整式的乘法与因式分解复习.ppt

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1、 整式的乘法 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 单项式的乘法 aman =am+n am n ( ) =amn ab n ( ) =anb n a2x54 x2a3b(-3 ) =4 ( -3)a 3 a2( )x2x5( )b =-12a5bx 7 整式的乘法 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 单项式的乘法 单项式与多项式相乘 多项式的乘法 aman =am+n am ( ) n =amn ab n ( ) =anb n a2x54 x2a3b(-3 ) m(a+b)= (a+b)(m+n)= ma+mb am+an+bm+bn 底数不变 指数相乘 指数相加 同底数幂相乘 幂的乘方 其中

2、m , n都是 正整数 想 一 想 a2a3a5 += (1)a2aa2 = (2) (x-y) 2 (y-x) 5= (x-y) 7 (8) x2 ( )3 =x5 (4) a 3 x 6 3 5 -(x-y) 7 (y-x) 7 47 (6)(-5) (- 5) =5 11-511 (-3) 2 3 3 = (-3) 5 (7) 2 (5) 3 5a 2 a=10a 6 10a 5 (3)a 3 a 3=2a3 a 6 找一找 4 7 -x 2yz2 ( ) 7 4 -xy 2 ( )=x 3 y 3 10 5 10 3 -10 2 10 10 ( ) ( )-2 3( ) =-6 2 1

3、 - 6 1 -a 2 b 3 a 8 b 27 ( ) 3 = a 3n 23n ( ) b2( )ab( ) = (A) (D) (B) (C) D 6n 口答练习 x 3 x 2 = ( )a6 2 +a 4 3 ( ) = x x 2 ( ) 3= x 3 x 2002 = = 7 1 ( ) 1997 7 1998 2 = ( ) (-ab)-c 2 b 3 a 3 (1) (3) (7) -abc( ) (-ab) 2 = (6) (5) (4) (2)x52a 12 x 7 x 1999 7 -a3b3c 2 +abc 比一比 算 计 (1) 3x 2 ( ) 3- 7x 3 x

4、 3 -x4x 2+1 ( ) a 2 ( )-2b 2 a+2b( )-2ab(a-b) (2)先化简，再求值: 其中a=1,b= 2 1 . 公 式 的 反 向 使 用 公 式 的 反 向 使 用 试用简便方法计算试用简便方法计算: : ( (abab) ) n n = = a an n b bn n （mm, ,n n都是正整数都是正整数） 反向使用反向使用: : a a n n b bn n = = ( (abab) ) n n (1)(1) 2 2 3 3 5 5 3 3 ; ; (2)(2) ( (-5)5)16 16 ( (-2)2)15 15 (3)(3) 2 2 4 4 4

5、44 4 ( (-0.125)0.125) 4 4 ; ; = (= (2 2 5 5) )3 3 = 10= 10 3 3 = (= (-5)5) ( (-5)5) ( (-2)2) 15 15 = = -5 5 101015 15 = 2= 2 4 4 ( (-0.125)0.125) 4 4 = 1= 1 4 4 = 1= 1 (1) (1) ( (x x 5 5 y y) ) x x 2 2 = = x x5 5 2 2 y y (2)(2) (8(8mm 2 2n n2 2 ) ) (2(2mm 2 2 n n) ) = = (8(8 2 2 ) ) mm 2 2 2 2 n n 2

6、 2 1 1 ; ; (3)(3) ( (a a 4 4b b2 2 c c) ) (3(3a a 2 2 b b) ) = = (1(1 3 3 ) ) a a4 4 2 2 b b2 2 1 1 c c . . 商式商式被除式被除式除式除式 仔细观察一下，并分析与思考下列几点：仔细观察一下，并分析与思考下列几点： ( (被除式的系数被除式的系数) () (除式的系数除式的系数) ) 写在商里面作写在商里面作 ( (被除式的指数被除式的指数) ) ( (除式的指数除式的指数) ) 商式的系数商式的系数 单项式除以单项式，其结果单项式除以单项式，其结果( (商式商式) )仍是仍是 被除式里单独

7、有的幂被除式里单独有的幂， ( (同底数幂同底数幂) ) 商的指数商的指数 一个单项式一个单项式; ; ？因式。因式。 单项式 的 除法 法则 如何进行单项式除以单项式的运算? 议议 一一 议议 单项式相除单项式相除, , 把系数、同底数的幂分别相除后，作为把系数、同底数的幂分别相除后，作为 商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的 指数一起作为商的一个因式。指数一起作为商的一个因式。 理解理解 商式商式系数系数 同底的幂同底的幂 被除式里单独有的幂被除式里单独有的幂 底数不变，底数不变， 指数相减。指数相减。 保留在商里保留在商里 作为因式

