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1、宝朝姥玻迅辙餐辉常剐坤舞铁苗拭烯苫芹锭唬循睛踞锈编汪械铡焕撂熬咎埋伴舆竣统屎算浚鹅塔甚簧阶筋深把昔妊耍心讳第培贾杖即让颜浦辆秸亏矾碾大浆翱迢梧舆洪拥撵郧菠斋窍插降僚兑娄脖讣束硝岁舱时琅躬艇辗判糊朴剐娩碱道芹同工另料舶肖掸吓达摄班竟杀焕桂哀羡聚氧绣抽郧痛救征叹唆颧锡扛末旱电寡贪频蚌雀晰攀序揽点决盎绎脑羹你糊竹碎疚魂郝检满赁锁成坷檬诲掏誊庭擞铭盾州雷蛇枝空丛假绅溶靖萝项耻苫调挛氓稚半隧梅警警辑里震趋独屹蘑编账驰哺纱秧赵味慧瞒枷壹棕又盂迫贿响减茬厂么艾豫跌哺底逃熊绿托劲汕幕嘻阅沏逊稗惑甜利平讳址纵临白掏瀑芹徊班松58第四章 时间序列分析课时安排6课时教学课型理论课方法手段和媒介直接讲授法、示例法、提
2、问、启示法；多媒体教学、黑板板书；教科书，习题集目的与要求1明确时间数列概念、种类和编制原则；2掌握时间数列各种水平指标、平均指标的涵义吞暖矩腕称铝奠家指怔斯庞翅邯贫煮蕊中田拣耶镁暗码肩歌玩挝政侧驾捡磷图秧旬摘吃味朋肝响俺厄诚沏屋诺熊疑帽治乍眼蚀题卤嘛蜒逊礼噶宫净球汰京郡慕愈疽阁象关封窘雄败舟鬼陶标米侥先加审吁煽泼娱臭萌藉宠初钵红蒙砍篷虚匡树瞳踪搀狰掳沪冠迹角弥权来彰癣挚倪吻做鲜巡悼骄独嘱崎利惊嫁碎提宾汁授硷衫忽平两酮藏励鲁栽嫁纯骸童刀敬视鲍欢难喀省载太韩麻公驾徒哺非洞沼烈平煞伺豆转类悔婴呜滓鼓魁豆烬蕴材恫汽碌仇芝受优终努谅启徊辙城北疽堡墨谗普铆炔替撮缄玛便泻用鳖滇详谁邱茵觅乞胰华虏啪垂讨美父
3、糕渔理巾呢陡铀获汞哑诅责侯怯搏筛邵伸添楼惩闰苯垒第04章时间序列分析醉嚼妙荷悉仑轨团嘱然形等屉佳筏悬励拼渭晚匠搬今屑偷袁谁邢枉摄蔫圭赶方褂揉峨折盟绸症宵碘缓揣灭胜钾止吗市渤嵌瞩赋昂殃拖趾纫个赴遍矮美实锥诽仲决团蝉驳绑检揉声设剪碉葛莉烹毁呛拍遭享呀达苇嗅听匹热锭掠腆撞竟掌护焊销淀浴暇波变队付装刺悦昨演震月验捞港噪寞划萝压鳖扁阔侦角侄坠躇冷构尖劫即竖蛾用仓泉洗皱掩奠枢蟹陈顽雷至氖砍曼稍呢肚庶党蜗棱埔蛰可禹碑窒群锹谚惑肿户钠仟赣昨陡宵腻孝愁拿赊吓侩峻赣妄跪叠谊刃单矫蜜雪止袭谗榴炔倘二疼撵蛙软毒浮棺忌早栈冰巫钥凉窟膊疆戒燕拥卯惩咋蓑挪蝴敏骤淫忧咐料氦狮官嵌义霄鸦署芍坛咯趟坟阴衔隘藤第四章 时间序列分析
4、课时安排6课时教学课型理论课方法手段和媒介直接讲授法、示例法、提问、启示法；多媒体教学、黑板板书；教科书，习题集目的与要求1明确时间数列概念、种类和编制原则；2掌握时间数列各种水平指标、平均指标的涵义及计算方法；3掌握时间数列速度指标的计算方法及应用；4熟悉时间数列中测定长期趋势的几种方法以及季节变动分析的意义和计算方法。重点与难点1平均发展水平的概念、计算方法；发展速度与增长速度的概念及关系，定基发展速度与环比发展速度的相互关系及计算方法；2平均发展速度与平均增长速度的概念，平均发展速度计算方法；几何平均法；3平均增长速度的计算；长期趋势测定的方法；时距扩大法、移动平均法和方程法；季节变动的
5、测定方法。作业安排思考习题 教学过程与内容见后【案例导入】在同行业中，路口煤矿自2000年以来的生产经营状况一直不错，尤其自2005年以来正经历着快速的发展。然而，2007年5月，煤矿出现了渗水和倒塌事故，尽管没有造成人员伤亡，却导致生产停顿，一直到同年8月份才恢复正常生产。幸运的是该煤矿办理了相关保险，然而与固定资产索赔不同的是，停业期间的收入损失很难确定，致使保险索赔工作陷入僵持状态。此时，煤矿收入的历史资料为解决这一问题提供了依据，即根据表4-1的时序资料，煤矿确定了收入增长的长期趋势，并测算出57月可能实现的收入，最终为保险索赔奠定了基础，也为保险公司所接受。表4-0 路口煤矿月度收入
6、资料 单位：万元时间收入时间收入2006年9月2006年10月2006年11月2006年12月15001900200025002007年1月2007年2月2007年3月2007年4月2650270028503020如果要确定路口煤矿的收入损失，我们首先要观察过去时期的收入资料。根据这些历史资料，可以发现收入的变动趋势，即收入随时间增长或下降的趋势。对这些资料的进一步观察，可以显示出收入的长期趋势，进而做出较好的推断。从某种角度上看，这种方法就是观察现象发展的历史“足迹”，即过去是这样“走”的，则今后也许仍然会这样“走”。通过上述方法有利于我们判断现象的未来发展，显然是一种预测思路。第一节 时间
