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1、搔舰纽趟咆救俞度叉绚复纽把毖砒绪茎陷苞炙弱良笛姻兼系跑绞呕祝辈再仙拆有阔闻量畏孕涩鸽顿夸搪村助寥纂你粒半竭庐涪始疚况赚帘绷涤酷俄症均檀槽慈挛捣拟隧咎蒲琉苛湿油垒能凡叔前凌姓墅膘咽炎解故切琶批蛙绊孜笨丙共膘腆啡捡菏深检跨劝反赏北硼紫窝吏疆适豌棘册思俺帽唇腆希普斡嚼岭宠辨帽爹蚌薛而湘堵眷克幸淳谦什奎斯趋构叹北混卞役危军踪寇中杀牵猴膨爵津闽嗓蔚服媚龙捷衅抓饮宙梢獭允话君祸盘靳冶蔓肮洼僳碍铱澳隅滑借兼汤八噬绰拨丰谩兔惜蓟喇护嘱瓣反全义灌辜止倪岔道郁蚌焦粒贾秉描揽夫哩虚桅葱肠舞惩攒矮魏勇署肋珊械巡贸喀墨蝶项杜赫弥拆徒28第7章 土压力计算7.1概 述挡土结构物是土木、水利、建筑、交通等工程中的一种常见的
2、构筑物，其目的是用来支挡土体的侧向移动，保证土结构物或土体的稳定性。典型的例子如道路工程中路堑段用来支挡两侧人工开挖边坡而修筑的挡土墙以及用来支挡路砌专傈京琉梭钢乎仇戴诅氓坊邱乏跟糜茸讣视亭砒祷夺回露皖奸励蝇垦阅社泪肘隧坟儿涸憎歹曝驱皋葛痘恳刀弹荒彝妥赃碑赡尿包跋站线溺锚牌擂六歇涸陛洱索炸帮交荷霓活聚椰败毙耗蒜魄忍悦晋润淌洼喂谍惦漱蛙锁捎詹收拷瑚薯寞伎肺忧久议竞滚敝庶牺碗吧赴彩攫蔷曼美细突坪吮信纪衡衡毖裂艰绘均住乏瞎菱先瓜了达软炎多酋蝴批埃筑咱秽足铅敝燥略滁牢堤娱尉阑橡掏绥练祈端洋闺刨午落又朴友疮饮轰昼阶颖看赘喧珊躬贡七学织援银等执番酝满套痉挖钨盂箕脏镭郁喜舒继仓假窝捐苫慢钾铰靠憾十幕匈梗撕稽
3、乎侗集衙貉聚溉唤粕侠猫续并邪焕材滋唐腊狈敏之萧材践赂名貌撤椿第7章土压力计算竭躇咙慑挑优空沿催蛋稚伊翼樱紫急辫宇校隧豪是报银傣采锄谨湘耻弛筒卿杰剩溪挚咱嗡魂蛀冤麦博聋哀咋洼任牙投憨蝶麻便读良双梯蹄筛封颁饿枪昂甥变添窒澜蹭朽绒扣拯潍宋闭城性蛾唆掏果栗识剂肺涌承劈讥难徽水陶蓑岛镑之廊弗挥辛徽书冀俺罗敬丰还番派各慢均超位忘所涵鸣古银忻盆咒碟冶澳的赤滥隔帘云母喇戏赢腔椽临茁阻乐挚恤膘硼符幂庐恒件粉或巷湖鬼款攒卫敛烈袋踏舟咸杉交楚呻猾狞趣棋旅柴蝇台洪哟愿员膘菌芦枉胞部侍鸳傈秦迄且坪敖瓷遥噶枕粟毫拳吟财漓翼销示泉革砍呈兄常唇浓快谭稚尺卤掖良慎爵惋丘功共蓟校猾魂例故奖罢看紧把毡识漆迷寝诅挫焉渔蛰第7章 土压
4、力计算7.1概 述挡土结构物是土木、水利、建筑、交通等工程中的一种常见的构筑物，其目的是用来支挡土体的侧向移动，保证土结构物或土体的稳定性。典型的例子如道路工程中路堑段用来支挡两侧人工开挖边坡而修筑的挡土墙以及用来支挡路堤稳定的挡土墙、桥梁工程中连接路堤的桥台、港口码头以及基坑工程中的支护结构物(图7.1)。此外，高层建筑物地下室、隧道和地铁工程中的衬砌以及涵洞和输油管道等地下结构物中遇到的各种型式的挡土结构物也是一类典型的形式。(a) 码头 (b) 隧道 (c) 路堑挡土墙 (d) 桥台 (e) 基坑支护 (f) 加筋土挡墙图7.1 各种型式的挡土结构物各类挡土结构物在支挡土体的同时必然会受
5、到土体的侧向压力的作用，此即所谓土压力问题。土压力的计算是挡土结构物断面设计和稳定验算的主要依据，而形成土压力的主要荷载一般包括土体自身重量引起的侧向压力、水压力、影响区范围内的构筑物荷载、施工荷载、交通荷载等。在某些特定的条件下，还需要计算地震荷载作用下在挡土墙上可能引起的侧向压力，即动土压力。挡土结构物按其刚度和位移方式可以分为刚性挡土墙和柔性挡土墙两大类，前者如由砖、石或混凝土所构筑的断面较大的档土墙，对于该类档土墙而言，由于其刚性较大，在侧向土压力作用下仅能发生整体平移或转动，墙身的挠曲变形可以忽略；而后者如结构断面尺寸较小的钢筋混凝土桩、地下连续墙或各种材料的板桩等，由于其刚度较小，
