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1、2019/3/25,二次函数图象和性质,1,22.2 二次函数图象和性质,2019/3/25,二次函数图象和性质,2,知识回顾,1、二次函数的一般形式是怎样的？,y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0),2019/3/25,二次函数图象和性质,3,探究新知,你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：,9,4,1,1,0,4,9,2019/3/25,二次函数图象和性质,4,描点,连线,y=x2,2019/3/25,二次函数图象和性质,5,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线,这条抛物线关于 y轴
2、对称,y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,2019/3/25,二次函数图象和性质,6,议一议,(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？,观察图象,回答问题：,(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？,2019/3/25,二次函数图象和性质,7,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.,当x0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.,抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并
3、且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.,2019/3/25,二次函数图象和性质,8,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,做一做,你能根据表格中的数据作出猜想吗？,(2)先想一想，然后作出它的图象,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,在学中做在做中学,2019/3/25,二次函数图象和性质,9,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,y=-x2,2019/3/25,二次函数图象和性质,10,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.,当x0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x
4、的增大而减小.,y,抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.,2019/3/25,二次函数图象和性质,11,画一画,在同一坐标系中画出函数y=3x2和y=-3x2的图象,2019/3/25,二次函数图象和性质,12,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称
5、轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,归纳,2019/3/25,二次函数图象和性质,13,做一做,(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 , 在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧, y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小 值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).,(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最
6、大值是 , 当x 0时,y0.,2019/3/25,二次函数图象和性质,14,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,y=x2,画最简单的二次函数 y = x2 的图象,列表时应注意 什么问题？,描点法,列表,描点,连线,描点时应以哪些数值作为点的坐标？,连线时应注意什么问题？,2019/3/25,二次函数图象和性质,15,二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，,二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形，,一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a0） 的图象叫做抛物线y
7、 = ax2 + bx + c,抛物线 与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 的顶点,它是抛物线 的最低点,实际上, 二次函数的图象都是抛物线，,对称轴是y轴,这条抛物线是轴对称 图形吗？如果是， 对称轴是什么？,抛物线与对称轴 有交点吗？,2019/3/25,二次函数图象和性质,16,例题与练习,例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,8,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,4.5,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,2019/3/25,二
8、次函数图象和性质,17,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,观察,共同点:,不同点:,开口都向上;,顶点是原点而且是抛物线 的最低点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a|越大，,在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。,在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。,抛物线的开口越小。,2019/3/25,二次函数图象和性质,18,2019/3/25,二次函数图象和性质,19,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,-,-2.25,-,-0.25,-0.25,-,-2.25,-,-2,-2,-,-,-,-,-.,-.,-.,-.
9、,-.,-.,-.,-.,-4. 5,-4. 5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,2019/3/25,二次函数图象和性质,20,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,观察,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,共同点:,开口都向下;,不同点:,顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a| 越大，,在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。,在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。,抛物线的开口越小,2019/3/25,二次函数图象和性质,21,对比
10、抛物线，y=x2和y=x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=ax2呢？,在同一坐标系内,抛物线 与 抛物线 是关于x轴对称的.,2019/3/25,二次函数图象和性质,22,1、根据左边已画好的函数图象填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧， y随着x的增大而增大；在 侧， y随着x的增大而减小，当x= 时， 函数y的值最小，最小值是 ,抛物 线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的 左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ， 当x 0时，y0.,（0
11、，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,课堂练习,2019/3/25,二次函数图象和性质,23,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而减小。,当x0时, y随着x的增大而增大。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,归纳小结,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,抛物线的开口就越小.,|a|越小,抛物线的开口就越大.,2019/3/25,二次函数图象和性质,24,1、二次函数y=ax2的图象是什么
12、？,2、二次函数y=ax2的图象有何性质？,3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？,小结,2019/3/25,二次函数图象和性质,25,归纳,二次函数 的图象及性质：,1.图象是一条抛物线，对称轴是y轴， 顶点是原点。,2019/3/25,二次函数图象和性质,26,归纳,二次函数 的图象及性质：,2.当a0时，开口向上，顶点是最低点， a值越大，抛物线开口越小； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。,2019/3/25,二次函数图象和性质,27,归纳,二次函数 的图象及性质：,3.当a0时，开口向下，顶点是最高点， a值越大，抛物线开口越大； 在对
13、称轴的左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。,2019/3/25,二次函数图象和性质,28,巩固,1、说出下列函数图象的性质：,2019/3/25,二次函数图象和性质,29,2、已知二次函数 的图形经 过点(-2，-3)。 (1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置；,巩固,2019/3/25,二次函数图象和性质,30,巩固,3、若抛物线 的开口 向下，求n的值。,2019/3/25,二次函数图象和性质,31,巩固,4、若抛物线 上点P的坐标为 (2，-24)，则抛物线上与P点对称的点 P的坐标为 。,2019/3/25,二次函数图象和性质,32,巩固,5、若m0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、,y1、 y2、y3的大小关是 。,(m+3，y3)在抛物线 上，则,2019/3/25,二次函数图象和性质,33,再见,只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.,结束寄语,