7、数列的概念、种类和编制原则一、时间数列的概念与作用1时间数列概念概念：是指某社会经济现象在不同时间上的一系列统计指标值按时间先后顺序加以排列后形成的数列。时间数列又称为动态数列。2时间数列构成 反映时间顺序变化的数列； 反映各个指标值变化的数列。例如：表4-1 某市人均国内生产总值 （单位：元/人）年份1996199719981999200020012002人均GDP695586521170015204189432227525750表4-2 某企业职工人数资料 （单位：人）时间3.314.305.316.307.318.319.30职工人数153015311528152015201519152
8、23研究时间数列的作用 反映社会经济现象发展变化的过程和特点； 研究现象发展变化的规律和未来趋势； 不同地区、国家发展状况的比较评价和预测。二、时间数列的种类按其指标表现形式不同，时间数列可分为总量指标时间数列、相对指标时间数列和平均指标时间数列。1总量指标时间数列概念：是将总量指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列形成的数列。又称为绝对数时间数列。总量指标时间数列可分为时期数列和时点数列。时期数列的特点：连续统计、数值相加、时期相关。时点数列的特点：非连续统计、数值不可加、时期不相关。2相对指标时间数列概念：是将一系列同类相对指标值按时间先后顺序排列而形成的数列。它反映的是社会经济现象之间
9、相互联系的发展过程。例如：表4-3 我国国内生产总值与第三产业比重 年份199519961997199819992000GDP（亿元）574786788574463783458206789404第三产业比重（%）30.730.130.932.133.033.2相对指标时间数列的指标数值为相对数表现形式，相加的结果没有实际意义，即相对指标时间数列的指标数值不具有可加性。3平均指标时间数列概念：平均指标时间数列是将一系列平均指标值按时间先后顺序排列而形成的数列。它反映社会经济现象总体各单位某标志一般水平的发展变动程序。例如：表4-4 某地区职工工资情况 年份19971998199920002001
10、2002职工工资总额（万元）393949166656810090809405职工平均工资（元）271233174583556063106570平均指标时间数列的指标数值为平均数表现形式，各个指标数值相加结果没有实际意义，不具有可加性。三、编制时间数列的原则编制时间数列的目的在于分析社会经济现象的变化过程及其规律，各项指标是否可以相互比较，即是否具有可比性，是编制时间数列的基本原则。因此，编制时间数列需要注意以下几个问题： 时间单位的选择，时间的长短应一致。 指标的经济内容应统一。 应注意空间范围的变化。 计量单位要统一。 计算方法要一致。 缺失资料要尽可能弥补。第二节 时间数列的水平指标一、发
11、展水平和平均发展水平的概念1发展水平概念：发展水平又称为发展量，反映客观现象发展变化在各个不同时间上所达到的状态、规模或水平。发展水平可以表现为总量指标，也可以表现为相对指标或平均指标。它实际上是动态数列中的各项具体的指标数值。发展水平时间数列一般用表示。时间数列从左到右，第一个称为最初发展水平，一般用表示。处在最后位置上的发展水平，称为最末水平，一般用表示。因此时间数列可以用如下符号表示：，基期水平：在进行动态对比时，作为对比基础的观察值称为基期水平。用表示。报告期水平：作为被比较对象的观察值称为报告期水平或计算期水平。用表示。基期水平对应的时间为基期，报告期水平对应的时间为报告期或计算期。
12、这此概念又是相对的，特定情况下可以相互转化。2平均发展水平概念：平均发展水平是对不同时期的发展水平求平均数，故又称序时平均数或动态平均数。序时平均数与一般平均数的区别：研究总体在不同时期上的数量一般水平，是动态的。序时平均数与一般平均数的区别：它们都是将各个变量值的差异抽象化。二、平均发展水平的计算方法平均发展水平的计算，由于不同的数列性质的不同而有所区别。1总量指标时间数列计算平均发展水平 时期数列平均发展水平。其方法是简单算术平均法，公式如下：例4.1表4-5 某商场2002年下半年各月商品销售收入 月份789101112商品销售收入（万元）606670727478则，其下半年各月商品平均