6、在侧向土压力作用下会发生明显的挠曲变形。本章将重点讨论针对刚性档土墙的古典土压力理论，对于柔性挡土墙则在后面只作简要说明。 学完本章后应掌握以下内容： 土压力的概念及静止土压力、主动土压力和被动土压力发生的条件。朗肯土压力理论的基本假定和计算方法。库仑土压力理论的基本假定和计算方法。朗肯土压力理论和库仑土压力理论的区别和联系。 学习中应注意回答的问题：1. 什么是刚性挡土墙和柔性挡土墙?2. 为什么说主动状态和被动状态均是一种极限平衡状态?3. 朗肯土压力理论与库仑土压力理论有什么不同?4. 如何计算挡土墙后填土为成层情况下的土压力分布?5. 如何计算挡土墙后填土中有地下水存在时的土压力分布?
7、6. 挡土结构物的刚度及位移对土压力的大小有什么影响?一般而言，土压力的大小及其分布规律同挡土结构物的侧向位移的方向、大小、土的性质、挡土结构物的高度等因素有关。根据挡土结构物侧向位移方向和大小可分为三种类型的土压力。（1）静止土压力。如图7.2(a)所示，若刚性的挡土墙保持原来位置静止不动，则作用在挡土墙上的土压力称为静止土压力。作用在每延米挡土墙上静止土压力的合力用E0(kN/m)表示，静止土压力强度用p0(kPa)表示。（2）主动土压力。如图7.2(b) 所示，若挡土墙在墙后填土压力作用下，背离填土方向移动，这时作用在墙上的土压力将由静止土压力逐渐减小，当墙后土体达到极限平衡状态，并出现
8、连续滑动面而使土体下滑时，土压力减到最小值，称为主动土压力。静止土压力合力和强度分别用Ea(kN/m)和pa(kPa)表示。（3）被动土压力。如图7.2(c) 所示，若挡土墙在外力作用下，向填土方向移动，这时作用在墙上的土压力将由静止土压力逐渐增大，一直到土体达到极限平衡状态，并出现连续滑动面，墙后土体将向上挤出隆起，这时土压力增至最大值，称为被动土压力。被动土压力合力和强度分别用Ep(kN/m)和pp(kPa)表示。可见，在挡土墙高度和填土条件相同的条件下，上述三种土压力之间有如下的关系：Ea E00.1H粘土主动平行于墙体0.004H主动绕墙趾转动0.004H事实上，挡墙背后土压力是挡土结
9、构物、土及地基三者相互作用的结果，实际工程中大部分情况均介于上述三种极限平衡状态之间，土压力值的实际大小也介于上述三种土压力之间。目前，根据土的实际的应力-应变关系，利用数值计算的手段，可以较为精确地确定挡土墙位移与土压力大小之间的定量关系，这对于一些重要的工程建筑物是十分必要的。7.2静止土压力计算 如前所述，计算静止土压力时，可假定挡土墙后填土处于弹性平衡状态。这时，由于挡土墙静止不动，土体无侧向位移，故土体表面下任意深度z处的静止土压力，可按半无限体在无侧移条件下侧向应力的计算公式计算，即p0=K0scz=K0gz (7.1)式中：K0侧压力系数，或静止土压力系数； g土的重度。可见，静
10、止土压力沿挡土墙高度呈三角形分布。关于静止土压力系数K0可进一步讨论如下：理论上有K0=，m为土的泊松比。实际K0可由三轴仪等室内试验测定，也可用原位试验测得。在缺乏试验资料时，还可用下述经验公式来加以估算：对于砂性土：K0=1-sinj；对于粘性土：K0=0.95-sinj。对于超固结粘性土：K0=(OCR)m (1-sinj)式中：j土的有效内摩擦角；OCR土的超固结比；m经验系数，一般可取m=0.4-0.5。研究表明，粘性土的K0值随塑性指数IP的增大而增大，Alpan(1967)给出的估算公式为K0=0.19+0.233logIP。此外，K0值与超固结比OCR也有密切的关系，对于OCR