8、。作为因式。 观察观察 & & 归纳归纳 解： (1).(2xy)(7xy)(14x4y) =-56x7y5 (14x4y) = -4x3y2 解：(2).(2a+b)4(2a+b) =(2a+b) = 4a2+4ab+b2 =8x6y3 (7xy)(14x4y) = (2a+b)4-2 (1)(-a)8(-a2) (2)-5a5b3c5a4b3 (4)-3a2x4y3(-axy2) (5)(4109)(-2103) =-a6 =-ac =3ax3y =-2106 (3) 6m2n(-2mn)= -3m 你找到了你找到了 多项式除以单项式的规律多项式除以单项式的规律 吗？吗？ 议一议议一议 (

9、 ( a a+b+c b+c )m)m = 多项式除以单项式，多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。再把所得的商相加。 多项式除以单项式的法则 例 题 解 析 例例3 3 计算：计算： （2 2）原式原式= 例题 = (1)(-2a4b3c)3(-8a4b5c) (3 )(-3.61010)(-2102)2(3102)2 =a8b4c2 = 10 (2)(6x2y3)2(3xy2)2 =4x2y2 乘法公式 平方差公式 完全平方公式(两数和的平方） (a+b)(a-b) =a 2 b 2 - (a+b) 2 = a

10、2 b 2 2 ab+ + 二次三项型乘法公式 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab 2 计算： （1） （2x3）（2x3） （2） （x2）（x2） （3） （2xy）（2xy） （4） （yx）（xy） ( 5 ) 1998 例1 计算 19982002 19982002 =（2000-2）（2000+2） =4000000-4 =3999996 解 想一想 下列计算是否正确？如不正确，应 如何改正？ (-x+6)(-x-6) =-x 2 -6(1) 2 -x-1(-x-1)(x+1) =(2) =(-x) 2 -6 2 =x 2- 36 -(x+1)=(x+ 1)= -(x+

11、1) 2 =+1 ( )x22x- =-x 2- 2x-1 (3)(-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy 2 =(-1) 2-(2xy)22 =1-4 x y 2 39 520x 2ab 4xy 已知(a+b) 2 =11, (a-b) 2 =7, 则ab=( ) (1) （A） 1（B）-1（C） 0（D） 1或-1 (C)(D) (2) 如果4x +12xy+k是一个关于x、y的完全 2 平方式，则k=( ) (A)(B)3y 2 9y 2 y36y 2 是一个关于x、y的完全平 如果4x2+kxy+9y 2 方式，则k=( ) A B +12 （3）如果a+ a 1 =3,则a 2

12、 + a 2 1 =( ) (A) 7 (B) 9(C) 10 (D) 11 所以 =9a+ a 1 ( ) 2 所以a + a 1 =9 2 2+ 2 A 故a a 1 =7 2 + 2 因为a+ a 1 =3 解： (a-2b+3)(a+2b-3)的结果是（ ） （A） 22 a+4b+12b-9 （C） 22 a+4 b - 12b-9 （B）a 2 -4b 2 -12b-9 （D）a 2 -4b 2 +12b-9 D （4）计算 =a-(2b-3)a+(2b-3) =a 2-(2b-3)2 =a 2-(4b -12b+9)2 =a 2 -4b 2 +12b-9 (a-2b+3)(a+2

13、b-3)解： 因式分解 1.运用前两节所学的知识填空 1).m(a+b+c)= . 2).(a+b)(a-b)= . 3).(a+b)2= . 2.试一试 填空: 1).ma+mb+mc= m( ) 2).a2-b2=( )( ) 3).a2+2ab+b2=( )2 ma+mb+mc a2-b2 a2+2ab+b2 你能发现这 两组等式之 间的联系和 区别吗? a+b+c (a+b)(a-b) a+b 一般地，把一个多项式转化成几个整式 的积积的形式，叫做因式分解 因式分解，有时我们也把 这一过程叫做分解因式分解因式。 定义 理解概念 判断哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(

14、x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 两者都不是 像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法 像(2),(3)利用乘法公式对多项式进行 因式分解的这种因式分解的方法就称为 公式法. 1) ma+mb+mc=m( a+b+c ) 2) a2-b2=(a+b)(a-b ) 3)a2+2ab+b2=(a+b)2 注意事项 1) 首选提公因式法,其次考虑公式法 2)两项考虑平方差法，三项考虑完全平方公式 3）因式分解要砌

15、底 4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路 找出下列各多项式中的公因式 找一找 公因式 系数 字母 3 5a 6ab 各项系数的最大公约数 取每项中含有的相同字母 问:多项式中的公因式是如何确定的？ 指数 相同字母的最低次幂 易 错 分 析 1、 把下列各式分解因式： 1）18-2b 2) x4 1 1.选择题： 3)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） A. 4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y 4) -4a +1分解因式的结果应是 （ ） A. -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1) C. -(2a +1)(2a+1) D.