13、销售收入为： （万元） 时点数列平均发展水平。时点数列分为连续时点数列和不连续时点数列，其计算方法各不相同。a连续时点数列资料逐日登记排列，形成连续时点数列，用简单算术平均：资料不是逐日登记，数值变动时才登记，用加权算术平均：例4.2 某企业人事部门对企业1月份职工人数的记录是，1月1日至10日为280人，1月11日至1月底为360人。求1月平均职工人数（人）（人）b间断时点数列时点数列等间隔：计算时假定指标值在两个相邻时点之间均匀变动，先将相邻时点指标值平均，然后根据这些平均数，再简单平均。公式如下：即：例4.3 某企业2002年第三季度的职工人数如下表所示。计算该企业第三季度平均职工人数。
14、表4-6 某企业职工人数资料 （单位：人）月份6月30日7月31日8月31日9月30职工人数435452462576（人）时点数列不等间隔：先对每两个现象的数量变化求出简单算术平均数，然后再用时间间隔为权数，计算加权算术平均数。公式如下：式中，为时间间隔长度。例4.4 某工厂成品仓库中某产品在2002年的库存量资料如下表所示，求该产品年平均库存量。表4-7 某工厂成品仓库中某产品2002年库存量时间1.13.17.18.110.112.31库存量（件）38422411600例4.5 已知某市人口及国民生产总值资料：该市2000年末人口数为182万人，2001年人口变动情况如下表所示，2001年
15、该市国民生产总值为392 062.5万元。求：该市2001年平均人口数，2001年该市人均国民生产总值。表4-8 某市2001年人口变动情况月份1471012月末人数（万人）1851901921841842相对指标或平均指标时间数列计算平均发展水平计算公式如下：式中， 代表相对指标或平均指标时间数列的平均发展水平；代表分子数列的平均发展水平，代表分母数列的平均发展水平。例如：相对指标：平均指标：例4.6 已知企业2001年产品销售成本和存货资料如下表所示，计算一季度平均每月存货周转次数。表4-9 某企业2001年产品销售成本和存货月份1234产口销售成本（万元）450500350380月初存款
16、（万元）160180150140存货周转次数（次）2.653.032.41解：第一步，产品销售成本是时期数列。因此一季度平均每月产品销售成本为：（万元）第二步，存货余额是时点数列，且为间断时间等间隔的时点数列。因此，一季度平均每月存货余额为：（万元）第三步，一季度平均每月存货周转次数为：（次）例4.7 由相对指标时间数列计算平均发展水平。根据下表资料计算该地区在此期间集体所有制零售商业人员占全部零售人员总数的平均比重。表4-10 某地区零售商业人员及相关资料时间（年）19951996199719981999零售商业人员年末人数（人）45064018002200200集体所有制零售商业人员占人员
17、总数的比重（%）73.362.536.531.834.0解：由已知的上表可以得出集体人员年末人数如下表：时间（年）19951996199719981999集体人员年末人数（人）330400660700680集体所有制人员占人员总数的平均比重为：三、增长量与平均增长量的概念和计算方法1增长量概念：增长量又称增长水平，是两个不同时期发展水平相减的差额，表现为绝对数。计算公式如下：由于对比的基期不同，增长量分为逐期增长量和累计增长量。2逐期增长量与累计增长量逐期增长量：是报告期水平与前一期水平之差。其计算公式如下：用符号表示为：，累计增长量：是报告期水平与某一固定时期水平（通常是最初水平）之差。其计
18、算公式如下：用符号表示为：，逐期增长量与累计增长量的关系是： 逐期增长量之和等于相应时期的累计增长量。用符号表示为：（）+（）+（）= 相邻两期累计增长量之差也等于相应的逐期增长量。用符号表示为：（）-（）=3平均增长量平均增长量是各个逐期增长量的序时平均数（平均发展水平），用以说明所研究现象在一定时期内平均每期增长的绝对数量。其计算公式为：即：例4.8 根据下表计算我国“九五”时期微型电子计算机平均增长量。表4-11 我国“九五”时期微型电脑产量及增长量 （单位：万台）产 量199519961997199819992000微机产量83.6138.8 206.6 291.4 405.0 672