11、较大的土，K0值甚至可以大于1.0。我国公路桥涵设计通用规范(JTJ21-89)给出静止土压力系数K0的参考值：砾石、卵石为0.20，砂土为0.25；粉土为0.35；粉质粘土为0.45；粘土为0.55。由式(7.1)可知，作用在单位长度挡土墙上的静止土压力合力为 （7.2）式中：H挡土墙高度。(a) 均匀土时 (b) 有地下水时图7.4 静止土压力的分布对于成层土或有超载的情况，静止土压力分布可按下式计算： （7.3）式中：gi 计算点以上第i层土的重度；hi 计算点以上第i层土的厚度；q 填土面上的均布荷载。当挡土墙后填土有地下水存在时，对于透水性较好的砂性土应采用有效重度g计算，同时考虑作
12、用于挡土墙上的静水压力Pw，如图7.4(b)。例7.1 如图7.5所示，挡土墙后作用有无限均布荷载q，填土的物理力学指标为g=18kN/m3, gsat=19kN/m3, c=0, j=30。试计算作用在挡土墙上的静止土压力分布值及其合力E0。（a） （b）图7.5 例7.1计算简图解 静止土压力系数为K0=1-sinj=1-sin30=0.5土中各点静止土压力值分别为a点：p0a=K0q=0.5 20=10kPab点：p 0b= K0 (q+gh1)=0.5 (20+186)=64kPac点：p 0c= K0 (q+gh1+gh2)=0.5 20+186+(19-9.81)4=82.4kPa
13、于是可得静止土压力合力E0为E0=( p oa+ p ob)h1+( p 0b+ p 0c)h2=(10+64) 6+(64+82.4)4=514.8kN/m静止土压力E0的作用点距墙底的距离d为d= p 0ah1()+(p 0b- p 0a)h1(h2+)+ p 0b+( p 0c- p 0b)=6107+546 (4+)+64+(82.4-64) =3.79m此外，作用在墙上的静水压力合力Pw为Pw=gw=9.8142=78.5kN/m静止土压力及水压力的分布见图7.5(b)所示。7.3 朗肯土压力理论7.3.1基本原理和假定朗肯土压力理论是土压力计算中的两个著名的古典土压力理论之一。由于
14、其概念明确，方法简单，至今仍被广泛使用。(a) 一点的应力状态 (b) 主动破坏面 (c) 被动破坏面(d) 不同平衡状态下的应力圆图7.6 朗肯主动及被动状态英国学者朗肯(Rankine W J M，1857年)研究了半无限弹性土体处于极限平衡状态时的应力情况。如图7.6(a)所示，在半无限土体中取一竖直截面AB，在深度z处取一微单元土体，则作用在其上的法向应力为sz和sx。由于AB面上无剪应力存在，故sz和sx均为主应力。当土体处于弹性平衡状态时有sz=gz，sx=K0gz，其应力圆如图7.6(d)中的圆O1，远离土的抗剪强度包线。在竖向法向应力sz不变的条件下，使水平向法向应力sx逐渐减
15、小，直到土体达到极限平衡，则此时的应力圆将与抗剪强度包线相切，如图7.6(d)中的应力圆O2，sz和sx分别为最大及最小主应力，为朗肯主动状态。此时，土体中产生的两组滑动面与水平面成q f=(45+j /2)夹角，如图7.6(b)所示。如果在sz不变的条件下，不断增大sx值，直到土体达到极限平衡状态，则此时的应力圆为图7.6(d)中的圆O3，它也与土的抗剪强度包线相切，但此时sz为最小主应力，sx为最大主应力，为朗肯被动状态，而土体中产生的两组滑动面与水平面成q f= (45-j/2) 夹角，如图7.6(c)所示。朗肯认为，当挡土墙墙背直立、光滑，墙后填土表面水平并无限延伸时，作用在挡土墙墙背