16、 -(2a+1) (2a-1) D D 拓展提高 1.把下列多项式因式分解 1). 6x(a+2b)2-3x(a+2b) 2). (b-a)2-2a+2b 3). a(a-b)2+(b-a)3 提公因式法因式分解 1) 13.80.125+86.2 2) 0.7332-0.3263 3) 33+112+66 4)已知a+b=5,ab=3, 求a2b+ab2的值. 巧计妙算 1 8 3.解方程: (5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0 (x-2004)2=(2004-x)(2005-x) 提公因式法因式分解 ( ) ( ) x216 练习：分解下列各式: （1）x2-16 解：(

17、1) （2）9m2-4n2 x x ( ) ( ) a2b2aabb( ) ( ) x2 4242x2 (2) 9m2-4n2 3m 3m ( ) ( ) a2aabb (3m)2 (2n)2(2n)2(3m)2 b2 2n 2n 平方差公式的应用题： 1、利用分解因式简便计算 (1) 652-642 (2) 5.42-4.62 (3) (4) 解:652-642 =(65+64)(65-64) =1291 =129 解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =100.8 =8 答案:5 答案:28 提高题： 2、已知 , ,求（a+b）2-(a-b)2的值。 解: (a

18、+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b) =2a2b =4ab 当 ， 时， 原式=4 = 3、求证:当n是整数时，两个连续 奇数的平方差 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。 思考：思考： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2 完全平方公式完全平方公式 a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2 用他们可以把一个三项式分解因式的特点： 两项是两个数的平方 另一项是加上(或减去)这两个数积的两倍 完全平方例题讲解完全平方例题讲

19、解(1)(1) x2-4x+4 =x2-4x+22 =(x-2)2 a2 +2a+1 = a2 +2a1 +12 =（a+1）2 a2+10a+25 =a2+2a( )+( )2 =(a+ )2 5 5 5 X2+12ax+36a2 =X2+2x6a +(6a)2 =(x+6a)2 小练习小练习(2)(2) 4a2+25b2-20ab =(2a)2 -22a5b +(5b)2 =(2a-5b)2 -8x2y-2x3-8xy2 =-2x(x2+4xy+4y2) =-2x(x+2y)2 动手做 已知x=a+2b,y=a-2b， 求:x +xy+y 2 2 （1） （2）解方程: 2 (x+11)(

20、x-12)=x -100 1 、已知a+b=5 ，ab= -2， 求（1） a2+b2 （2）a-b a2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 2、已知a2-3a+1=0，求（1） （2） 3、已知 求x2-2x-3的值 6.若(x-m)2=x2+8x+n,求mn的值 7.若9x2-mx+4是一个完全平方式， 求m的值 8.若(m+n)2=11,(m-n)2=7.求5mn的值 9.在整式4x2+1中加上一个单 项式使之成为完全平方式， 则应添 。 10.在整式 中加上一 个单项式使之成为完全平方式 ，则应添 。 11.若(2m-3n)2=(2m+3n)2+A成立，

21、A应为 。 13.若x2+2mx+36是完全平方式， 求m的值 15.已知：a+b=5,ab=3, 求a2+b2的值 16.已知：a-b=3,a2+b2=17 求(a+b)2的值 17.已知：ab=12,a2+b2=25, 求(a-b)2的值 18.已知：m2+n2+4m-6n+13=0, 求mn的值。 考查知识点：（当m,n是正整数时） 1、同底数幂的乘法：am an = am+n 2、幂的乘方: (am )n = amn 3、积的乘方: (ab)n = anbn 4、合并同类项: 计算： x3(-x)5-(-x4)2-(-2x3)4 -(-x10)(- x)2 解此类题应注意明确法则及 各

22、自运算的特点，避免混淆 . 1、若10x=5,10y=4,求102x+3y+1 的值. 2、计算：0.251000（-2）2001 注意点： （1）指数：相加底数相乘 转化 （2）指数：乘法幂的乘方 转化 （3）底数：不同底数同底数 转化 （3） （1）012516(8) 17； （2） 逆用公式 即 （4）已知2m=3，2n=5， 求23m+2n+2的值. 计算： (1) (-2a 2 +3a + 1) (- 2a)3 (2) 5x(x2+2x +1) - 3(2x + 3)(x - 5) (3) (2m2 1)(m 4) -2 ( m2 + 3)(2m 5) 注意点： 1、计算时应注意运算

23、法则及运算顺序 2、在进行多项式乘法运算时，注意不要漏 乘，以及各项符号是否正确。 计算： (1) (1-x)(1+x)(1+x2)-(1-x2)2 (2) (x2+32)2-(x+3)2(x-3)2 (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+2(x-1)2 (x+4y-6z)(x-4y+6z) (x-2y+3z)2 例1、已知：x2+y2+6x-8y+25=0, 求x,y的值； 1、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则m=_ 4、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b=_ 2、已知x2-8x+m是完全平方式，则m=_ 3、已知x2-8x+m2是完全平方式，则m=_ 4 16 4 4 -mx8 5.若 则m=( ) A. 3 B. -10 C. -3 D.-5 A 观察: 请你用正整数n的等式表示你发现的规律 _. 正整数n 观察下列各组数,请用字母表示它们的规律 n是正整数 观察下列各组数,请用字母表示它们的规律 n是正整数 设 (n为大于0的自然数). 探究an 是否为8的倍数，并用文字语言表述你 所获得的结论； 两个连续奇数的平方差是8的倍数