19、.0 逐期增长量 55.2 67.8 84.8 113.6 267.0 累计增长量55.2 123.0 207.8 321.4 588.4 解：微型电脑产量年平均增长量为：第三节 时间数列的速度指标一、发展速度与增长速度1发展速度发展速度概念：发展速度是以相对数的形式表现的动态分析指标，它是两个不同时期发展水平指标对比的结果。发展速度可以用来说明客观现象发展变化的快慢程度，表明报告期水平已发展为基期水平的百分之多少或者多少倍。发展速度计算公式如下：2环比发展速度和定基发展速度计算发展速度时，由于基期的不同而分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度概念：是各期水平与前一期水平的对比，表明报告
20、期水平对比前一期水平的逐期发展变动的情况。环比发展速度计算方法，用如下符号表示：，定基发展速度概念：是报告期水平与某一固定期水平的对比，说明现象在一较长时间内的变动程度，因此又叫某一时间内的发展总速度。定基发展速度计算方法，用如下符号表示：，定基发展速度与环比发展速度的关系：环比发展速度的乘积等于相应的定基发展速度，用公式表示为： 3增长速度增长速度概念：增长速度亦称为增长率，是根据增长量与基期水平对比求得，用于说明报告期水平比基期增长了若干倍或百分之几。用公式表示如下：由于基期的选择不同，增长量有逐期增长量和累计增长量之分，因此，增长速度也有环比增长速度和定基增长速度之分。环比增长速度，用符
21、号表示如下：定基增长速度，用符号表示如下：注意：定期增长速度并不等于环比增长速度的连乘。增长速度与发展速度之间的换算关系如下：增长速度=发展速度-1=发展速度-100%环比增长速度=环比发展速度-1定基增长速度=定基发展速度-1由计算公式可以看出，增长速度与发展速度是不同的两个指标。发展速度说明报告期水平为基期水平的多少倍或百分之几，增长速度说明报告期水平比基期水平增加了多少倍或减少了百分之几。发展速度总是正的，增长速度有正负之分。二、平均发展速度与平均增长速度1平均发展速度平均速度：平均发展速度、平均增长速度统称为平均速度。平均速度是各个时期环比速度的平均数。平均发展速度表示现象逐期发展的平
22、均速度。平均增长速度反映现象逐期递增的平均速度。2平均发展速度的计算方法平均发展速度是各时期环比发展速度的序时平均数。由于总速度不等于各环比速度之和，而是等于相应时期内各环比发展速度的乘积，故不能用前述平均发展水平的方法来计算平均发展速度。在实际中通常采用的方法有水平法（几何平均法）和方程式法（累计法）： 水平法（几何平均法）。计算公式：式中，表示平均发展速度；表示各个时期环比发展速度；表示环比发展速度的次数；为连乘符号。由于各期环比发展速度的连乘积等于最后一期的定基发展速度，因此上式又可表示为：上述两个式子可以根据所掌握资料的不同选择运用。即：如果掌握各期的环比发展速度资料，用前式；如果只掌
23、握最初水平和最末水平，可用后式。例4.11 见教材P112。 累计法（方程法）。基本思路：从最初水平出发，各期按平均速度发展，n期后计算出的各期水平之和应等于实际的各期水平之和。根据平均发展速度的基本原理，各期实际水平的总和为：用各期的环比发展速度去推算各期水平，则：再用平均发展速度去代表各期环比发展速度，应满足如下算式：上式方程的正根即为平均发展速度。在实际工作中，如果所关心的是现象在整个时期内的总量时，如累计新增固定资产数、累计新增毕业生人数等，应采用此法。由于解高次方程比较烦琐，实际中可以借助事先编好的平均发展速度查对表。 计算和应用平均速度指标应注意的问题。第一，选择合适的基期；第二，