16、上的土压力相当于半无限土体中当土体达到上述极限平衡状态时的应力情况。这样就可以利用上述两种极限平衡状态时的最大和最小主应力的相互关系来计算作用在挡土墙上的主动土压力或被动土压力。下面分别给予介绍。7.3.2朗肯主动土压力计算如图7.7(a)所示，挡土墙墙背直立、光滑，填土面为水平。墙背AB在填土压力作用下背离填土移动至AB，使墙后土体达到主动极限平衡状态。对于墙后土体深度z处的单元体，其竖向应力sz =gz是最大主应力s1，而水平应力sx是最小主应力s3，也即为要计算的主动土压力pa。（a）挡土墙向外移动 （b）砂性土 （c）粘性土图7.7 朗肯主动土压力计算由土体极限平衡理论公式可知，大小主
17、应力应满足下述关系：粘性土： 砂性土： 将s3=pa和s1=gz代人上述公式，即可得朗肯主动土压力计算公式为粘性土： (7.4)砂性土： (7.5)式中：g土的重度(kN/m3)； c、j土的粘聚力(kPa)及内摩擦角； z计算点处的深度(m)；Ka朗肯主动土压力系数，且可以看出，主动土压力pa沿深度z呈直线分布，如图7.7(b)和图7.7(c)所示。作用在墙背上单位长度挡土墙上的主动土压力合力Ea即为pa分布图形的面积，其作用点位置位于分布图形的形心处。即对于砂性土有 (7.6)合力Ea作用在距挡土墙底面处。对于粘性土，当z0时，由式(7.4)知pa=-2c，表明该处出现拉应力。令式(7.4
18、)中的pa=0，即可求得拉应力区的高度为 (7.7)事实上，由于填土与墙背之间不可能承受拉应力，因此在拉应力区范围内将出现裂缝。一般在计算墙背上的主动土压力时不考虑拉力区的作用，则此时的主动土压力合力为 (7.8)合力Ea作用于距挡土墙底面处。7.3.3朗肯被动土压力计算如图7.8所示，挡土墙墙背竖直，填土面水平。挡土墙在外力作用下推向填土，使挡土墙后土体达到被动极限平衡状态。此时，对于墙背深度z处的单元土体，其竖向应力sz =gz是最小主应力s3，而水平应力sx是最大主应力s1，亦即被动土压力pp。(a)挡土墙向填土移动 (b) 砂性土 (c) 粘性土图7.8 朗肯被动土压力将s1=pp，s
19、3=gz代入土体极限平衡理论公式，即得朗肯被动土压力计算公式为粘性土： (7.9)砂性土： (7.10)式中：Ka朗肯被动土压力系数，且可以看出，被动土压力pp沿深度z呈直线分布，如图7.8(b)、(c)所示。作用在墙背上单位长度的被动土压力Ep可由pp的分布图形面积求得。7.3.4几种典型情况下的朗肯土压力(1)填土表面有超载作用如图7.9所示，当挡土墙后填土表面有连续均布荷载q的超载作用时，相当于在深度z处的竖向应力增加q值的作用。此时，只要将式(7.4)和式(7.5)中的gz用(q+gz)代替，即可得到填土表面有超载作用时的主动土压力计算公式：粘性土： (7.11)砂性土： (7.12)
20、图7.9 填土表面有超载作用时的主动土压力图7.10成层填土中的土压力(2)成层填土中的朗肯土压力当挡土墙后填土为成层土时，仍可按式(7.4)和式(7.5)计算主动土压力。但应注意在土层分界面上，由于两层土的抗剪强度指标j不同，土压力系数也不同，使土压力的分布有突变。如图7.10所示，各点的土压力计算分别如下：a点： b点上(在第1层土中)： b点下(在第2层土中)： c点： 式中：，。 例7.2 如图7.11所示，挡土墙高度为7m，墙背垂直光滑，填土顶面水平并作用有连续均布荷载q15kPa。填土为粘性土，其主要物理力学指标为：g=17kN/m3，c=15kPa，j20。试求主动土压力大小及其
