归分析1回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2最小二乘法：记回归直线方程为：，称为变量对变量的回归直线方程，其中叫做回归系数是为了区分的实际值，当取值时，变量的相应观察值为，而直线上对应于的纵坐标是设的一
9、组观察值为，且回归直线方程为，当取值时，的相应观察值为，差刻画了实际观察值与回归直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差我们希望这个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点记，回归直线就是所有直线中取最小值的那条这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法用最小二乘法求回归系数有如下的公式：，其中上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的回归系数3线性回归模型：将用于估计值的线性函数作为确定性函数；的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；将称为线性回归模型产生随机误差的主要原因有：所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差；忽略了某些因素的影响，通常这
10、些影响都比较小；由于测量工具等原因，存在观测误差4线性回归系数的最佳估计值：利用最小二乘法可以得到的计算公式为，其中，由此得到的直线就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值5相关系数： 6相关系数的性质：；越接近于1，的线性相关程度越强；越接近于0，的线性相关程度越弱可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关7转化思想：根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数8一些备案回归（regression）一词的来历：“回归”这个词英国统计学家Fr
11、ancils Galton提出来的1889年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高Galton把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析回归系数的推导过程：，把上式看成的二次函数，的系数，因此当时取最小值同理，把的展开式按的降幂排列，看成的二次函数，当时取最小值解得：，其中，是样本平均数9 对相关系数进行相关性检验的步骤：提出统计假设：变量不具有线性相关关
12、系；如果以的把握作出推断，那么可以根据与（是样本容量）在相关性检验的临界值表中查出一个的临界值（其中称为检验水平）；计算样本相关系数；作出统计推断：若，则否定，表明有的把握认为变量与之间具有线性相关关系；若，则没有理由拒绝，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量与之间具有线性相关关系说明：对相关系数进行显著性检验，一般取检验水平，即可靠程度为这里的指的是线性相关系数，的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系这里的是对抽样数据而言的有时即使，两者也不一定是线性相关的故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释典例分析题型一 频率分布直方图【例
13、1】 （2010西城二模）某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取名同学的成绩，成绩全部在分至分之间，将成绩按如下方式分成组：第一组，成绩大于等于分且小于分；第二组，成绩大于等于分且小于分；第五组，成绩大于等于分且小于等于分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图则这名同学中成绩大于等于分且小于分的学生有_名【例2】 （2010东城二模）已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在内的样本频数为 ，样本数据落在内的频率为 【例3】 （2010北京）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知 若要从身高在，三组内的学生中
14、，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 【例4】 （2010江苏高考）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的根中，有_根在棉花纤维的长度小于【例5】 （2009湖北15）下图是样本容量为的频率分布直方图根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为 ，数据落在内的概率约为 【例6】 （2009福建3）一个容量为的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别频数则样本数据落在上的频率为（ ）ABCD【例7】 某校为了了解学生的课外阅读情况
15、，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）ABCD【例8】 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量产品数量的分组区间为，由此得到频率分布直方图如图，则这名工人中一天生产该产品数量在的人数是 【例9】 （2009山东8）某工厂对一批产品进行了抽样检测右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，已知样本中产品净重小于克的个数是，则样本中净重大于或等于克并且小于克的产品的个数是（ ）A B C
16、D【例10】 某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于km/h的车辆数为（ ）AB CD【例11】 （2006年全国II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的联系，要从这人中用分层抽样的方法抽出人做进一步调查，则在（元）月收入段应抽出_人【例12】 如图为某样本数据的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）A的频率为B若样本容量为，则的频数为C若样本容量为，则的频数为D
17、由频率分布布直方图可得出结论：估计总体大约有分布在【例13】 （2006北京模拟）下面是某学校学生日睡眠时间的抽样频率分布表：睡眠时间人数频率合计画出频率分布直方图，估计该校学生的日平均睡眠时间【例14】 （2010崇文一模）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示已知生产的产品数量在之间的工人有6位求；工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人不在同一组的概率是多少？【例15】 考查某校高三年级男生的身高，随机抽取名高三男生，实测身高数据（单位：）如下： 作出频率分布表； 画出频率分布直方图【例16】
18、 （2010陕西卷高考）为了解学生身高情况，某校以的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：估计该小男生的人数；估计该校学生身高在之间的概率；从样本中身高在之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在之间的概率【例17】 从某校高一年级的名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为的身高样本，如下（单位：）作出该样本的频率分布表，画出频率分布直方图及折线图，并根据作出的频率分布直方图估计身高不小于的同学的人数1681651711671701651701521751741651701681691711661641551641581701551661581551601601641
19、56162160170168164174170165179163172180174173159163172167160164169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166【例18】 为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如下图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是第一
20、小组的频数是求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？参加这次测试跳绳次数在次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少？【例19】 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）； 补全频数条形图； 若成绩在755855分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？【例20
21、】 （2010丰台一模）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题求全班人数及分数在之间的频数；估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率【例21】 某地区为了了解岁老人的日平均睡眠时间（单位：h）随机选择了位老人的进行调查下表是这位老人日睡眠时间的频率分布表序号（）分组（睡眠时间）组中值（）频数（人数）频率（）14，5625，61036，72047，8105 4在上述统计数据中，一部分计算见算法流程图（其中可用代替），则输出的的值是 14