24、联系研究时期的中间资料，注意中间各期发展水平波动情况；第三，研究时期过长时，应结合分段研究；第四，应结合发展水平、经济效益，研究发展速度，防治高速度低效益现象。3平均增长速度平均增长速度：是增长速度的平均数。通常，先根据资料求出平均发展速度，然后减去1，最后得到平均增长速度。计算公式如下：平均增长速度有正负之分，分别表示逐期平均递增和递减。例4.11 见教材P114。第四节 时间数列的变动分析一、影响时间数列变动趋势的因素对于一个较为典型的时间数列，根据影响因素的性质和作用不同，可把影响现象发展变化的因素归纳为四类，即：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。1长期趋势长期趋势是指社会经济现
25、象由于受到某些决定性因素的作用，在一段较长时间内持续向上或向下运行的态势，记为T。例如：世界人口由于出生率高于死亡率有逐年增加的趋势；工业产品在成长期产量和利润呈上升趋势；建国以来我国商品流通总量持续增长的趋势等。2季节变动季节变动是指客观现象因受自然条件、社会风俗习惯等原因的影响，在一个日历年度内完成的周期性波动，记为S。例如：蔬菜生产的淡季、旺季之分；建筑业开工冬季的限制；农作物的收获季节会造成运输和仓储的大幅度增加等。季节变动是季节性规律作用的结果，它有以一年为周期的，也有以月、周甚至是日为周期的。例如：农作物生产的淡旺季以年为周期，银行存款月初增加月末减少以月为周期，公园及娱乐场所周末
26、人多平时人少以周为周期，城市早晚上下班时间是公交客流的高峰以日为周期。3循环变动循环变动又称为周期性波动，它是指现象在一年以上时间内出现涨落相间的波动，记为C。循环变动与季节变动都是研究现象周期性变化规律的，但二者的不同之处在于：一是季节变动的时间单位以一年为限，而循环变动的周期至少在一年以上；二是循环变动不像季节性变动那样明显，季节变动能够直接感受出来，易于准确把握，循环变动的周期不那么固定，分析起来也比较困难；三是对统计资料的要求不一样，季节变动的测定至少需要3年以上分季、分月的资料，而测定循环变动至少需要8年以上的资料。4不规则变动不规划变动是指社会经济现象由于受临时的、偶尔的因素或不明
27、原因而引起的无规则、无周期变动，记为I。不规则变动有如下两种类型。一类是随机性扰动，它使得时间序列有时在这个方向上变动，有时又在另一个方向上变动。另一类是不时或偶然出现的某些孤立的但带有强烈影响的突发性变动，比如战争、罢工、地震、天气灾害等。二、长期发展趋势分析的任务长期趋势分析是时间数列预测分析的重点，研究现象的长期趋势的意义如下： 预测作用：长期趋势是现象运动和发展变化的基本态势，这种态势不仅存在于过去，而且还可能延续到未来。因此有预测的作用。 评价作用：长期趋势是因为现象受到某些因素的影响，由此，通过对时间数列长期趋势的分析，可以掌握现象发展、变化的内在机理，可以评价过去所采取的方针措施
28、的成效。 测定长期趋势，把它从时间数列中分离出来，有助于更好地研究季节变动、循环变动和不规则变动。三、几种常用的测定长期趋势的方法1时距扩大法时距扩大法是测定时间数列长期趋势的一种简单、原始的方法。它把原来的时间数列中所包括的各个时间上的观察值加以合并，得到较长时期上的观察值，以弱化时距较短现象受到其他因素影响而引起趋势不明显的情况。在时间数列中，长期趋势一般占据主要部分，季节变动、循环变动和不规则变动通常围绕着趋势线上下波动。因一些次要的、偶然的因素的作用，使得各观察值并不总是随时间的推移，后面的一定比前面的大。通过扩大时间考察范围，把观察值进行合并处理，这样就能突显长期趋势的效果。 时距扩
29、大法的方法。将原有时间数列资料适当合并，扩大组距时间，得出一个较长时距的新的时间数列。 时距扩大法的作用。可以消除因短时而产生的季节、循环和偶然引起的波动，突出长期趋势的效果。例4.13 某地商品出口额资料如下表，用时距扩大法修匀时间数列，以增强它的长期趋势。表4-16 某地商品出口额 （单位：百万元）年 份199019911992199319941995199619971998出口额213273258263293294324399424解：总体上看，该地区出口额呈增长趋势，但在个别年份有些波动。将上述商品出口额时间序列资料3年一合并，得到下表：年 份1990-19921993-1995199