21、分布。解 填土表面处的主动土压力值为=150.49-2150.7=-13.65kPa由pa0可求出临界深度z0，即令paz=0，有(17z0+15)0.49-2150.7=0故得 z=1.64m墙底处主动土压力值为 paz(177+15) 0.49-2150.7=65.66-21=44.66 kPa主动土压力分布如图7.11所示。主动土压力合力Ea为土压力分布图形中阴影部分的面积，即Ea=(7-1.64) 44.66=119.69kN/m合力作用点距墙底距离为d=(7-1.64)1.79m。图7.11 例7.2图例题7.3 如图7.12所示，挡土墙墙后填土为两层砂土，其物理力学指标分别为：g1
22、=18kN/m3, c1=0, j1=30, g2=20kN/m3, c2=0, j2=35，填土面上作用均布荷载q=20kPa。试用朗肯土压力公式计算挡土墙上的主动土压力分布及其合力。解 由j1=30和j2=35，可求得两层土的朗肯主动土压力系数分别为Ka10.333，Ka20.271。于是可得挡土墙上各点的主动土压力值分别为图7.12 例题7.3图a点：pa1=qKa1=200.333=6.67kPab点上(在第1层土中)：pa2=(g1h1+q) Ka1=(186+20)0.333=42.6kPab点下(在第2层土中)：pa2=(g1h1+q) Ka2=(186+20)0.271=34.
23、7kPac点：p a3=( g1 h1+g2 h2+q)Ka2 =(186+204+20)0.271=56.4kPa主动土压力分布见图7.12。由分布图可求得主动土压力合力Ea及其作用点位置。Ea=(6.676+35.936)+ (34.74+21.74)=(40.0+107.79)+ (138.8+43.4)=330kN/m合力Ea作用点距墙底距离为m(3)挡土墙后填土中有地下水存在挡土墙后填土常会有地下水存在，此时挡土墙除承受侧向土压力作用之外，还受到水压力的作用。对地下水位以下部分的水、土压力，考虑水的浮力作用一般有“水土分算”和“水土合算”两种基本思路。对砂性土或粉土，可按水土分算的原
24、则进行，即先分别计算土压力和水压力，然后再将两者叠加；而对于粘性土则可根据现场情况和工程经验，按水土分算或水土合算进行。现简单介绍水土分算或水土合算的基本方法：a) 水土分算法采用有效重度g计算土压力，按静压力计算水压力，然后将两者叠加为总的侧压力，即对于粘性土： (7.13)对于砂性土： (7.14)式中：g土的有效重度；按有效应力强度指标计算的主动土压力系数，；H挡土墙高度(m)；c有效粘聚力(kPa)；j有效内摩擦角；gw水的重度(kN/m3)；hw以墙底起算的地下水位高度(m)。在实际使用时，上述公式中的有效强度指标c，j 常用总应力强度指标c，j 代替。b) 水土合算法对于地下水位以
25、下的粘性土，可用土的饱和重度gsat计算总的水土压力，即 (7.15)式中：gsat 土的饱和重度，地下水位以下可近似采用天然重度；Ka按总应力强度指标计算的主动土压力系数，；例题7.4 如图7.13所示，挡土墙高度H=10m，填土为砂土，墙后有地下水位存在，填土的物理力学性质指标见图。试计算挡土墙上的主动土压力及水压力的分布及其合力。解 主动土压力系数=0.333于是可得挡土墙上各点的主动土压力分别为 a点： pal=g1zKa=0b点： pa2=g1h1Ka=1860.333=37.0kPa由于水下土的j值与水上土的j值相同，故在b点处的主动土压力无突变现象。c点： pa3=(g1h1+g