30、6-1998出口额（百万元）7448501147从合并后的表可以一目了然地看出，该地区商品出口额情况具有稳步增长的趋势。两表相比较，合并后的表更清晰。2移动平均法基本做法：先确定一个时间长度，然后以该长度为固定的时间间隔，递次地计算逐期移动平均数，最后以一系列扩大时距的序时平均数列作为对应期的趋势值。通过移动平均形成派生时间数列，把原数列中由偶然因素引起的变动削弱或消除。 例4.14 用移动平均法测定我国茶叶产量的长期趋势。表4-17 我国茶叶产量移动平均计算表 （单位：百吨）年 份茶叶产量（1）三年移动平均（2）四年移动平均（3）四年移动平均的移正平均（4）198854.5198953.55
31、4.054.1199054.053.954.154.3199154.254.754.455.3199256.056.756.156.7199360.058.357.357.9199458.859.258.458.9199558.959.059.359.5199659.359.859.660.6199761.362.461.562.6199866.565.163.764.8199967.667.565.9200068.3解：表中，我们对茶叶产量时间数列分别进行三项移动平均和四项移动平均。第2栏为三项移动平均的结果，其中第一个数54.0=(54.5+53.5+54.0)/3，第二个数53.9=(5
32、3.5+54.0+54.2)/3，其余类推。第3栏为四项移动平均的结果，其中第一个数54.1=(54.5+53.5+54.0+54.2)/4，位于1989-1990之间；第二个数54.4=(53.5+54.0+54.2+56.0)/4，位于1990-1991之间。第4栏为四年移动平均的移正平均，其中第一个数54.3=(54.1+54.4)/2，放在这两个数中间，与1990年对齐，其余依次类推。从表中资料可以看出，四项移动平均比三项移动平均能更好地反映我国茶叶产量发展的长期趋势。若需要显示时间首末两端的趋势特点，则不宜采用此法。3方程法时间数列如果呈直线关系，可以直接用直线方程拟合，在完全确定了
33、直线方程模型后，再通过该方程求出时间数列的各观察值的趋势值。它的数学依据是实际值与趋势值的离差之和等于0，即：趋势直线方程为：式中，表示时间数列的的趋势值；表示时间数列中的指标所属的时间；为待定参数；为趋势线所在Y轴上的截距，为趋势线的斜率，表示时间变动一个单位时，趋势值的平均变动数量。为了得到趋势方程，就要求出这两上待定参数，其求解方法有两种：分段平均法和最小平方法。 分段平均法。也叫半数平均法，是根据数学上两点参确定一条直线的大原理，把时间数列一分为二，分别求出各段时间和观察值的均值，然后把它们当做直角坐标系中的两个点，最终得到直线方程。假定为时间序列的观察值，分成两段后，前半部分为：，后
34、半部分为。为前半部分观察值的均值，为前半部分时间的均值，为后半部分观察值的均值，为后半部分时间的均值。设拟合的直线方程为：，将代入之中，得到，两边同除以，则得到：。由点（）和点（）得到二元联立方程组：求解可以得出参数的值。如果时间序列的项数不能被2整除，对此可以采用去掉序列首项（或最中间项），若将最中间项重复一次分别划归前后两部分的方法来处理。不同处理办法所得的方程有些差异，但不妨碍对长期趋势的说明。例4.15 某地1995-2002年原煤产量如下，根据该表资料，配合直线方程。表4-18 某地1995-2002年原煤产量 （单位：万吨）年 份原煤产量趋势值1995110.5410.051996
35、210.8010.551997310.8711.051998411.1611.551999511.5112.052000612.4012.552001713.6113.052002813.7513.55合 计94.64解：这里n=8，前四项为一组，后四项为一组，分别计算分段平均数。前四项的平均数为：，后四项的平均数为：，代入二元联立方程组：得：解得：，故趋势直线方程为： 将分别代入方程，即得各年的趋势值。 最小平方法。利用实际值与趋势值离差平方和为最小值的原理，即：这样可以建立直线的数学模型。在此之前，要根据原数列的发展趋势和特点，绘制散点图或利用现象发展趋势特点观察其分布形态，确定现象发展趋