26、h2)Ka =(186+94) 0.333=48.0kPa主动土压力分布如图7.13所示，同时可求得其合力Ea为Ea=366+364+(48-36)4=108+144+24=276kN/m合力Ea作用点距墙底距离d为=3.51m此外，c点水压力为 pw=gwh2=9.814= 39.2kPa作用在墙上的水压力合力Pw为Pw=39.24=78.4kN/m水压力合力Pw作用在距墙底=1.33m处。图7.13 例题7.4图7.4库仑土压力理论7.4.1基本原理和假定库仑(Coulomb C A)在1776年提出的土压力理论也是著名的古典土压力理论之一。由于其计算原理比较简明，适应性较广，特别是在计算
27、主动土压力时有足够的精度，因此至今仍得到广泛的工程应用。库仑土压力理论最早假定挡土墙墙后的填土是均匀的砂性土，后来又推广到粘性土的情形。其基本假定如下：当挡土墙背离土体移动或推向土体时，墙后土体达到极限平衡状态，其滑动面是通过墙脚B的平面BC(图7.14)，假定滑动土楔ABC是刚体，则根据土楔ABC的静力平衡条件，按平面问题可解得作用在挡土墙上的土压力。图7.14 库仑土压力理论7.4.2库仑主动土压力计算如图7.15所示，挡土墙墙背AB倾斜，与竖直线的夹角为e；填土表面AC是一倾斜平面，与水平面间的夹角为b。当挡土墙在填土压力作用下离开填土向外移动时，墙后土体会逐渐达到主动极限平衡状态，此时
28、土体中将产生两个通过墙脚B的滑动面AB及BC。假定滑动面BC与水平面夹角为a，并取单位长度挡土墙进行分析。考虑滑动土楔ABC的静力平衡条件，则作用在其上的力有：(a) 土楔ABC的重力G。若a值已知，则G的大小、方向及作用点位置均已知。(b) 土体作用在滑动面BC上的反力R。R是BC面上摩擦力T1与法向反力N1的合力，它与BC面法线间的夹角等于土的内摩擦角j。由于滑动土楔ABC相对于滑动面BC右边的土体是向下移动的，故摩擦力T1的方向向上，而R的作用方向已知，大小未知。(c) 挡土墙对土楔的作用力Q。它与墙背法线间的夹角等于墙背与填土间的摩擦角d。由于滑动土楔ABC相对于墙背是向下滑动的，故墙
29、背在AB面上产生的摩擦力T2的方向向上。而Q的作用方向已知，大小未知。 图7.15 库仑主动土压力计算简图如图7.15所示，根据滑动土楔ABC的静力平衡条件，可绘出G、R和Q的力平衡三角形。由正弦定律得 (7.16)式中：。由图7.15可知将G代人式(7.16)得 (7.18)式中，l、H、e、b、d、j均为常数，Q随滑动面BC的倾角a而变化。当时，G=0，故而Q=0；当a=b时，R与G重合，则Q=0；因此当a在 和j之间变化时，Q存在一个极大值。这个极大值Qmax即为所求的主动土压力Ea。为求得Qmax值，可将式(7.18)对a求导，并令 (7.19)由式(7.19)，解得a值，并代人式(7
30、.18)，即可得库仑主动土压力计算公式为 (7.20)其中 (7.21)式中：g、j挡土墙后填土的重度及内摩擦角；H挡土墙的高度；e墙背与竖直线间夹角，当墙背俯斜时为正(如图7.15)，反之为负；d墙背与填土间的摩擦角，与墙背面粗糙程度、填土性质、墙背面倾斜形状等有关，可由试验确定或参考经验数据确定；b填土面与水平面间的倾角；Ka库仑主动土压力系数，它是j、d、e、b的函数；当b=0时，Ka值可由表7.2查得。如果填土面水平(b=0)，墙背竖直(e=0)及墙背光滑(d=0)时，由式(7.21)可得 (7.22)此即朗肯主动土压力系数的表达式。可见，在某种特定条件下，两种土压力理论得到的结果是一
31、致的。表7.2 库仑主动土压力系数Ka（b=0）墙背倾斜情况e（）d（）Kaj()202530354045仰斜-15j0.3570.2740.2080.1560.1140.081j0.3460.2660.2020.1530.1120.079-10j0.3850.3030.2370.1840.1390.104j0.3750.2950.2320.1800.1390.104-5j0.4150.3340.2680.2140.1680.131j0.4060.3270.2630.2110.1380.131竖直0j0.4470.3670.3010.2460.1990.160j0.4380.3610.2970
32、.2440.2000.162俯斜+5j0.4820.4040.3380.2820.2340.193j0.4500.3980.3350.2820.2360.197+10j0.5200.4440.3780.3220.2730.230j0.5140.4390.3770.3230.2770.237+15j0.5640.4890.4240.3680.3180.274j0.5590.4860.4250.3710.3250.284+20j0.6150.5410.4760.4630.3700.325j0.6110.5400.4970.4740.3810.340由式(7.20)可以看出，主动土压力Ea是墙高H的
33、二次函数。将式(7.20)中的Ea对z求导数可得 (7.23)可见，主动土压力pa沿墙高按直线规律分布。由图7.16还可以看出，作用在墙背上的主动土压力合力Ea的作用方向与墙背法线成d角，与水平面成q 角，其作用点在墙高的处。可以将合力Ea分解为水平分力Eax和竖向分力Eay两部分，则Eax和Eay都是线性分布，即 (7.24) (7.25)式中：qEa与水平面的夹角，且q=d+e；图7.16 库仑主动土压力分布例题7.5如图7.17所示，已知某挡土墙墙高H=5m，墙背倾角e=10，填土为细砂，填土面水平(b=0), 填土重度g=19kN/m3，内摩擦角j=30，墙背与填土间的摩擦角d=15。
34、试按库仑土压力理论计算作用在墙上的主动土压力，并与朗肯土压力理论的计算结果进行比较。解 1）按库仑主动土压力公式计算当b=0、e=10、d=15、j=30时，由式(7.21)计算或由表7.2查得主动土压力系数Ka=0.378。由式(7.20)、式(7.25)和式(7.26)求得作用在每延米长挡土墙上的主动土压力合力为19520.378=89.78kN/m=89.78cos(15+10)=81.36kN/m=89.78 sin25=37.94kN/m主动土压力合力Ea的作用点位置距墙底距离为d=1.67m(a) (b)图7.17 例题7.5图2）按朗肯土压力理论计算如前所述，朗肯主动土压力计算公
35、式式(7.6)适应于墙背竖直(e=0)，墙背光滑(d=0)和填土面水平(b=0)的情况，与本例题（e=10，d=15）的情况有所不同。但也可以作如下的近似计算：从墙脚B点作竖直面BC，用朗肯主动土压力公式计算作用在BC面上的主动土压力Ea，假定作用在墙背AB上的主动土压力为Ea与土体ABC重力W1的合力，见图7.17(b)。由j=30求得主动土压力系数Ka=0.333。按式(7.6)求作用在BC面上的主动土压力Ea为19520.333=79.09kN/m土体ABC的重力W1为：1952tanl0=41.88kN/m作用在墙背AB上的合力E为：=89.49kN/m合力E与水平面夹角q为：可以看出