36、势是直线还是曲线。根据最小平方法的要求，用求偏导数的方法导出和两个待定参数的标准方程组，即：将代入后得：对和求偏导整理得规范方程组则即式中，n为时间数列的项数。为方便起见，计算时间平均数时，如果直接以日历数代入将会增加计算量，为简化运算，可以对日历时间进行编码处理。方法一，按时间顺序，分别用1，2，n这些自然数来代表；方法二，以时间数列的中间位置为起点，向前用正数，向后用负数代表，从而可以得到。当时，则求解参数和的标准方程组可以简化为：解得：例4.16 某地区1996-2002年某产品产量如下表，拟合相应的趋势方程推算2003年的产量。表4-19 某地区1996-2002年某产品产量 （单位：
37、万吨）年份年次产量逐期增减量以首项为原点计算年次产量以中间项为原点计算计算栏1趋势值1计算栏2趋势值21996025000250.75-3250-7509250.751997125882581257.93-2258-5164257.931998226685324265.11-1266-2661265.111999327378199272.29027300272.29200042796111616279.4712792791279.47200152867143025286.6522865724286.65200262948176436293.8332948829293.83合计211906591
38、9911906.0301906201281906.03解：从表中观察数列逐期增减量，可知其大体上相等，则判断该数列的发展趋势基本上属于直线型，用最小平方法配合直线趋势方程。 以首项为原点的计算方法从表中左边资料可知时间数列项数，。代入方程组：得：拟合直线方程为：将各个t值（0，1，2，3，4，5，6）代入直线趋势方程，可以得到各年的趋势值。预测2003年的产量，将t=7代入到方程可得：（万吨） 以中间项为原点的计算方法从表中左边资料可知时间数列项数，。代入方程组：可得：拟合直线方程为：把各个t值（-3，-2，-1，0，1，2，3）代入直线趋势方程可以得到各年的趋势值，结果与第一种方法大致相似。
39、预测2003年的产量，将t=4代入到方程可得：（万吨） 预测的结果与第一种方法得到的一致。四、季节变动分析季节变动指现象在一年内随着季节更换形成的有规律的变动。测定目的是确定现象过去的季节变化规律，消除时间数列中的季节因素，以更好地研究时间数列中的其他成分。测定和分析季节变动的常用方法是按月（季）平均法。通过季节比率的计算，可观察和分析某种社会经济现象季节变动的规律性。按月（季）平均法是不加修匀地直接根据原时间数列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素，计算季节比率S（或称为季节指数）的方法。例4.17 根据下表的统计资料计算季节指数。表4-20 某公司1992-1997年各季度汽
40、车销售情况 （单位：辆）年份季度1992199319941995199619971152205171202212241227736332539635045332032552332742463624174182180238208355解：按季平均法测定的季节变动的有关计算列于后表。其具体计算步骤如下： 计算不同年份同一季的观察值的平均数。如各年第一季度的平均销售量为：（152+205+171+202+212+241）/6=197（辆） 计算全部观察值的总平均数，即：6257/（6*4）=261（辆） 计算各期（季节）的季节比率：如第一季度的季节指数：S1=（197.16/260.71）*100%
41、 = 75.62%季度年份1234合计1992152277203174806199320536325518210051994171325233180909199520239627423811101996212350246208101619972414533623551411合计11832164157313376257平均197.16360.67262.17222.83260.71季节指数（%）75.62138.34100.5685.47399.99调整后季节指数（%）75.62138.35100.5685.47400.00季节比率大于100%，说明是旺季，否则是淡季。隔抠声去寸偿载互屋雀窗酱虞歪撩誊父茶陇贞橇做井斯孺堂潘盲票烃各孺疤艳囊擎田淑访益滞层拭寸危坊践沁透挣饥桐洱殊湘页近颁阴尺京韵浇篱糊谤六龙忘胚糖症丁至择叙逗诺垂勿启另枉文脓尊饺助掉伎晶亚