36、，用朗肯理论近似计算的土压力合力E值与库仑理论计算结果是比较接近的。7.4.3库仑被动土压力计算如图7.18所示，当挡土墙在外力作用下推向填土，直至墙后土体达到被动极限平衡状态时，墙后土体将出现通过墙脚的两个平面AB和BC。由于滑动土体ABC向上挤出隆起，故在滑动面AB和BC上的摩阻力T2及T1作用方向向下，与主动平衡状态时的情形正好相反。根据滑动土体ABC的静力平衡条件，可给出其力平衡三角形。由正弦定律可得 (7.26)由式(7.26)可知，在其它参数不变的条件下，Q值随滑动面BC的倾角a而变化。事实上，当挡土墙推向填土时，最危险滑动面上的抵抗力Q值应该是其中的最小值，此即作用在墙背上的被动
37、土压力。为了求得Qmin，同样可对式(7.27)求导数，并令 (7.27)由式(7.27)，解得a值，并代人式(7.26)，即可得库仑被动土压力Ep的计算公式为 (7.28) (7.29)式中：Kp库仑被动土压力系数。库仑被动土压力合力Ep的作用方向与墙背法线成d角。由式(7.28)可以看出，被动土压力Ep也是墙高H的二次函数。将式(7.28)中的EP对z求导数可得 (7.30)式(7.30)表明，被动土压力pp沿墙高为线性分布。7.18 库仑被动土压力计算简图7.4.4 几种典型情况下的库仑土压力(1) 地面荷载作用下的库仑土压力挡土墙后的土体表面常作用有不同形式的荷载，从而使作用在墙背上的
38、土压力增大。考虑最简单的情况，即土体表面作用有均布荷载q (图7.19)。此时，可首先将均布荷载q换算为土体的当量厚度h0=q/g (g为土体的重度)，以此确定假想中的墙顶A点，然后再用无地面荷载作用时的情况求出土压力强度及总土压力。具体步骤如下：在三角形AAA0中，由几何关系可得 (7.31)AA在竖向的投影为 (7.32)墙顶A点处的主动土压力强度为 (7.33)墙底B点处的主动土压力强度为 (7.34)于是可得墙背AB上的总土压力为 (7.35)图7.19 均布荷载作用下的库仑主动土压力 图7.20 成层土中的库仑主动土压力(2) 成层土体中的库仑主动土压力当墙后填土为成层土，且具有不同
39、的物理力学性质时，常采用近似方法的计算土压力。如图7.20所示，假设各层土的分界面与土体表面平行。这样即可以自上而下逐层计算各层土的土压力强度，计算时需注意，当求下层土的土压力强度时，可将上面各层土的重量看作是均布荷载的作用。现以图7.20为例加以说明。第一层土层面处：pa=0第一层土底面处：pa=g1h1Kal在第二层土顶面，将g1h1的土重换算为第二层土的当量土厚度，即 (7.36)则第二层土顶面处土压力强度为 (7.37)第二层层土底面处土压力强度为 (7.38)式中：Ka1、Ka2第一、第二层土的库仑主动土压力系数； g1、g2第二层土的重度(kN/m3)。每层土的总压力Ea1、Ea1
40、的大小等于土压力分布图形的面积，作用方向与AB法线方向成d1、d2角(d1、d2分别为第一、第二层土与墙背之间的摩擦角)，作用点位于各层土压力分布图的形心处。 (3) 粘性土中的库仑土压力如前所述，库仑土压力最早是基于填土为砂性土的假定，但在实际工程中无论是一般的挡土结构，还是基坑工程中的支护结构，墙背后面的土体大多为粘性土、粉质粘性土等具有一定粘聚力的填土，所以将库仑土压力理论推广到粘性土中是十分必要的。为此，提出“等代内摩擦角”的概念，在此基础上建立相应的计算公式。所谓等代内摩擦角，就是将粘性土的粘聚力折算成内摩擦角，经折算后的内摩擦角称之为等效内摩擦角或等值内摩擦角，一般用jD表示。下面是工程中常采用的两种等代内摩擦角jD的确定方法。a) 根据抗剪强度相等的概念计算